En este episodio del siempre recomendable canal de divulgación Numberphile nuestra admirada matemática Holly Krieger de la Universidad de Cambridge explica de forma fácil y visual lo que es la conjetura de Mertens y de dónde sale uno de los números más grandes que se conocen en una demostración matemática.

Esta conjetura es interesante porque es de ese tipo de problemas con números naturales, fáciles de entender pero de consecuencias imprevisibles: aparecen unos patrones más o menos reconocibles y donde por lo que sucede al principio se podría intuir lo que sucede al final, y que la demostración será fácil… pero no. Esta conjetura se demostró falsa casi un siglo después de ser enunciada.

El problema tiene que ver con la forma en que aparecen los factores primos de los números naturales, lo cual se puede explicar con una función: si el número tiene un número par de divisores primos (por ej. 10 = 2 × 5, tiene dos) se dice que el resultado es +1, si es impar (ej. 30 = 2 × 3 × 5, tiene tres), -1 y si cualquier factor primo se repite (ej. 8 = 2 × 2 × 2, tiene tres, pero alguno repetido), simplemente se ignora.

La conjetura de Mertens oscilando en sus 10.000 primeros valores alrededor del 0.
La conjetura dice que probablemente nunca se saldrá de la curva (raíz cuadrada de n) / (CC) Wikimedia

Sumando y restando todos esos resultados desde 1 hasta el número deseado se obtiene un valor, que parece oscilar alrededor del cero. Esto tiene cierto sentido porque al hacer la lista a veces se suma +1 y a veces se resta -1. La «cosa» oscila un poco más arriba o más abajo, pero no demasiado, aparentemente; una forma de visualizarlo es una gráfica estilo paseo aleatorio con el +1 hacia arriba y el -1 hacia abajo en el eje Y. Mertens conjeturó en 1897 que el valor de esa función «probablemente siempre sería menor que la raíz cuadrada del número cuestión», lo cual parecía bastante razonable. De hecho se puede calcular para 10.000, 1.000.000, 1.000.000.000 y mucho más allá y siempre es cierta.

Pero resulta que no: en 1985 dos matemáticos, Riele y Odlyzko, demostraron que la conjetura de Mertens deja de ser cierta más o menos a partir de 10¹⁰⁶⁴, cifra que luego de algunos refinamientos se redujo a 10¹⁰⁴⁰ como cuentan en el vídeo. Vamos a ponerlo en grande para que se entienda mejor y más claramente:

Es un valor tan enormemente grande que es imposible de calcular con exactitud cuál es. Es simplemente un punto límite aproximado a partir de cual se sabe que no se cumple la conjetura, aunque no se sabe exactamente cuándo. De hecho está conectado con la famosa hipótesis de Riemann: si la conjetura de Mertens hubiera resultado ser cierta (que no lo es) hubiera supuesto por extensión confirmar la de Riemann, que a día de hoy sigue sin estar confirmada. Así que habrá que esperar a otra ocasión… o a otro siglo.

Relacionado:

• La posible, presunta y osada demostración de la Hipótesis de Riemann de Sir Michael Atiyah
• The Music of the Primes
• ¿Demostrada por fin la Hipótesis de Riemann? (sin confirmar)
• The Riemann Hypothesis
• Una enorme, colosal y casi interminable lista de números titánica y monstruosamente gigantescos

Seguro que has visto muchas vez el atractor de Lorenz como uno de los ejemplos de la teoría del caos y de cómo en ciertas ecuaciones se observa un comportamiento caótico simplemente porque cualquier pequeña diferencia en los valores iniciales hace que con el tiempo puntos que estaban muy cerca acaben muy separados.

Pues bien: Malin Christersson tiene en su web dedicada a los fractales, el caos y otros interesantes conceptos matemáticos este llamativo y precioso atractor de Lorenz interactivo. Basta mover unos indicadores para ver cómo evolucionan; al desplazarlos se modifican ligeramente ciertos parámetros de la función. Se pueden ver ciertos valores de las funciones marcados –apropiadamente– con mariposas azules.

