Por @Alvy — 19 de Noviembre de 2019

Keisan Online Calculator

Buscando otra cosa parecida me encontré medio por casualidad –suele suceder– con la Keisan Online Calculator. Es una calculadora de alta precisión disponible online y con la garantía de ser de Casio. Normalmente opera con 22 dígitos de precisión, pero se puede aumentar esa cantidad hasta los 130. La interfaz no es precisamente su punto fuerte, pero si se trata de hacer unos cálculos tampoco se necesita mucho más.

Raro es necesitar tanta precisión en cualquier tipo de cálculo, pero viene bien por ejemplo para comprobar a ojo si un número con decimales es periódico o no, si dos grandes números son iguales o si dos fórmulas complicadas dan como resultado exactamente el mismo valor. (Si no con certeza sí al menos «casi, casi seguro»).

Del número π, por ejemplo, tiene sus primeros 130 decimales, aunque sabemos que la NASA realiza sus cálculos con tan solo 15 ó 16 y que con 10 decimales se puede calcular la circunferencia de la Tierra con precisión de un milímetro. Pero oye, hay gente a la que lo de la alta precisión le encanta así que… Ahí van dígitos a tutiplén.

Para cálculos de este estilo mi otro favorito es, naturalmente, WolframAlpha que incluye el motor de Mathematica.

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Por @Alvy — 7 de Noviembre de 2019

Regla 30» de Wolfram

El matemático Stephen Wolfram se ha decidido a ofrecer dinerito, dinerito a quien resuelva alguno de los tres problemas todavía sin solución relacionados con un autómata celular. Más en concreto se refieren a la llamada Regla 30 (Rule 30), cuyo comportamiento es tan curioso como interesante y de la que –como con otros autómatas celulares– todavía quedan muchos «enigmas por descubrir».

La Regla 30 es un autómata celular binario y unidimensional. La regla define qué sucede con cada celda a cada paso según su estado original y el de las dos celdas vecinas a izquierda y derecha. Como puede haber ocho estados iniciales Wolfram estudió en su momento las 28 = 256 combinaciones posibles con un ordenador. Sólo algunas eran «interesantes».

Regla 30, explicación

En concreto la Regla 30 –llamada así porque esas ocho posibilidades se codifican en el catálogo de las 256 como su resultado, 00011110 (30 en binario)– tiene un comportamiento «aperiódico y caótico». Parece ordenada, pero no mucho. Parece repetir patrones, pero sólo en apariencia: se comporta forma aperiódica. Si se estudia su evolución a cada paso dibujando los estados hacia abajo uno por uno el resultado es un triángulo de formas interesantes pero caóticas.

De hecho es tan caótico que si se toma únicamente la columna vertical central de la que parte el primer estado (un 1) el resultado parece totalmente aleatorio: unos y ceros sin orden ni repetición aparente. Como los dígitos del número pi. De hecho las pruebas de aleatoriedad de todo tipo realizadas lo confirman: no se repite, ni tiene patrones obvios, la frecuencia de 0s y 1s parece tender al 50% y no puede «comprimirse». De hecho hasta se usó durante mucho tiempo como función para generar números aleatorios en el software Mathematica. Pero no está demostrado matemáticamente que todo esto sea así. Y sin eso todo lo que se afirme es pura conjetura. (Como conjeturar que la distribución de los dígitos de pi sea normal.)

La formulación de los tres problemas y sus detalles matemáticos y técnicos están en Rule30Prize.org. En total Wolfram ofrece 30.000 dólares en premios a quien pueda explicar algunas cosas sobre el comportamiento de la Regla 30 y su «columna central», que puede interpretarse como una secuencia binaria de 0s y 1s:

  1. ¿Es una secuencia no-periódica?
  2. ¿Es la frecuencia de ambos valores la misma como promedio? (50%)
  3. ¿Es necesaria una potencia de cálculo de O(n) para calcular la n-ésima celda?

