Dependiendo de la situación puedes elegir cómo enmarcar tu toma de decisiones. Depende de si la situación requiere elegir entre acciones o formarse una opinión en base a las evidencias.

– Cassie Kozyrkovz

Según Cassie Kozyrkovz, Jefa de Inteligencia de Decisión de Google, hay dos tipos de personas en el mundo: las bayesianas y las frecuentistas. Esto está relacionado con el azar y su interpretación estadística y probabilística más profunda a la hora de tomar decisiones o elegir opciones. Una cuestión que pasa de ser una mera «diferenciación estadística» a algo con ciertas implicaciones filosóficas por no decir metafísicas.

Puedes hacer un pequeño experimento para saber a qué grupo de personas perteneces viendo cómo Kozyrkovz lanza una moneda al aire sobre la palma de su mano. Cuando caiga, responde:

¿Cuál es la probabilidad de la moneda haya salido «cara» una vez que ya ha caído, pero antes de ver el resultado?

Una persona bayesiana diría que esa probabilidad es del 50%, dado que hay las mismas probabilidades de que salga cara o cruz. Simplemente no se sabe. Es cierto que Kozyrkovz lo sabe porque lo ha mirado (y lo sabe con certeza) pero tú no, que es a quien se pregunta, no lo sabes, y eso puede ser lo importante.

En cambio, una persona frecuentista diría que es o bien del 100% o bien del 0%. La moneda ya ha caído y es un hecho consumado que es cara o es cruz. Kozyrkovz también lo sabe. No hay probabilidades llegados a ese punto. Y la moneda no va a cambiar mágicamente de orientación porque tú no lo sepas.

En el fondo esto es la diferencia entre quienes piensan que algunas cosas suceden aunque tú las desconozcas, y quienes se preocupan más por la realidad o las evidencias tras los hechos. También puede entenderse como que acerca de ciertos hechos puedes tener una opinión o bien centrarte en que indubitadamente hay cierto, aunque no conozcas esos hechos. Hay a quien le importa más su opinión, y modificarla con el tiempo, y quienes piensan que si se repite la prueba y la situación en la que hay que elegir opciones frecuentemente acertarán cierto número de veces.

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Me pareció también curioso cómo hay un momento [alrededor de 02:12] en el que el ejemplo de la moneda comienza a parecerse peligrosamente a un estado cuántico de superposición, como el de un fotón con el espín hacia arriba o hacia abajo con probabilidad 50/50. Kozyrkovz descarta esto rápidamente diciendo que esto es estadística y no «una moneda de Schrödinger» que está «¡oh, vaya! en un estado indeterminado». Hace bien porque el parecido es un espejismo y la mecánica cuántica no tiene nada que ver con esto.

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Es todo cuestión de trazar líneas. Estos métodos sirven para cualquier número, en principio. Y es un principio muy simple. No es de extrañar que los griegos no perdieran el tiempo haciendo numeritos, sino que estuvieran más interesados en la geometría, la forma de las matemáticas.

– Johhny Ball

El venerable divulgador matemático Johnny Ball explica en este vídeo de Numberphile unas cuantos métodos matemáticos para realizar operaciones medianamente avanzadas mediante geometría, como multiplicar o dividir números o extraer raíces cuadradas.

Estos métodos se atribuyen a Hipócrates de Quíos (~470-410 a. C.), que aunque se llamaba igual no es Hipócrates de Cos, el médico. De hecho Ball considera que el paso del tiempo ha sido un tanto injusto con aquel matemático y que sus ideas bien merecían un pedestal más alto en la Historia del conocimiento.

Una de las técnicas consiste en multiplicar números trazando dos rectas con marcas regulares y luego líneas paralelas. Es un método interesante pero poco práctico porque si los números son muy grandes el dibujo se torna gigantesco, pero ahí está. Haciéndolo a la inversa, sirve para dividir.

Más interesante todavía resulta el método geométrico para extraer raíces cuadradas de cualquier número. En este caso se utilizan varias líneas rectas y un círculo. Lo que al principio parece un tanto arbitrario («y se suma uno porque así funciona…») es un tanto desconcertante, pero qué funciona. Mejor todavía es la explicación de por qué funciona, que tiene que ver con los ángulos y triángulos semejantes que forman las figuras. Algo que inspiraría siglos después a Descartes, Fermat, Newton, Leibniz… y el resto es historia. Pura magia matemática griega.

