Por @Alvy — 14 de Julio de 2009

God Plays Dice publicó este reto numérico sobre una potencia de 2:

229 es un número de nueve dígitos en los que todos ellos son diferentes (en base 10). El reto consiste en encontrar el dígito que falta sin calcular explícitamente el número.

{Importante: puedes dejar pistas e ideas al respecto en los comentarios, pero recuerda esperar 24 horas antes de hablar abiertamente de la solución, para que los demás puedan disfrutar buscándola. Quien no quiera recibir ninguna ayuda ni pista para dar con la respuesta tal vez prefiera no leer los comentarios.}

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21 comentarios

#1 — Juer

Hombre, no es una gran pista, pero la última cifra es par y diferente de 0.

El resto...

#2 — enelclub

Pues sin calcularlo, para mi es imposible saber cual es. Seguro que tiene truco pero yo soy un zote para estas cosas.

#3 — franky

Espero que esto no sea demasiada pista...

Creo que la clave esta en usar el pequeño teorema de fermat para ver cual es el resto modulo 9 de ese número. A cada resto se le asocia una cifra que falte y ya está.

Mas detalles en 24 horas

#4 — garincis

@ #3 franky: me temo que si puede ser demasiada pista, aunque en el peor de los casos puedes llegar a dudar entre 2 dígitos y en ese caso quizá se podría calcular el resto módulo 11 (o mejor otro independiente de las posiciones relativas, si lo hay) para decidirse por un dígito u otro.
En todo caso no necesitas el PTF para calcular su resto, te basta con ir calculando los restos de las potencias sucesivas que te llevan a 2^29 por el camino que elijas.

#5Carles

Seguramente será el 2 o el 9, ya verás.

[Ojo, lo digo por decir, no estoy dando ninguna respuesta o pista ;) ]

#6 — visent

#2 enelclub

Pues sin calcularlo, para mi es imposible saber cual es. Seguro que tiene truco pero yo soy un zote para estas cosas.

Pues yo ni te cuento. ¿Cómo leches voy a averiguar el que falta si no sé cuáles son los otros 8?

En fin... a ver si alguien nos da una explicación para cenutrios.

Saludetes.

#7 — otro

Recordemos que 2^29 no puede ser divisible entre 3, recordemos el criterio de divisibilidad entre 3 y habremos reducido el problema de diez a seis candidatos.

#8 — Ramon

Senzillo el calculo 512 Megas

Ya que 2^10 són Un Kilo
Y 2^10 Kilos 1 Mega

Lo siento, no he podido aguantarme de decir esta chorrada.

#9 — Franky

#4 Garincis: Con mi método, lo único que podemos hacer es rezar para que no coincida con el 0. Y si coincide, tu plan b del modulo 11 puede tornarse complicado...

Aun no he pensado la solucion concreta porque soy demasiado vago

#10 — Ramon2

Pues no es tonteria, 512 Megas = 536870912

#11 — Módulo

No sé por qué han desaparecido dos comentarios míos. Había dado la solución incorrecta pero la pista sí era correcta, pero distaba mucho de ser una demostración. De hecho, leo un comentario que da la pista fundamental, la de la divisibilidad por nueve.

Ahora sí tengo la demostración. El hecho fundamental es que el resto al dividir un número por 9 es el mismo que el resto al dividir por nueve la suma de sus cifras. Por otra parte, puede usarse asimismo el que el resto [al dividir por cierto número] del producto de dos números es igual al resto [al dividir por ese cierto número] del producto de sus restos (dividiendo por cualquier número, también, claro está, si es por nueve). No es tan galimatías como parece, pero ante la dificultad convendría ver cómo son los restos [al dividir por 9] de las sucesivas potencias de 2.

#12 — Mmonchi

Hay una forma muy simple de descartar los números 0, 3, 6 y 9. De otra manera se pueden eliminar el 1 y el 2.

A ver que se puede hacer para elegir entre 4, 5, 7 y 8.