El artículo en el que Wolfram anuncia y explica el desafío de la Regla 30 es sumamente interesante incluso para quienes no vayan a participar. Incluye, como ya hizo en su libro A New Kind of Science toda la historia del descubrimiento de la Regla 30 y lo que se ha ido descubriendo sobre ella. También sobre las generalizaciones e investigaciones hasta la fecha, así como otras disquisiciones más complejas sobre computación y su significado matemático e incluso físico. Para quien esté interesado en los autómatas celulares es lectura obligada.

Los problemas acerca de la Regla 30 son de una importante magnitud, pero además de eso es que llevan tantos años abiertos que quien los resuelva seguramente consiga algo más que los 30.000 dólares (o una parte de ellos). Hace tiempo Wolfram planteó un reto parecido y poco después hubo premio. A quien los resuelva le espera la fama mundial y probablemente un jugoso contrato para trabajar con el propio Wolfram, que sin duda quedaría impresionado por la hazaña.

(Vía Pickover.)

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Por @Alvy — 1 de Noviembre de 2019

En este vídeo de Numberphile el profesor Kreck explica y demuestra a grandes rasgos uno de esos hechos matemáticos tan llamativos como útiles. Si una mesa está coja tan solo hace falta girarla hasta encontrar el punto en que queda estable. Tampoco hace falta darle muchas vueltas: el giro será de hecho menor que un cuarto de vuelta (90°) y a veces hay incluso varios puntos de estabilidad.

¿Cómo puede ser esto? Veamos: los taburetes de tres patas nunca cojean. La razón es que tienen tres puntos de apoyo, y tres puntos cualesquiera conforman un plano, de modo que los pongas donde los pongas siempre estarán estables. (Otra cosa es que ese plano sea paralelo al suelo, pero no es eso lo que se discute aquí, simplemente que no «cojee»).

Con las sillas y mesas de cuatro patas, en cambio, sucede que a veces por la rugosidad del suelo los cuatro puntos de apoyo no están alineados en el mismo plano –el suelo– de modo que una de ellas queda más alta que las otras y al apoyarse todo se desestabiliza, oscilando de un lado a otro. Pero se puede demostrar que siempre hay una solución para que quede estabilizada, más allá de calzarlas con un papel doblado, claro.

Cualquier mesa de cuatro patas que esté coja se puede estabilizar con sólo girarla un máximo de 90 grados / Numberphile

La «razón escondida» es el teorema del valor intermedio que dice que «si una función es continua en un intervalo, entonces toma todos los intermedios comprendidos entre los extremos del intervalo». Considerando la altura de la pata coja respecto al suelo (en un extremo positiva, en otro negativa) en función del ángulo de giro resulta que ha de pasar por el 0 (contacto con el suelo) obligatoriamente.

… Y por eso las mesas de los matemáticos cuando están tomando cervezas en el bar nunca están cojas.

– Profesor Kreck

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Por @Alvy — 31 de Octubre de 2019

Este videoclip no es algo convencional, como explica Max Cooper al hablar de él. Se trata de una colaboración con Martin Krzywinski titulada Aleph 2 que podría resumirse como «del 1 al infinito en seis minutos». Pero en realidad es mucho más que eso.

Lo que ve es una representación numérica del trabajo de George Cantor y proporciona una visión acerca de algunas ideas exóticas. El video comienza contando los números naturales: 1, 2, 3, etcétera. Esta lista continúa para siempre, pero puede considerarse como una entidad única: el «conjunto» infinito de números naturales (…) Este primer (y más pequeño) infinito se llama Aleph 0 (…) Los números reales, son más que los naturales, como demostró Cantor; la llamada cardinalidad del continuo, Aleph 1,que iría seguida por los conjuntos de subconjuntos de los reales: Aleph 2, etcétera (…) Esto puede sonar un poco impenetrable explicado de una forma tan resumida, pero la idea de Cantor permite ver la esencia de las técnicas que sientan al infinito sobre bases matemáticas firmes.

El vídeo está creado enteramente con números sobre una «pantalla de texto», aunque animado y acelerado para ir mostrando las progresiones de números y tipos de conjuntos de números de forma artística, aderezados con una música muy apropiada. Como bien dice el autor «parece un poco Matrix», y es que a veces las matemáticas tienen ciertamente algo de película de ficción.

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