Por @Alvy — 8 de Agosto de 2016

Hace tiempo que presentamos por aquí en qué consiste la conjetura de Collatz, un problema matemático que hasta un niño de primaria puede entender pero que lleva casi un siglo volviendo locos a los matemáticos:

Piensa un número cualquiera, que sea entero y mayor que cero. Haz lo siguiente: Si es par, divídelo por dos. Si es impar, multiplícalo por tres y súmale uno. Repite esta misma operación una y otra vez. Al final siempre obtendrás el mismo resultado: 1.

En el vídeo de Numberphile el profesor David Eisenbud explica este «indómito» problema y la pregunta principal para las cual los matemáticos no han conseguido encontrar una demostración: ¿Es cierta la conjetura para cualquier número inicial y, se elija cual se elija, siempre se acaba en el 1?

Collatz Fractal / En ocasiones veo Mandelbrots…
Un mapa fractal de Collatz sobre la línea de los números reales / Pokipsy76 / Wikimedia

Escribir los números y operaciones en un gran papel es la forma más rápida de entender cómo funciona el asunto; muy pronto se ve que cada vez que se elija un número que ya ha aparecido caerá en el mismo descenso hasta el 1. Particularmente crítica es la secuencia de las potencias de dos (1, 2, 4, 8, 16, 32…) pues lleva inexorablemente al descenso al 1 en cuanto se toca. Pero eso de triplicar los números impares no ayuda mucho y hace que todo lo que baje, suba de forma bastante caótica e incontrolable (por eso este también se conoce como «el problema del granizo»). El ciclo más pequeño se produce cuando se pasa de 4 a 2, a 1 y de ahí a (1×3)+1 = 4 de nuevo. Tampoco se sabe si este es el único ciclo de este tipo o hay alguno con números más grandes (que podrían ser enormes).

Hay muchos trabajos formales sobre la conjetura de Collatz, también un libro dedicado al tema. Y con ordenadores se han examinado todos los números uno por uno hasta 260 – y eso son muchísimos. El 97 es el más «indómito» entre los números del 1 al 100; requiere 118 pasos para llegar al 1, creciendo hasta el 9.232 antes de colapsarse. El 63.728.127 es a su vez el más indómito entre los menores de 100 millones y requiere 949 pasos. En la On-line Encyclopedia of Integer Sequences hay más de 300 secuencias relacionadas con este problema. (Buscar por «Collatz problem»)

La impresión general es que los valores tienden a ser cada vez más pequeños (del orden de 3/4 de los anteriores en la secuencia) y la cantidad de «números anteriores» que colapsan es también más tupida; la intuición diría que cualquier número, por grande que sea, caerá. Pero es no es una demostración: podría haber números que no cayeran o que caigan en otro tipo de bucle.

Stanislaw Ulam y otros matemáticos examinaron este problema sin éxito e incluso el mismísimo Paul Erdős dijo que «quizá las matemáticas no están preparadas para este tipo de problemas». Sabiamente lo que ofreció fueron 500 dólares por la solución, que sin duda traerá fama y gloria a quien resuelva esta indómita conjetura que cualquier niño puede intender pero nadie ha podido solucionar.

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