Un poco de historia: Edward Lorenz fue el meteorólogo que al intentar representar en una gráfica tridimensional cierta función de tres variables para predecir el tiempo atmosférico observó este curioso comportamiento: pequeñísimas variaciones en los valores iniciales divergían notablemente con el paso del tiempo. Era la famosa «dependencia sensible a las condiciones iniciales». En su forma más coloquial: el caos.

Resultó además que aparecían unas zonas hacia los que los valores parecían «extrañamente atraídos», de ahí el nombre de atractor extraño. La casualidad quiso que esa figura tuviera el aspecto de una mariposa… lo cual era más «poético» que una gaviota, el ave al que originalmente se refirió para explicar ese efecto de que el aleteo de sus alas podría llegar a alterar el tiempo atmosférico en un lugar lejano.

Estos dos vídeos a los que hice referencia hace poco tienen explicaciones mucho más precisas y detalladas de lo que es y cómo se comportan el atractor de Lorenz y otros sistemas caóticos; merecen mucho la pena dedicarles un rato.

• El efecto mariposa y toda la ciencia relacionada (Veritasium) (v.o.s.e)
• La teoría del caos explicada en cinco minutos (Seeker)

En cada uno de ellos hay otros enlaces a más vídeos y sitios interesantes sobre la teoría del caos y otros conceptos relacionados.

Este gigantesco mapa del mundo en realidad es un número primo binario de 7.500 cifras, que se corresponde a su vez con un número primo decimal de 2.258 cifras que comienza por 5308446928840296… y acaba en …3711.

Es el resultado de una curiosa técnica para dibujar con dígitos desarrollada por Gilles Esposito-Farese. Se inspiró a su vez en una imagen similar de James McKee, creador del llamado Número primo del Trinity Hall. Se trata de una imagen similar pero con algunos dígitos más (0, 1, 8 y algún otro) con la que dibujó una especie de escudo heráldico que cuelga en el Trinity Hall de Cambridge.

Tal y como explican en Futility Closet –que es por donde lo vi pasar– la cosa no es una gran casualidad, ni fruto de una búsqueda tan difícil e imposible como a simple vista parece.

Más o menos funciona así: primero se crea el dibujo y se dejan fijas más o menos las dos o tres terceras partes superiores. Para el último tercio se busca un factor numérico p-1 bastante grande del que se conozcan los divisores, lo que hace más fácil comprobar si los números cercanos son primos o no.

La técnica consiste en ir luego comprobando los números que quedan más o menos cerca combinándolos con el resto, a ver si son primos o no, hasta dar con el adecuado. Más o menos uno de cada 6200 números de ~2.500 dígitos es primo, de modo que es razonable en tiempos ir «probando y comprobando» hasta dar con uno al cabo de un rato.

No es la primera vez que vemos al Profesor John Hush usando trucos matemáticos para epatar a sus alumnos. En esta ocasión les propone un reto: a ver quién es más rápido multiplicando números de tres cifras. La cosa funciona así:

1. Los alumnos eligen un número de tres cifras
2. Él elige otro número (el 143)
3. … y todos a multiplicar en la pizarra: preparados, listos, ¡ya!

Naturalmente, el sabio profesor siempre gana. El truco es más o menos sencillo —o no tanto, depende de cómo se mire– y tiene que ver con el número elegido. También requiere practicar un poco el cálculo mental.

La cosa funciona así: resulta que 143 × 7 = 1001. Y es sabido que cuando se multiplica un número de tres cifras por 1001 el resultado es el mismo número «repetido dos veces»; en el ejemplo 953 pasaría a ser 953953. Pero si se divide 953953 / 7 (o visto de otra forma, 953 × 1001 / 7) es fácil ver que el resultado es el que se plantea: 953 × 143.

Así que el truco mental consiste en dividir mentalmente 953953 entre 7. Algo que puede tener más o menos dificultad pero que fijando la mirada y poniendo «cara de concentración» se puede hacer en unos segundos. El resultado siempre da exacto.

Esta es además la razón por la que en la demostración el profesor no escribe nada de nada en la pizarra: porque como les aclara luego, «se vería el truco». Hay que hacer esa división mentalmente, lo cual tiene también su mérito y desde luego no desmerece el truco. Que además, como todo «juego de magia», no conviene repetir, claro.

Relacionado:

• El truco de la multiplicación ultrarrápida del profesor de matemáticas, que parece más complicado pero no lo es tanto