Por @Wicho — 19 de Diciembre de 2009

A todos nos han contado en algún momento dado en el colegio que los números no se acaban nunca, que son infinitos, aunque normalmente se nos escapa lo que esto quiere decir realmente y muchas de sus curiosas implicaciones.

Por ejemplo, el conjunto de los números naturales (1, 2, 3, 4, 5…) es infinito, y parece más o menos razonable pensar que el conjunto de los números naturales pares, por muy infinito que sea, tendría que ser más pequeño que el primero, exactamente la mitad de pequeño que este.

Pero no es así.

Si cogemos los números del primer conjunto de tal forma que al 1 le asociamos el 2, al 2 el 4, al 3 el 6, al 4 el 8, al 5 el 10, y así sucesivamente, queda claro que podríamos seguir haciéndolo para siempre, lo que quiere decir que ambos conjuntos tienen el mismo tamaño, independientemente de lo que nuestra intuición nos pueda sugerir.

De hecho los matemáticos usan esto para definir un conjunto infinito, que es aquel del que puedes quitar un número arbitrario de sus miembros sin reducir su tamaño, o dicho con un poco más de «seriedad», citando a la Wikipedia: Un conjunto es infinito si es posible encontrar un subconjunto propio del mismo que tenga la misma cardinalidad que el conjunto original.

El matemático alemán David Hilbert propuso el Hotel Infinito como una forma de explicar estas curiosas paradojas del infinito, explicando como serían las cosas en un hotel con infinitas habitaciones si llegara un huésped más cuando todas estas estuvieran ocupadas, si llegaran infinitos huéspedes, o incluso si llegara un infinito número de grupos infinitos de turistas.

En el primer caso lo único que habría que hacer sería pedirle a todos los clientes que se pasaran a la habitación siguiente, dejando automáticamente una habitación libre para el recién llegado.

En el segundo, bastaría con pedirles a los infinitos huéspedes ya alojados en el hotel que se pasaran a la habitación que tuviera el número doble que el de la que ocuparan en ese momento, lo que dejaría automáticamente libres infinitas habitaciones impares.

Para el último caso la solución es un poco más complicada de entender, pero tampoco es mayor problema.

Para empezar se pide a los huéspedes que ocupan una habitación con número primo distinto a 1 o con un número que sea una potencia de un número primo que se cambien a la habitación que tenga el número de su habitación elevado a 2.

Luego, se asigna a cada una de las infinitas excursiones un número primo distinto a 1 y a cada uno de los turistas de esas excursiones un número impar de tal forma que su número de habitación se calcula elevando el número primo de su excursión al número que tiene cada uno de ellos dentro de la excursión.

Al haber un número infinito de primos y un número infinito de impares, no hay problema para colocar a estas infinitas excursiones de infinitos excursionistas en nuestro hotel de infinitas habitaciones.

(Llegué al Hotel Infinito mientras me daba un paseo por los paisajes mentales que dibuja Daniel Tammet en Embracing the wide sky).

Actualización: Mientras escribía esta anotación sospechaba que las posibilidades de que alguno de nuestros lectores fuera matemático y nos escribiera tendían a infinito, y en efecto así ha sido.

Carlos nos comenta que al leerla se acordó de un caso que le contaron durante la carrera en el que el Hotel Infinito se vería desbordado, tal y como cuenta en El hotel infinito de Hilbert, aunque en realidad en ese caso se hace un poco de trampa, porque si bien los ejemplos puestos por Hilbert son siempre jugando con los números naturales en el que propone Carlos se mezclan estos con los números reales, y es un poco como mezclar churras y merinas.

Tiene que ver con los números transfinitos de Cantor, que sirven para medir la magnitud de distintos conjuntos infinitos, pues en efecto hay algunos infinitos más grandes que otros, y resulta que los números reales forman un infinito más grande que los naturales.

Y para redondear el tema e insistir un poco con las curiosas curiosidades del infinito, unos cuantos enlaces de Gaussianos sobre esto: Qué extraño es el infinito, El mALEPHicio del infinito y La diagonalización de Cantor.

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