Por @Alvy — 14 de Marzo de 2016

P is for Prime Spirals (CC) Robson @ Flickr

Los números primos se «repelen» (…) Según un trabajo publicado por dos matemáticos de Stanford hay pruebas tanto teóricas como numéricas de que los números primos «repelen» a otros posibles números primos que terminan en el mismo dígito: esto implica que también tienen ciertas «predilecciones» a ir seguidos de números primos según en qué dígitos terminen (…)

Llevamos siglos estudiando los números primos, pero nadie se había dado cuenta de esto hasta ahora. Es una locura (…) Cuando uno de los teóricos escuchó el descubrimiento se quedó boquiabierto: «era imposible, algo debía estar mal en el software de comprobación».

Explicar y entender ciertos aspectos de la teoría de números es bastante complicado –de ahí que incluso antropomorficemos sus propiedades– así que quien tenga los conocimientos y prefiera algo con más enjundia tendrá que leerse el trabajo original en arXiv: Unexpected biases in the distribution of consecutive primes o quien prefiera algo más periodístico y digerible leerse el artículo de Quanta Magazine en el que se explica la historia: Mathematicians Discover Prime Conspiracy.

El resumen rápido sería este: los dígitos finales de los números primos pueden ser solo cuatro terminaciones, a saber: 1, 3, 7 y 9 (excepto, como excepciones, los números 2 y 5). Si se hace una lista con todos los números primos sus valores concretos son bastante impredecibles; de hecho no existe ninguna fórmula que genere únicamente números primos; el comportamiento de esos números tiende a considerarse básicamente aleatorio. Al menos eso hubiera dicho cualquier matemático… hasta hace unos días.

El hecho es que cuando un número primo termina en un dígito particular, por ejemplo 9, tiende a «repeler» a los siguientes «posibles primos» que acaban en el mismo dígito (en este caso, 9) prefiriendo a otros (por ejemplo, los que acaban en 1). Y sí: simplemente los han contado uno por uno.

Para que esto no fuera un error obvio de apreciación (por ejemplo debido a que tras el 3 aparecen antes el 7, 9 y el 1 antes que nuevamente el 3) se ajustaron las desviaciones previstas y se comprobó la hipótesis en diversas bases de numeración (en todas sucede igual) y con cantidades astronómicas de números (otro tanto). De hecho entre los primeros 1000 millones de números primos es un 65% más probable que el siguiente a uno que acaba en 9 acabe en 1 a que vuelva a acabar en 9. Y tras mirar los primeros 400.000 millones concluyeron: «realmente a los primos no les gusta repetir el mismo último dígito».

Todavía no hay una explicación definitiva sobre por qué esto sucede: los matemáticos creen que puede tener que ver con la aparente paradoja de que los primos son a la vez impredecibles en su aparición aunque su construcción sea definitivamente precisa, como la de los dígitos de π. Cuentan también que un matemático sueco llamado Cramér publicó en 1936 una refinada regla respecto a cómo generar primos de forma primitiva; de hecho esa regla predice que los primos terminan en 1, 3, 7 y 9 con la misma frecuencia (al azar). Pero eso no es lo mismo que «… y el siguiente número primo a éste acabará probablemente en…» que es lo que se ha descubierto ahora.

También hay otra teoría llamada k-tuplas de primos que se debe a Hardy y Littlewood, quienes en 1923 plantearon una conjetura que al igual que otras todavía perdura sin resolver (como la de los primos gemelos que dicen podría estar relacionada y tal vez produzca nuevos avances respecto a lo que sabemos de estos curiosos números. Pero como esto está fresquito y recién publicado habrá que esperar a ver qué dice la comunidad matemática al respecto.

(Vía @DamnInteresting.)

Actualización (15 de marzo de 2016). Terry Tao explica en su blog a qué puede deberse este comportamiento: Biases between consecutive primes. Más: Sobre por qué esta sorpresa no es tan «sorprendente», en una anotación de La ciencia de la mula Francis: ¿Sorpresa sobre los números primos?

{Foto: P is for Prime Spirals (CC) Robson @ Flickr}

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