Por @Alvy — 23 de Septiembre de 2007

Tal y como explica el artículo de la Wikipedia con el curioso título de 1 − 2 + 3 − 4 + … la suma de esta curiosa serie infinita de números enteros que alternan sumas y restas es 0,25.

Dicho de otro modo:

1 -2 + 3 -4…

El resultado está entre lo sorprendente y lo aparentemente paradójico cuando menos. Sumas. Restas. Números enteros. Hasta el infinito y más allá… ¿Resultado fraccional? Leonhard Euler ya conocía el resultado de esta igualdad en el siglo XVIII, pero hasta finales del XIX no fue posible encontrar una demostración rigurosa de la relación.

No soy matemático y los detalles de la cuestión y la demostración se me escapan, pero algo que me ayudó a entenderlo es examinar la Serie de Grandi que es igual de infinita pero mucho más sencilla:

1 - 1 + 1 - 1 + 1 - … = 0,5

examinando las series parciales al sumar y restar el siguiente término se puede «intuir» que el total va alternándose entre los valores 0 y 1, de modo que el total global debería ser algo así como 0,5… como efectivamente resulta ser. Al parecer la serie 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + … resulta ser equivalente a dos series de Grandi multiplicadas entre sí, de modo que 0,5 × 0,5 = 0,25.

Según las explicaciones del artículo original, hay que entender que la palabra «suma» no se refiere a la suma en el sentido habitual sino a lo que se llama suma de Cesàro que es un «método alternativo de asignarle una suma a una serie infinita». De modo que el resultado es una suma pero en cierto modo no como las convencionales.

Parte de la aparente paradoja es que de ambas series podría decirse que «no tienen suma» y «su suma es…». Analizar estas curiosas series divergentes ayuda a entender que al trabajar con ellas puede no ser «legal» realizar ciertas agrupaciones u operaciones aparentemente inócuas con sus términos, pues entonces se obtienen resultados realmente imposibles y paradójicos (como por ejemplo diferentes sumas para la misma serie).

Tal y como concluyó Euler,

Ya no queda ninguna duda que la suma de la serie 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6… etcétera es 1/4 (…) Parece una paradoja decir que arroja el valor 1/4, ya que cuando sumamos los primeros cien términos de la serie se obtiene el valor -50, mientras que la suma de los primeros 101 términos arroja el valor +51, lo cual es muy distinto de 1/4 y la suma es cada vez mayor a medida que aumenta el número de términos que se suman. Por ello es que desde hace algún tiempo he llegado a la conclusión de que es necesario darle a la palabra «suma» un significado más amplio…
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