Por @Alvy — 11 de Marzo de 2024

A los matemáticos y los físicos les encanta ponerle nombres raros y sugerentes a ciertos conceptos. Así, por ejemplo, los números perfectos son los números enteros positivos que son iguales a la suma de todos sus divisores excepto el mismo número. El vídeo de esta semana de Veritasium –que ya más que un vídeo de YouTube parece una superproducción, por la cantidad de gente involucrada– trata de esto y de otros problemas relacionados con los números perfectos.

Dos ejemplos de números perfectos serían el 6, porque 6 = 1+2+3 o el 28 = 1+2+4+7+14. Los números perfectos son escasos y se conocen desde la antiguedad (al menos desde el año 500 antes de nuestra era). Euclides hacia el 300 ya estaba buscando algunas respuestas a diversas preguntas que no tenían respuesta obvia.

Las más relevantes son cinco cuestiones, que ya planteó Nicómaco de Gerasa hacia el año 100 a. C.: ¿hay una infinidad de números perfectos? ¿produce el algoritmo de Euclides todos los números perfectos? [la fórmula (2n–1 × (2n – 1) siempre que 2n – 1 es primo, como demostró Euler]. ¿Hay algún patrón en su número de dígitos, o en si todos acaban en 6 y en 8? y, la más curiosa: ¿hay algún número perfecto impar?

El interés tiene que ver con que aunque todas las conjeturas que se planteaban son casi intuitivamente correctas (o sí, o no, como poco o poco se iría demostrando) pero no son una demostración. Y eso que podría ser tan «fácil» como encontrar un contraejemplo (por ejemplo, un gran número par que sea perfecto). En cambio demostrar que ese número no existe es mucho más complicado.

Por el camino aparecen naturalmente todos los grandes matemáticos: Euler, Descartes, Gauss, Mersenne… También se habla sobre números primos y proyectos como el GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) que está relacionado porque los números perfectos parecen derivar todos ellos de primos de esta forma. Pero son tareas computacionalmente complicadas y lo único que se puede hacer es repartirlas en red entre voluntarios.

De todo el asunto la pregunta más sencilla y fascinante es tal vez la más complicada de responder: ¿existen los números perfectos impares? De momento no se conoce ninguno, y eso que los matemáticos han comprobado hasta 102200, que es una barbaridad, pero bueno… ¡A seguir buscando!

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Por @Alvy — 19 de Febrero de 2024

«Lva²» es una nueva revista sobre divulgación matemática, gratuita y con licencia libre, nacida de la comunidad de internet

Todavía estoy leyendo el primer número de Lva², una nueva revista de divulgación que ha surgido del grupo de Telegram Retos Matemáticos y que ya está en la red en un flamante formato PDF + web de acompañamiento. Pero no voy a esperarme a terminarla: lo mejor es darle la bienvenida y que todo el mundo puede correr a descargarla y disfrutarla lo antes posible.

Tal y como explican en su editorial:

Lva² surge con el fin de poder canalizar de alguna manera un derroche de talento y genialidad en respuesta a inquietudes matemáticas cotidianas (…) en ella tendrán cabida todos los trabajos de divulgación, investigación o experiencias docentes que sean del interés de la comunidad matemática.

La revista tiene de momento periodicidad semestral, siendo el de febrero de 2024 el primer número. La web es tremendamente elegante y sencilla de navegar y lo mismo puede decirse del diseño en PDF. Los autores colaboran de forma desinteresada y todo está publicado bajo una licencia libre (CC)-by-nc-sa. En el primer número hay cerca de una decena de artículos, disponibles como PDFs individuales aunque también se puede descargar la revista completa en un solo archivo, eso ya va a gusto de quien la lea.

Los temas que ha cubierto este primer número son de lo más variados: desde los logros de la matemática clásica india a la economía, los números complejos, los logaritmos y los triángulos heptagonales y los polinomios de Chebyshev. También hay secciones específicas sobre investigación y recursos pedagógicos, además de una sección que es popular en el grupo de Telegram que son los problemas matemáticos. Aquí va un ejemplo:

«Lva²» es una nueva revista sobre divulgación matemática, gratuita y con licencia libre, nacida de la comunidad de internet

Teniendo en cuenta que el cucurucho del helado que se muestra en la figura 1 está relleno, ¿qué volumen de helado hay en total? Se considera que el helado de la bola que sobresale del cucurucho es una cantidad despreciable respecto al volumen total o, lo que es lo mismo, que el volumen pedido equivale al del cucurucho más el trozo de bola que sobresale.

¡Suerte con la resolución de problemas! Y a los editores y colaboradores de la revista, nuestro agradecimiento por el esfuerzo dedicado a publicar una revista tan completa y divulgativa.

(¡Gracias Gaussianos + Tito por el aviso!)

