Por @Alvy — 15 de Agosto de 2019

Incluso calcular la longitud de un rollo de papel higiénico a partir de unos pocos datos es una aventura interesante

La forma en la que las matemáticas resuelven los problemas del MundoReal™ suele pasar por crear «modelos» con los que realizamos cálculos partiendo de ciertas suposiciones. Mejorando esos modelos con nuevos detalles y variables esas soluciones tienen en cuenta más factores y resultan más precisas. Un físico, un ingeniero o una persona sin conocimientos específicos probablemente tiraría por el camino más rápido, haría una medición y listo.

Este trabajo de Peter Johnston titulado How long is my toilet roll? – a simple exercise in mathematical modelling escenifica precisamente esa situación de forma seria pero a la vez entretenida, algo digno de ser enseñado en clase. Se trata de algo tan simple como calcular la longitud total del papel de un rollo de papel higiénico.

Fórmula tras fórmula

El trabajo explica los diferentes modelos: primero se puede suponer que conociendo el diámetro del cilindro de cartón central (R) y el grosor de la zona de papel (D) junto con su espesor (h) sería suficiente: podemos imaginar que hay n = D/h vueltas de papel, que varían entre 2πR y 2π(R+D) y hacer el cálculo con un sumatorio.

Pero sabemos que el rollo no son círculos perfectamente concéntricos, sino más bien una larga espiral, así que el cálculo se quedaría algo corto. Otra aproximación sería promediar los radios de cada vuelta con la siguiente, y sería algo más preciso. Esto se resuelve con otro sumatorio. La fórmula resultante:

2πRn + πn2h

Finalmente está la solución más precisa, que es darse cuenta de que en realidad la gran hoja de papel forma una espiral, cuya distancia al centro del rollo depende del ángulo. Más exactamente es una espiral de Arquímedes con una distancia fija entre cada capa a cada vuelta. El resultado más simple es una fórmula que ya «asusta» un poco más:

Longitud Rollo Papel, fórmula 3

Curiosamente, si se simplifica resulta que esta fórmula es exactamente la misma que en el caso anterior (2πRn + πn2h). Esto quiere decir que la solución de «promediar» cuando se sabía que la primera fórmula se quedaba un poco corta con otra variable que iba un poco larga ha resultado ser apropiada.

La fórmula «exacta» realizando los cálculos precisos de las longitudes de arco con coordenadas polares (hay otras formas de calcularlo de forma aproximada) es llamativa; más que nada por lo grande que resulta, aunque es bastante simple sustituyendo las variables por sus valores:

Longitud Rollo Papel, fórmula 4

De vuelta al MundoReal™

Pero lo más divertido de todo es que en el MundoReal™ esto no funciona del todo bien. ¿Cómo lo sabemos? Johnston fue a la tienda y compró un rollo. Lo midió obteniendo 55 mm de radio interior (R) y 20 mm de ancho de la zona del papel (D); después con una herramienta de precisión calculó el grosor de las capas (h) que eran de 0,36 mm (aquí tuvo que promediar). Según la primera fórmula el papel debía medir 22.797 mm, según el segundo y tercer método, 22.907 mm; el cuarto método también daba 22.907 mm aunque con una pequeña diferencia en el segundo decimal. Pero al desplegar y medir el rollo se encontró con que medía 23.200 mm, casi 30 cm más de lo previsto. El error había sido de aproximadamente del 1,5 por ciento.

El ejercicio completo es todo un precioso trabajo sobre cómo crear un modelo, mejorarlo, calcular, seguir calculando y luego comprobar hasta qué punto es correcto o no gracias a la experimentación. Ciencia pura. También de que las cosas en el MundoReal™ son medibles pero hay ciertos factores imponderables, incógnitas y errores de precisión en las herramientas de trabajo que hacen que la labor de físicos, ingenieros y quienes trabajan «sobre el terreno» tenga tanto valor como el de las matemáticas teóricas e ideales.

Relacionado:

(Vía @Pickover)

Compartir en Flipboard Compartir en Facebook Tuitear
Por @Alvy — 10 de Agosto de 2019

La conjetura de Beal es una de esas pequeñas maravillas fáciles de entender pero muy difíciles de resolver. Viene a decir respecto a

Ax + By = Cz

que si A, B, C, x, y y z son números enteros positivos, siendo x, y, z mayores que 2, entonces A, B y C tienen al menos un factor primo común. Un ejemplo sería que 36 + 183 = 38 siendo el 3 el factor común (aunque no tiene por qué ser el mismo número).

