La función exponencial en el plano complejo: el origen de π / Imagen: Jan Homann

A continuación dejo unos enlaces a varios sitios que estuve mirando durante las semanas pasadas, que me parecieron muy interesantes pero que como guardé marcándolos como «Para bloguear…» corren el riesgo de ser procrastinados eternamente. Son estos, sin orden ni concierto pero con muchos hiperenlaces:

#1 – Una fórmula para el enésimo dígito decimal o binario de pi y de potencias de pi

Es un trabajo que alguien publicado acerca de una nueva fórmula para calcular dígitos de pi de una forma novedosa, directa y según parece relativamente sencilla (el paper tiene unas pocas páginas y nada demasiado complicado). Eso sí: los resultados están en binario (aunque eso no es un gran problema) y el algoritmo depende de calcular las secuencias de los números de Euler y Bernoulli, lo cual puede llevar bastante trabajo. Así que como «forma rápida y eficiente» de calcular π con alta precisión queda descartado.

#2 – Verificación de la convergencia en la conjetura de Collatz

En esta página puede verse cómo hay un equipo comprobando con ahínco la conjetura de Collatz, en tiempo real.

Piensa un número cualquiera, que sea entero y mayor que cero. Haz lo siguiente: Si es par, divídelo por dos. Si es impar, multiplícalo por tres y súmale uno. Repite esta misma operación una y otra vez. Al final siempre obtendrás el mismo resultado: 1.

En el momento de escribir esto ya han llegado hasta 677 × 2⁶⁰ (≈ 2^69,40). Lo más curioso es que puedes recargar la página y ver cómo han avanzado imperceptiblemente más allá.

#3 - ¿Qué es pi? (Y, ya que estamos, qué es e?

Es una interesantísima explicación de Alon Amit en Quora acerca de por qué π es lo que es y de dónde viene. O, dicho de otra forma –y aunque rompa con la forma en la que casi todo el mundo lo aprendió– por qué pi no proviene de las circunferencias y círculos, y por qué aparece en otros lugares de la matemática o la física que no parecen tener nada que ver con los círculos.

En un artículo bastante divulgativo se explica el verdadero origen, que resulta más interesante todavía: la función exponencial (compleja) y en concreto de la más simple: f' = f.

Mariposas revoloteando el atractor de Lorenz, que a su vez tiene forma de mariposa. ¿Se puede pedir algo más? Pues Juan Carlos Ponce tiene en su web esta preciosa página sobre Atractores extraños donde se puede ver su dinámico y caótico comportamiento:

El término atractor extraño se utiliza para describir un atractor –una región o forma hacia la que «tiran» los puntos como resultado de un determinado proceso– que muestra una dependencia sensible de las condiciones iniciales, es decir, los puntos que inicialmente están próximos en el atractor se separan exponencialmente con el tiempo. El atractor extraño más famoso es, sin duda, el atractor de Lorenz, un objeto tridimensional cuya planta se asemeja a la de una mariposa o una máscara. El atractor de Lorenz, llamado así por su descubridor Edward N. Lorenz, surgió de un modelo matemático de la atmósfera.

En su web no sólo está el archiconocido atractor de Lorenz, sino otros con nombres propios: Thomas, Aizawa, Dadras, Chenz… De cada uno de ellos se indican las ecuaciones diferenciales que rigen su comportamiento y los parámetros iniciales. Cada uno es diferente, y se visualiza con partículas de colores (o mariposas, en el caso de Lorenz) que giran a medida que pasa el tiempo.

Todas las visualizaciones son interactivas; se puede jugar a moverlas con el ratón o cambiar diversos valores: velocidad, vuelva a empezar, cambios aleatorios… Es un proceso tan fascinante como relajante a la vez.

Relacionado:

• Un atractor de Lorenz interactivo
• Atractores extraños
• Un atractor de Lorenz en Minecraft

También de Ponce:

• Matemáticas dinámicas: estupendas visualizaciones de código abierto
• El Análisis complejo y una exploración de los conjuntos de Mandelbrot y Julia con código abierto

El Zoo de Complejidad (Complexity Zoo) es una herramienta de referencia para teóricos de la informática y estudiantes, pero también puede venir bien a programadores, matemáticos, físicos y curiosos que se encuentre ocasionalmente con el concepto «clases de complejidad».