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Por @Alvy — 16 de Febrero de 2024

El problema de los tres cuerpos es más difícil de lo que parece. Aplicable a la mecánica celeste, consiste en calcular las posiciones y velocidades de tres cuerpos sometidos a atracción gravitacional mutua partiendo de unas posiciones y velocidades dadas. Como sus masas, posiciones y velocidades pueden variar, hay tres coordenadas de posición (XYZ) y tres de velocidad (XYZ) para cada cuerpo, lo que hace un total de 18 coordenadas (seis por cada uno de los tres cuerpos) y además está el tema de la masa. Resolver el problema para dos cuerpos es difícil, así que para tres ni hablamos… Por no hablar de la generalización del problema de los n cuerpos que es algo nivel Dios.

Hace tiempo intenté encontrar un buen vídeo al respecto, pero por mucho que miré no lo conseguí. Recientemente, Mates Mike ha elaborado esta pieza de 20 minutos con estupendas visualizaciones que me ha parecido ideal para entenderlo todo. Por un lado permite comprender el problema, por otro ir repasando los diferentes casos, la cronología desde la época de Newton y las diversas soluciones que se fueron encontrando.

Tradicionalmente, el problema de los tres cuerpos se consideraba irresoluble, entre otras razones, por incluir un componente caótico. Esto no es tanto por su complejidad como porque «cambios muy pequeños en las condiciones iniciales producen grandes cambios con el paso del tiempo». Sin embargo, a lo largo de los siglos, desde la época de Newton, se encontraron soluciones para versiones simplificadas, con ciertas restricciones (por ejemplo respecto a las masas) y los matemáticos hallaron soluciones para esos «casos especiales», algunas preciosas y muy elegantes. Con métodos de integración numérica y grandes superordenadores se encontró otra forma de dar con ciertas soluciones, así como con estadística y paseos aleatorios.

Aparte de eso, también se conocen formas de solucionar la versión de los n-cuerpos, pero por lo general convergen demasiado despacio a la solución y son difíciles de aplicar en la práctica.

Recomiendo ver el vídeo con tranquilidad para entender la magnitud del problema, de cómo se avanza hacia su solución y los métodos que se usan. El problema de los tres cuerpos, en cierto modo, está resuelto y, en cierto modo, no lo está. No existe una solución general analítica para todas las condiciones iniciales, pero sí hay una comprensión profunda de muchos aspectos del problema. Es algo aparentemente contradictorio, pero, a la vez, interesante en el ámbito de la física y las matemáticas.

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Por @Alvy — 9 de Febrero de 2024

En este episodio de uno de nuestros canales favoritos, Numberphile, entrevistan al no menos admirado Marcus du Satoy acerca de las estratégicas matemáticas del Risk, uno de los arquetípicos juegos de mesa de la categoría de estrategia. TL;DR: ataca a muerte.

Es interesante que James Grime, el entrevistador, no haya jugando nunca al Risk, siendo cuarentón. Recuerdo las tardes y tardes de entretenimiento descubriendo cosas curiosas como dónde estaba Kamchatka y cómo calcular probabilidades con los dados para afinar los ataques, aparte de alguna que otra mítica remontada.

En cualquier caso al principio del vídeo se hace un breve resumen de en qué consiste el Risk y cómo lo importante para ver los países y continentes más apreciados es el esquema topológico del mapa. No se habla de su importancia cultural –las referencias son muchísimas– pero, bueno, es un vídeo de mates.

Uno de los detalles en los que más inciden es que en el Risk suelen usarse dos estrategias: están los que juegan a defender y los que juegan a atacar. En las tiradas de hasta tres dados en los que gana el que obtiene resultados mayores que la otra persona, comparando dado por dado y ordenándolos. Por eso durante mucho tiempo se creía que «jugar a defender» era una estrategia superior, porque el empate entre dados beneficia a quien defiende.

Du Satoy explica por qué esto no es así, dado que en esa comparación influye la ordenación de los valores resultantes. Es un problema clásico de combinatoria y probabilidad, que convierte el juego en una preciosidad matemática de topología, con cadenas de Markov y probabilidad básica. La mejore estrategia es atacar todo lo que se pueda.

Investigando sobre esto encontré un viejísimo y probablemente desactualizado FAQ sobre el Risk, donde se habla de las reglas, probabilidades, esperanza matemática y algunos trucos para principiantes (atacar con grupos grandes, empezar por el hemisferio Sur, intentar conseguir Australia –aunque paga poco en cada ronda– y no obcecarse en las misiones. Sobre esto también hay algunas variantes estándar y no tan estándar («reglas de la casa» e inventos de la gente) con nombres tan atractivos como Risk Nuclear Táctico, Risk Marciano o Risk de la Tierras Múltiples. Para investigar si te interesa este tipo de juegos.

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