Por @Alvy — 7 de Noviembre de 2007

La Sucesión de Farey es una de esas curiosidades matemáticas a la vez llenas de belleza y fáciles de entender que casualmente descubrió un no-matemático, John Farey, en 1928.

La idea es tomar un número natural (ej. n = 3) y empiezar a definir la serie Farey(3) como una serie de fracciones que tienen como numerador y denominador los números entre 1 y n. En el caso de F(3) escribiendo todas estas fracciones serían

1/1, 1/2, 1/3, 2/1, 2/2, 2/3, 3/1, 3/2, 3/3

(En algunas versiones se incluye el 0 como primer número).

Los valores equivalentes como 2/4 y 4/8 se simplifican (1/2) y se deja sólo uno de ellos.

A continuación sólo se tienen en cuenta las fracciones cuyos valores están entre 0 y 1 (ej. 3/2 se elimina).

Las fracciones restantes se ordenan de menor a mayor, ej.

F(6) = { 16, 15, 14, 13, 25, 12, 35, 23, 34, 45, 56, 11 }

Ahora llega el momento mágico. Resulta que la serie resultante tiene una curiosa propiedad: tomando cualquiera de las fracciones, el numerador es igual a la suma de los numeradores del término los términos anterior y siguiente. Y el denominador también es la suma de los denominadores de los términos que van antes y después. (Las fracciones resultantes de esas sumas hay que simplificarlas a veces). Por ejemplo en F(6) para 25

... 13, 25, 12 ... se cumple que (1+1)(3+2) = 25

... 16, 15, 14 ... se cumple que (1+1)(6+4) = 21015


(Para los valores de los extremos, primero y último, esto obviamente no fuciona porque no hay «anterior» ni «siguiente».)

Esta regla se cumple siempre, sea cual sea el número n para la serie de Farey creada, tenga unos pocos términos o cientos de ellos.

Su construcción, los pasos que eliminan valores, la ordenación en términos absolutos y la relación entre cantidades «casualmente» cercanas en cuanto a posición, pero en cierto modo inconexas como son los numeradores de las fracciones (sin ningún patrón evidente), producen un efecto que puede considerarse fascinante.

¿Cuántos términos tiene una serie de Farey determinada? A primera vista se ve que no es fácil de calcular a menos que se genere metódicamente. Existe una fórmula (lejos de ser sencilla) que calcula con exactitud cuántos términos tiene una serie de Farey, e implica a... sumas de los números primos en secuencia. Otra versión más sencilla predice que el número de términos para la serie de Farey n es más o menos 3n22 (nunca puede faltar un π en estas fiestas). Y, rizando el rizo, esta serie resulta tener cierta relación con la Hipótesis de Riemann que es uno de los siete Problemas del Milenio, santos griales de las matemáticas.

Esta sucesión lleva el nombre de Farey porque fue él quien la envió a una revista como una mera curiosidad: ni siquiera pudo demostrar su «funcionamiento». Curiosamente Haros la había descubierto independientemente en 1812 (años antes) pero el nombre que cuajó fue el de Farey. Por otro lado, tuvo que ser Cauchy quien demostrara definitivamente la validez de sus propiedades.

Hay más sobre la serie de Farey en

y la historia narrada con más detalles y anécdotas en The Riemann Hypothesis: The Greatest Unsolved Problem in Mathematics (gran libro que no deja de descubrirme cosillas interesantes como esta).

John Farey nunca descubrió nada más, ni en matemáticas ni en geología, ni fue conocido por nada en la historia, excepto por esto. Aun así, su nombre es y será recordado por siempre por todos los matemáticos que estudian la teoría de números.

Actualización (8 de noviembre de 2007): I G I nos dice que la serie también funciona en los extremos si se acota la serie entre 0 e infinito, en forma de 01 y 10, algo interesante.

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