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Si las manecillas del minutero y el horario de un reloj analógico son iguales, ¿es posible determinar siempre cuál es la hora exacta?

Aunque pueda parecerlo, la respuesta no es trivial. Es una curiosa cuestión que investiga un vídeo del canal de Zach Star, en el que se sigue el razonamiento completo del problema hasta llegar a la solución. Y es muy entretenido.

Para hacerlo hay que pensar en un reloj analógico con dos manecillas (minutero y horario) que son indistinguibles, en el que no hay segundero y en el que –por simplificar– nos da igual si está marcando la hora am/pm. Se supone que podemos medir la posición exacta de ambas manecillas con absoluta precisión, pero no distinguir cuál es cual.

Imaginemos que el reloj marca las 3:00. La manecilla de las horas (corta) estaría en las 3 y la de los minutos (larga) en las 12. Pero podemos razonar que en ese caso esa es la única posibilidad: si fuera al revés y en vez de las 3:00 fueran las 12:15, la de los minutos estaría en el 3 pero la de las horas no podría estar exactamente en las 12, sino un poco más adelantada, a la cuarta parte del camino entre las 12 y la 1. Por tanto el aspecto de las manecillas a las 3:00, apuntando exactamente una a las 12 y otra a las 3, es «único» se mire como se mire y sólo pueden ser las 3:00 y no las 12:15.

Estudiando el problema se ve también que hay otros momentos donde no es tan fácil esa distinción: con las manecillas en las 3:40 también podría suceder que fueran las 8:16… más o menos. De ahí el problema.

La solución pasa por tratar las horas como si fueran coordenadas X-Y y dibujar una gráfica de todas las horas entre las 0:00 y las 11:59. Al hacerlo se ve que la forma de «invertir las manecillas» es utilizar una simetría que intercambia los valores X e Y. Al hacerlo hay algunos puntos donde todas las horas marcadas se cruzan: a las 10:04 y 12:50 (más o menos, con algunos segundos) igual que a las 2:36 y 7:13 y otras.

¿Cuántas configuraciones o momentos de este tipo hay? En total los valores son iguales 12 × 12 = 144 veces (una de ellas repetida, en realidad 143). Pero como hay momentos como las 12 en punto o las 6:34 en que las que las manecillas se superponen –11 veces a lo largo de una vuelta completa– en realidad esto sucede sólo 143-11 = 132 veces. En el vídeo dan este valor correcto como correcto, pero considerando que hay 12 posiciones con las manecillas superpuestas y 144 cruces de valores; el resultado es el mismo. Depende un poco de cómo se calcule y si se tienen en cuenta todos los valores entre 0:00 y 11:59 o entre 0:00 y 12:00 (que se podría ignorar por ser la misma que 0:00).

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En el canal MarbleScience, que al parecer se dedica a hacer cosas divertidas con canicas, han construido esta Una simulación de Monte Carlo para calcular el valor de π. Al igual que otras de este tipo consiste en dejar actuar al azar y ver qué pasa.

Quien quiera entender por qué sucede esto y cómo replicar el «experimento» matemático en otra simulación tiene que saber que lo que el lanzador de canicas se mueve aleatoriamente por las coordenadas de la mesa verde, que contiene a su vez dos recipientes: uno cuadrado y otro circular.

Ese cuadrado y ese círculo tienen unas dimensiones tales que el lado del cuadrado, que no es relevante y en el experimento se llama simplemente a, es igual al radio del círculo. De modo que la superficie del cuadrado sería a² y la superficie del círculo πa². La proporción entre ambos, si se divide la superficie del círculo entre la del cuadrado, es exactamente π. En otras palabras: la superficie del círculo es π veces mayor que la del cuadrado (3,14159… veces exactamente).

Ese valor de nuestra circular constante favorita es el que aparece cuando se dejan caer al azar las canicas si se calcula esa proporción, dividiendo un valor por otro. Si caen realmente bien distribuidas por las leyes del azar –¡ojo con el método elegido, o puede producirse la paradoja de Bertrand!– entonces habrá por pura lógica π veces más canicas en un recipiente que es π veces más grande. Como se ve en la animación, en un momento dado por ejemplo hay 263 canicas en el círculo y 83 en el cuadrado. Esto da 263/83 = 3,16… que es una buena aproximación a π. Para un método tan rústico, al menos.

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