Por @Alvy — 14 de Octubre de 2006

Four Colors Suffice: How the Map Problem Was SolvedFour Colors Suffice: How the Map Problem Was Solved. 4 estrellas: bueno Robin Wilson. 2002. Princeton University Press. ISBN: 0691115338. Inglés. 260 páginas. Este libro es el relato de la historia y resolución de un legendario enigma matemático que pasó siglo y medio sin solución, el Teorema de los cuatro colores (más completo en la Wikipedia en inglés: Four Colors Theorem). El enunciado más sencillo de este teorema viene a decir que

Cualquier mapa geográfico puede ser coloreado con cuatro colores diferentes, de forma que no haya regiones adyacentes con el mismo color.
En realidad hay un montón de matizaciones sobre a qué tipos de mapas es aplicable este teorema, pero debe entenderse aplicando el sentido común. Por ejemplo, las regiones que se tocan en un solo punto no se consideran adyacentes (ej. Utah y Nuevo México o Colorado y Arizona). De hecho, nuestro mapa del mundo no es el mejor ejemplo porque algunos países tienen zonas separadas (ej. territorios dentro de otros países, como Ceuta en Marruecos o Alaska (Estados Unidos) más allá de Canadá) aunque suelen colorearse tradicionalmente del mismo color. Y lagos y mares se colorean todos de azul, de modo que, en la práctica, se usan más colores, habitualmente cinco aparte del azul. La aplicación del teorema depende también del tipo de superficie sobre la que esté el mapa: una superficie plana finita o infinita o una esfera son equivalentes en este caso, pero si la superficie que se considera es la de un toro serían necesarios siete colores, no cuatro.

El libro de Wilson es histórico y muy divulgativo, matemáticas ligeras y sin demasiadas fórmulas, y trata de forma amena este problema que se considera uno de los más apasionantes de la topología y la teoría de grafos (incluso existe lo que se denomina coloreo de grafos). Al igual que con el Teorema de Fermat, encontrar la demostración se consideraba muy difícil, pero haber encontrado un contraejemplo (un mapa, por complicado o grande que fuera, que requiriera cinco colores) hubiera demostrado que el teorema era falso. Y eso lo podría haber hecho casi cualquiera.

La historia comienza con el enunciado original del problema en 1852 cuando Augustus de Morgan lo planetó en una carta escrita a un colega, haciendo referencia a que uno de sus estudiantes, Francis Guthrie, se lo había planteado coloreando un mapa de Inglaterra. Desde entonces matemáticos de todo el mundo trataron de encontrar una demostración de que «cuatro colores son suficientes», pero ésta resultaba siempre esquiva. Notables matemáticos consiguieron ciertos avances, pero ninguna prueba definitiva. No fue hasta 1976 que Kenneth Appel y Wolfgang Haken publicaron la solución: el teorema era correcto y cuatro colores bastaban para cualquier mapa. Sin embargo, esto no acabó con la polémica.

Appel y Hanken utilizaron un programa de ordenador para completar la demostración, reduciendo el problema inicial a un montón de casos más simples, demostrando con gran esfuerzo que todos eran equivalentes. Debían examinar unas 1.936 configuraciones distintas lo cual resultaba lento, pesado y propenso a errores. De modo que, además de las 500 páginas en papel que contenían todos los cálculos y demostraciones previas, programaron un ordenador (recordatorio: año 1976) para comprobarlas una por una. Cuando el ordenador confirmó que en todas se cumplía el teorema, dieron por resuelta la demostración y la publicaron.

Históricamente, era una nueva forma demostrar teoremas. La mente humana no era suficiente. Se necesitaba ayuda mecánica. ¿Y sí el programa de ordenador contenía errores? ¿Se podría también demostrar que no los contenía? ¿Era esto una demostración cien por cien segura y cierta, como deben serlo todas las demostraciones matemáticas? La solución se consideró en general válida pero «poco elegante», y se probaron programas similares en otros ordenadores. Naturalmente, un informático podría no opinar lo mismo y considerarla más elegante incluso que una demostración tradicional. Estas cuestiones de fondo han perdurado hasta nuestros días. Se han hecho algunos avances en reducir la prueba a algo más simple. El sistema de asistencia para comprobar pruebas matemáticas Coq confirmó en 2004 la validez del trabajo de Appel y Hanken. (Llegados a este punto, confiar en que la demostración es válida en realidad requiere sólo confiar en que «el sistema Coq es válido», lo cual proporciona un grado de confianza más elevado. En términos informáticos: tener fe en el hardware, el compilador y los programas. (Y es bien sabido que todos esos componentes pueden fallar. El caso más clamoroso: el bug de divisón en los Pentium).

En el terreno personal, el Teorema de los Cuatro colores fue probablemente uno de los primeros problemas de ingenio/lógico/matemático realmente apasionantes y sobre todo «fácil de entender» que encontré en algún viejo libro o revista siendo muy joven. Pasé horas y horas intentando en vano encontrar un contraejemplo o demostración; dibujando mapas y variantes, intentando colorearlos y necesitar cinco colores. Naturalmente, fue en vano. Aquello debió de suceder a mediados de los 80. Un buen día encontré en una librería un viejo ejemplar de diciembre de 1977 Investigación y Ciencia donde estaba el mítico artículo La solución del problema del mapa de cuatro colores por Appel y Hanken. Me sentí a la vez encantado de leer la solución y un poco decepcionado conmigo mismo por el hecho de que estuviera resuelto hacía literalmente años… Y yo me hubiera enterado. Recuerdo perfectamente que eso me hizo ver la importancia de estar muy al día sobre los temas que más te apasionan y revisar las noticias, revistas y libros más relevantes, para evitar estar desfasado tanto tiempo. Al pasar los años seguí descubriendo cosas parecidas que hacía tiempo estaban «resueltas», inventos «inventados» o descubrimientos ya realizados… pero el lapso era cada vez menor. Y hoy en día… tenemos Internet. Esas situaciones son difíciles que se repitan ya en el siglo XXI.

Compartir en Flipboard  Compartir en Facebook  Tuitear