Se trata de una conjetura matemática, es decir, una afirmación que no está demostrada formalmente (ni refutada). Cuando Andrew Beal –un matemático aficionado– la enunció en 1993 apostó 5.000 dólares a que nadie encontraría un contraejemplo. Luego aumentó el premio a 50.000 dólares al cabo de diez años, y ahora ofrece un millón de dólares.

Aunque la conjetura de Beal se parece mucho a la del último teorema Fermat no son exactamente lo mismo. El caso de Fermat se podría entender cómo que x = y = z. Y si existiera una solución, A, B y C serían coprimos, de modo que la conjetura de Fermat puede considerarse como un «caso especial» de la conjetura de Beal, que sería en cierto modo más «genérica». Desde la demostración de la conjetura de Fermat sabemos que no existe esa solución, pero eso no implica que pudiera haber otras cuando x, y y z son distintos.

En las últimas dos décadas ha habido muchos intentos por completar la demostración o por encontrar el contraejemplo. De hecho se conocen demostraciones para ciertos valores de A, B, C según estén relacionados con x, y, z porque ejemplo por ser múltiplos o potencias; en otros casos como x=2, y=3, y=15 se encontraron demostraciones específicas. Pero ningún contraejemplo.

El conocido investigador de Google Peter Norvig dedicó también cierto tiempo a buscar contraejemplos de forma exhaustiva. Según contó en su blog llegó hasta el punto de excluir todas las posibles soluciones cuando x, y, z ≤ 7 y cuando A, B, C ≤ 250,000, lo cual implica que de existir un contraejemplo serían números relativamente grandes. También eliminó todas las posibles soluciones para x, y, z ≤ 100 con A, B, C ≤ 10,000. Así que si alguien quiere entretenerse, al menos se puede ahorrar ese trabajo previo.

La búsqueda continúa.

(Vía Fermat’s Library.)

Relacionado:

Compartir en Flipboard Compartir en Facebook Tuitear
Por @Alvy — 6 de Agosto de 2019

Esta curiosidad matemática que explica la profesora Holly Krieger en un episodio antiguo de Numberphile es una de esas cosas que encanta a mucha gente: cómo en matemáticas conceptos aparentemente distintos y alejados el uno del otro aparecen «mágicamente» unidos en donde menos se los espera. Puede ser el número pi en un problema de física de colisiones o valores combinatorios en el triángulo de Pascal.

En este caso es la famosa sucesión de Fibonacci (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89…) la que aparece en el conjunto de Mandelbrot. Lo cual es un tanto sorprendente porque este conocido fractal tiene que ver con números complejos, no con la suma de números y la aritmética básica (como sucede en la sucesión).

5 de Fibonacci en Mandelbrot
De este componente salen cinco antenas; del siguiente salen 8, luego 13, 21… etcétera

El caso es que si se cuentan las «antenas» que aparecen en los componentes hiperbólicos –que son esos bultos con forma de Mandelbrot más pequeño que aparecen alrededor de la imagen principal– el primero tiene 2, el siguiente 3, luego 5, 8… Cada una apuntando en una dirección diferente, y así sucesivamente. ¡Fibonacci!

Hay una razón profunda por la que esto es así, a pesar de lo diferente de ambos conceptos (Mandelbrot y Fibonacci) y la profesora dedica la parte final del vídeo a explicarlo, lo cual es siempre interesante. Imposible no mencionar otro lugar un tanto inesperado en el que aparece Fibonacci: en los pétalos de las margaritas y los romanescos.

Relacionado:

Compartir en Flipboard Compartir en Facebook Tuitear
Por @Alvy — 6 de Julio de 2019

IFStile [Windows, Mac, Linux] es un generador de teselaciones fractales, que también puede utilizarse online en una nueva versión: IFStile Online. Las imágenes generadas son interactivas, de modo que se puede hace zoom y examinar los detalles, o cambiar algunos valores y ver qué sucede.

El programa viene precargado con muchísimos ejemplos: copos de nieve, curvas fractales, teselaciones geométricas… y otras con nombres más simpáticos. Una vez generadas se pueden descargar como imágenes PNG.

Otras opciones incluyen rotaciones, miniaturas, contornos y otras curiosidades, como coloreados, a las que bien merece la pena explorar dedicando un tiempo.

Relacionado:

Compartir en Flipboard Compartir en Facebook Tuitear