Es todo cuestión de trazar líneas. Estos métodos sirven para cualquier número, en principio. Y es un principio muy simple. No es de extrañar que los griegos no perdieran el tiempo haciendo numeritos, sino que estuvieran más interesados en la geometría, la forma de las matemáticas.

– Johhny Ball

El venerable divulgador matemático Johnny Ball explica en este vídeo de Numberphile unas cuantos métodos matemáticos para realizar operaciones medianamente avanzadas mediante geometría, como multiplicar o dividir números o extraer raíces cuadradas.

Estos métodos se atribuyen a Hipócrates de Quíos (~470-410 a. C.), que aunque se llamaba igual no es Hipócrates de Cos, el médico. De hecho Ball considera que el paso del tiempo ha sido un tanto injusto con aquel matemático y que sus ideas bien merecían un pedestal más alto en la Historia del conocimiento.

Una de las técnicas consiste en multiplicar números trazando dos rectas con marcas regulares y luego líneas paralelas. Es un método interesante pero poco práctico porque si los números son muy grandes el dibujo se torna gigantesco, pero ahí está. Haciéndolo a la inversa, sirve para dividir.

Más interesante todavía resulta el método geométrico para extraer raíces cuadradas de cualquier número. En este caso se utilizan varias líneas rectas y un círculo. Lo que al principio parece un tanto arbitrario («y se suma uno porque así funciona…») es un tanto desconcertante, pero qué funciona. Mejor todavía es la explicación de por qué funciona, que tiene que ver con los ángulos y triángulos semejantes que forman las figuras. Algo que inspiraría siglos después a Descartes, Fermat, Newton, Leibniz… y el resto es historia. Pura magia matemática griega.

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Si las manecillas del minutero y el horario de un reloj analógico son iguales, ¿es posible determinar siempre cuál es la hora exacta?

Aunque pueda parecerlo, la respuesta no es trivial. Es una curiosa cuestión que investiga un vídeo del canal de Zach Star, en el que se sigue el razonamiento completo del problema hasta llegar a la solución. Y es muy entretenido.

Para hacerlo hay que pensar en un reloj analógico con dos manecillas (minutero y horario) que son indistinguibles, en el que no hay segundero y en el que –por simplificar– nos da igual si está marcando la hora am/pm. Se supone que podemos medir la posición exacta de ambas manecillas con absoluta precisión, pero no distinguir cuál es cual.

Imaginemos que el reloj marca las 3:00. La manecilla de las horas (corta) estaría en las 3 y la de los minutos (larga) en las 12. Pero podemos razonar que en ese caso esa es la única posibilidad: si fuera al revés y en vez de las 3:00 fueran las 12:15, la de los minutos estaría en el 3 pero la de las horas no podría estar exactamente en las 12, sino un poco más adelantada, a la cuarta parte del camino entre las 12 y la 1. Por tanto el aspecto de las manecillas a las 3:00, apuntando exactamente una a las 12 y otra a las 3, es «único» se mire como se mire y sólo pueden ser las 3:00 y no las 12:15.

Estudiando el problema se ve también que hay otros momentos donde no es tan fácil esa distinción: con las manecillas en las 3:40 también podría suceder que fueran las 8:16… más o menos. De ahí el problema.

La solución pasa por tratar las horas como si fueran coordenadas X-Y y dibujar una gráfica de todas las horas entre las 0:00 y las 11:59. Al hacerlo se ve que la forma de «invertir las manecillas» es utilizar una simetría que intercambia los valores X e Y. Al hacerlo hay algunos puntos donde todas las horas marcadas se cruzan: a las 10:04 y 12:50 (más o menos, con algunos segundos) igual que a las 2:36 y 7:13 y otras.

¿Cuántas configuraciones o momentos de este tipo hay? En total los valores son iguales 12 × 12 = 144 veces (una de ellas repetida, en realidad 143). Pero como hay momentos como las 12 en punto o las 6:34 en que las que las manecillas se superponen –11 veces a lo largo de una vuelta completa– en realidad esto sucede sólo 143-11 = 132 veces. En el vídeo dan este valor correcto como correcto, pero considerando que hay 12 posiciones con las manecillas superpuestas y 144 cruces de valores; el resultado es el mismo. Depende un poco de cómo se calcule y si se tienen en cuenta todos los valores entre 0:00 y 11:59 o entre 0:00 y 12:00 (que se podría ignorar por ser la misma que 0:00).

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En el canal MarbleScience, que al parecer se dedica a hacer cosas divertidas con canicas, han construido esta Una simulación de Monte Carlo para calcular el valor de π. Al igual que otras de este tipo consiste en dejar actuar al azar y ver qué pasa.

Quien quiera entender por qué sucede esto y cómo replicar el «experimento» matemático en otra simulación tiene que saber que lo que el lanzador de canicas se mueve aleatoriamente por las coordenadas de la mesa verde, que contiene a su vez dos recipientes: uno cuadrado y otro circular.

Ese cuadrado y ese círculo tienen unas dimensiones tales que el lado del cuadrado, que no es relevante y en el experimento se llama simplemente a, es igual al radio del círculo. De modo que la superficie del cuadrado sería a² y la superficie del círculo πa². La proporción entre ambos, si se divide la superficie del círculo entre la del cuadrado, es exactamente π. En otras palabras: la superficie del círculo es π veces mayor que la del cuadrado (3,14159… veces exactamente).

Ese valor de nuestra circular constante favorita es el que aparece cuando se dejan caer al azar las canicas si se calcula esa proporción, dividiendo un valor por otro. Si caen realmente bien distribuidas por las leyes del azar –¡ojo con el método elegido, o puede producirse la paradoja de Bertrand!– entonces habrá por pura lógica π veces más canicas en un recipiente que es π veces más grande. Como se ve en la animación, en un momento dado por ejemplo hay 263 canicas en el círculo y 83 en el cuadrado. Esto da 263/83 = 3,16… que es una buena aproximación a π. Para un método tan rústico, al menos.

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Estos cuatro conjuntos de datos son distintos, pero resulta que tienen la misma media aritmética y varianza de los valores x e y, la misma correlación, el mismo coeficiente de correlación y la misma recta de regresión. algunos con 2 ó 3 decimales. Son el Cuarteto de Anscombe, llamado así por F.J. Anscombe, un matemático estadista que los publicó en 1973. Se suelen utilizara para enseñar que además de calcular las propiedades estadística de los datos, conviene visualizarlos.

En todos los casos las representaciones nos dicen algo más sobre los datos: los primeros parecen un tanto aleatorios pero relacionados, los segundos muestran un patrón claro pero notablemente diferente; en el tercero y el cuarto hay otros patrones enturbiados por algunos valores anómalos. Estos valores pueden ser errores, datos reales que simplemente están fuera de lo normal o incluso datos producidos artificialmente para que todo encaje.

Moraleja: no te fíes ciegamente de los datos y tampoco de las estadísticas que obtenga de ellos; procura montar además una visualización para entenderlos.

Actualización (9 de septiembre de 2020) – Muy interesante también al respecto Same Stats, Different Graphs en Autodesk Research con la aparición estelar del Datosaurio. (¡Gracias Zerjillo!)

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{Imagen (CC) Wikimedia}