#13 — Fernando

Yo creo quela solución se halla fácilmente aplicando el teorema de las constantes abiertas de Open-Cor para los primos que emplean un número impar inmediatamente mayor de 0 siguiendo la escala de tiempo hexadecimal de Secundini en llegar a la conclusión de que elementos de similitud total basándose en el plano axial de dicho elemento aplicando la variable sinosoidal de Matini-Rosso no lleva mas que a un resultado uniforme y de amplio espectro de pérdida de unidades de tiempo iguales a la diezmillonésima parte de lo que tarda un átomo de cesio en darse dos vueltas y tres zapateaos y elementos constituyentes de la transmisión de datos en la masa encefálica grisácea.... Vulgo, pérdida de tiempo y neuronas.. jejeje

#14 — garincis

@ #9 Franky tienes razón, según lo enviaba me di cuenta de que el plan b era una chorrada, porque en general todos los métodos de divisibilidad (salvo 3, 9, 2, 5, y similares) son muy dependientes de la posición de los digitos. De todas formas en un rato muerto cogí lápiz y papel y me salió ésto:
2^29 = (2^5)^5 * 2^4
como 2^5=32 =(mod9)= 5
2^29 =(mod9)= 5^5 * 2^4 = 5 * (5*2)^4 = 50000 =(mod9)= 5
como 0 + 1+ 2 + ... + 9 = 45 =(mod9)= 0
ya tenemos que falta el 4, porque 5 + 4 =(mod9)= 0
Sin calculadora ni grandes cuentas.

#15Eliott Ramirez

Analizemos que un número formado por los 10 digitos [ej. 9,876,543,210] es múltiplo de 9, es decir, congruente con 0 (mod 9). Luego tenemos que 2^29 será congruente con 9-X (mod9). [X es el dígito que falta]. Después de jugar con congruencias tenemos que 2^29 es congruente con 5 (mod9). Por lo tanto 9-X=5, es decir X=4.

Si hacemos el calculo: 2^29=536870912 y efectivamente el dígito que falta es 4.

#16 — otro

Las potencias de 2 módulo 9 son congruentes a 2, 4, 8, 7, 5, 1, y se repiten continuamente con un ciclo de 6.

2^29 = (2^6)^4·2^5, con lo cual es congruente con 5 módulo 9.

Como la suma de los dígitos del 0 hasta 9 es 45 (número divisible entre 9) sabemos que cualquier número que contenga los diez dígitos distintos será divisible entre 9, en otras palabras, congruente a 0 (o a 9) módulo 9. Por tanto, a nuestro número le falta el 4, porque 5+4=9.

#17 — franky

Creo que todos lo habeis puesto ya...

Aplicando que el numero con las diez cifras es multiplo de 9, tenemos que

2^29=4*(8^9)=4*((-1)^9)=-4

como es -4 modulo 9, la cifra que falta es el 4

Y todo eso sin pequeño teorema de fermat

#18 — visent

Pues lo que vosotros digáis, jejeje. Yo me pierdo en esas explicaciones.

Saludetes

#19nanozero87

O_O hay cada maquina por aqui... a mi la ESO no me daba pa tanto...

#20 — Javier

He aquí una forma utilizando el PTF (que conocí gracias a ustedes):

Antes de empezar establezcamos la siguiente convención: la operación para obtener el resto a de un número b al dividirlo por c será b(modc)=a. Ej: 8(mod7)=1.

Entonces:

Por las razones comentadas arriba se tiene que el número que falta es

9-(2^29)(mod9)

Calculemos (2^29)(mod9):

(2^29)(mod9)=4*(2^27)(mod9)=4*(8^9)(mod9)

Restamos y sumamos 8:

4*(8^9)(mod9)=4*(8^9-8+8)(mod9)=4*(8^9-8)(mod9)+32(mod9)

(En este último paso hay que tener en cuenta que el resto obtenido podría ser mayor a 9. Eso se soluciona calculando el resto otra vez.)

Ahora, por PTF:

(8^9-8)(mod9)=0 => 4*(8^9-8)(mod9)=0
y
32(mod9)=5

Por lo tanto

9-(2^29)(mod9)=4.

Saludos, y gracias otra vez!

(Ahora me siento una mejor persona)

#21HvZ

esto tiene una cara de sudoku....

habia evitado esta anotacion porque las matematicas me dan miedo