Quién más quien menos habrá oído algo sobre el problema ¿P = NP?, que viene a preguntar si las clases de complejidad P y NP son equivalentes o no. Esto tiene que ver con las formas de catalogar la dificultad intrínseca de los problemas o algoritmos, por ejemplo el problema del viajante, un algoritmo de ordenación u otro para resolver sudokus.

En este ejemplo P es la clase llamada «tiempo polinomial» y NP es «tiempo polinomial no determinista», que se sabe contiene a P pero no está claro que sean exactamente iguales (es una de las cuestiones matemáticas abiertas todavía sin solución). Pues bien, además de P y NP –que son de las más conocidas– hay cientos de otras clases de complejidad con nombres tan curiosos como para-NL (espacio logarítmico no determinístico parametrizado) o PEXP (tiempo exponencial probabilístico).

El zoológico tiene una lista a día de hoy de 546 clases de complejidad, muchas de las cuales tienen que ver con la información cuántica. Funciona como un wiki y tiene un «cuidador», que no es ni más ni menos que nuestro admirado Scott Aaronson, con Greg Kuperberg como «veterinario» y Oliver Habryka como «conservador», representando a la comunidad de LessWrong. Se actualiza de vez en cuando, tanto con clases de complejidad conocidas como desconocidas, siempre y cuando algo se haya dicho algo sobre ellas que no sea trivial.

Bonus: un buen artículo sobre el estado de la cuestión P = NP es este que publicaron en Communications of the ACM el año pasado: Fifty Years of P vs. NP and the Possibility of the Impossible.

Relacionado:

• The Golden Ticket: un libro divulgativo sobre la cuestión P = NP
• Comprobar si p es primo está realmente en P
• Avances y mejoras tras 44 años en el problema matemático del viajante

Resulta que se cumplen estos días 50 años [PDF] de la edición en papel de la maravillosa Enciclopedia On-Line de las Secuencias de Números Enteros, uno de los trabajos más preciosos, interesantes y meticulosos que hemos visto en estas últimas décadas. Hoy en día es el trabajo de equipo, pero empezó hace 60 años, cuando hacia 1965 Neil Sloane comenzó a archivar en solitario secuencias de números en cartulinas de papel, que acabaron publicándose en forma de libro en 1973. En 1994 se podían consultar por email, y finalmente saltaron a Internet en 1995. El resto es historia:

Hasta 1973 no existía ninguna base de datos de secuencias de números enteros. Alguien que se encontrara la secuencia 1, 2, 4, 9, 21, 51, 127… no habría tenido manera de descubrir que se había estudiado desde 1870 (hoy se denominan números de Motzkin y se corresponden con la entrada A001006 de la base de datos). Todo cambió en 1973 con la publicación de A Handbook of Integer Sequences, que incluía 2.372 entradas (…) La Enciclopedia On-Line de las Secuencias de Números Enteros (OEIS) contiene a día de hoy 360.000 entradas, recibe un millón de visitas diarias y ha sido citada 10.000 veces, a menudo con un comentario que dice «secuencia descubierta gracias a la OEIS».

Según cuenta Sloane la publicación del libro y que la gente encontrara tan fascinantes como útiles las diferentes secuencias provocó una explosión de colaboraciones: todo el mundo le enviaba material para añadir. A mediados de los 90 tenía un metro cúbico de material y apenas daba abasto. En 2009 acabó montando la Fundación OEIS que es la que ahora se encargara de todo del trabajo; en la práctica funciona como un wiki moderado y pueden verse las secuencias candidatas en una página de propuestas. Entre sus secuencias favoritas dicen que están:

• La secuencia de Recamán
• La secuencia de Gijswijt
• La secuencia del problema del camino de piedras
• Las intersecciones de diagonales en un n-gono regular…
• …y el número de regiones que quedan dibujadas

Por estar, está hasta la famosa secuencia con Los números de Perdidos que aparecían en todas partes en la serie: 4, 8, 15, 16, 23 y 42.

Sloane, que trabajó en AT&T, tiene ya 82 años y está retirado, aunque todavía se le puede ver ocasionalmente grabando vídeos divulgativos con la gente de Numberphile, donde ya cuenta con más de 30 apariciones.

Relacionado:

• El hombre que amaba a las secuencias matemáticas: Neil Sloane
• El hueco en la franja de Sloane, una azarosa curiosidad numérica
• Secuencias de números consecutivos
• Del 1 al 10 y otra vez al 1: es primo