Las curvas elípticas, que aparecen por todas partes en matemáticas y también en criptografía, suelen verse como objetos abstractos imposibles de visualizar. En Elliptic.Curves.art Hajouji y Trettel plantean mostrarlas tal como son, usando una mezcla de geometría, álgebra y la fibración de Hopf, una herramienta matemática que permite proyectar estas curvas complejas (literalmente) en forma de toroides tridimensionales.
Con esta representación de las curvas como cocientes del plano complejo se pueden crear imágenes que conservan su estructura y simetrías, revelando su belleza oculta más allá de las ecuaciones. Es como un museo virtual de curvas imposibles.
El proyecto también explora curvas elípticas sobre campos finitos y reales, identificando sus simetrías internas. A pesar de los distintos contextos algebraicos, todas comparten una esencia geométrica que puede representarse visualmente. El resultado es una galería de «donuts matemáticos» únicos, con formas, colores y texturas tan variados como las redes que los generan.
Siguiendo enlaces wikipédicos me encontré con estas listas de problemas no resueltos en la física y de problemas no resueltos en las matemáticas, que sirven para saber un poco en qué estado de conocimiento estamos a la par que como reto. Por si hay alguien osado y atrevido como para enfrentarse con ellos.
En física la cosa va desde la Teoría del Todo que abarca muchos campos –además de ser un libro de Hawking, y posterior película bastante decente– a explicar la gravedad cuántica,qué son la materia oscura y la energía oscura y confirmar algunas ideas como las paradojas de la información de los agujeros negros, la «censura cósmica», el principio holográfico. También hay algunos problemas de física cuántica, cosmología e incluso relatividad general, incluyendo el Principio Cosmológico, la masa de los neutrinos o a qué se deben los ciclos solares.
En matemáticas hay grandes clásicos como la cuestión P = NP y un enorme número de conjeturas, desde la conjetura de Goldbach(«Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos») a la hipótesis de Riemann o la conjetura de Collatz, también fácil de enunciar y entender pero dificilísima de confirmar.
Como es sabido, los habitantes de la ciudad, situada en lo que hoy es Kaliningrado, el enclave ruso entre Polonia y Lituania, se hacían esta pregunta:
¿Se puede atravesar con una ruta continua todos los puentes de modo que se recorran todas las zonas de la ciudad por tierra pero no se cruce cada puente más que una sola vez?
Leonhard Euler demostró que no era posible en 1736, dando lugar a lo que se llamó teoría de grafos. La explicación es sencilla: si se convierte el mapa en un grafo (nodos = zonas de la ciudad; aristas = puentes) es fácil ver que al llegar a cada nodo habría que volver a salir, de modo que dependiendo de si el número de aristas es par o impar (denominados «grados») se podría ir a otro lugar… o allí terminará el camino.
En el grafo de Königsberg todos los nodos son de grado impar, así que el recorrido es imposible. Hoy en día se aplica esta misma idea muchas veces en informática, telecomunicaciones, logística, economía, etc.
Esta página es interesante no tanto por la explicación, que hemos leído mil veces, como porque contiene ilustraciones antiguas y fotos más recientes de la ciudad que inspiró el nacimiento de la topología.
(Vía EduCreate, donde también hay una larga explicación del problema.)
Gridbach [también en inglés además del japonés] es un curioso proyecto matemático en torno a la conjetura de Goldbach. Es muy del estilo de Folding@Home, Seti@Home (en hibernación) o ChessBrain (que no ha avanzado en dos décadas), en el sentido de que se utilizan los ordenadores de voluntarios de todo el mundo para realizar los cálculos de forma distribuida. De momento ya ha batido algún récord.
La famosa Conjetura de Goldbach es muy sencilla de entender, simple y a la vez maléfica, y viene a decir que
Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos.
Goldbach enunció esta conjetura en 1742 y todavía nadie ha podido demostrar que sea matemáticamente cierta, ni por supuesto se ha hallado un número para el que no sea válida. Como no hay una demostración directa se podría pensar en un contraejemplo, pero la dificultad parece estribar en que hay demasiadas formas de combinar los números primos: a medida que se va subiendo en la lista –y se ha comprobado hasta 4 trillones– siempre aparece un ejemplo válido. Por esta razón se sigue considerando uno de los más bellos problemas de las matemáticas.
Gridbach es obra de Hiroaki Jay Nakata, y como sistema distribuido ya ha verificado hasta ha verificado la conjetura hasta 4×1018 + 1013 (4.000.010.000.000.000.000), superando en 10 billones el anterior récord de 2013. Y subiendo.
Gridbach está programado en WASM (WebAssembly) y ejecuta los cálculos directamente en el navegador del PC o del móvil; no hay que instalar ningún software. Al arrancar pide automáticamente un bloque de números a comprobar y se pone con ello. Cuando verifica todas las soluciones lo comunica, pidiendo un nuevo bloque; si quedaran huecos porque alguno se quede a medias alguien lo revisará y recalculará, y así sucesivamente.
El proyecto es completamente transparente y de código abierto, con todos los algoritmos de cálculo optimizados disponibles en GitHub. Cualquiera puede revisarlo, mejorarlo y contribuir. Todo un ejemplo de cómo la tecnología actual permite a cualquier persona contribuir a descubrimientos científicos desde su propia casa.
