Por @Alvy — 8 de Octubre de 2019

Lo de mezclar los naipes de una baraja tiene su técnica, además de su arte. Y este vídeo es un estupendo ejemplo de cómo además tiene mucho de ciencia, en este caso matemática, y cómo se puede investigar y pasar un rato educativo con una simple baraja, lápiz y papel. Ejercicio ideal para clase con hipótesis, experimento, confirmación/refutación y estadística muy básica.

Existen muchas formas de barajar los naipes, algo que depende de regiones y costumbres. Está la mezcla americana (por hojeo), la mezcla en mano (habitual en España), la hindú, la faro… o poner todas las cartas boca abajo, moverlas y reordenarlas – algo poco habitual pero también efectivo. El creador del vídeo decidió investigar si había diferencias ordenando la baraja, mezclando y anotando el resultado varias veces. Para la visualización escribió un software que muestras las cartas a la izquierda en una columna y luego sigue con líneas de colores cada naipe hasta su posición final. La mezcla se hace a mano y simplemente se anota el resultado. (Hubiera sido chulo y útil un sistema de reconocimiento visual, todo sea dicho).

Fijarse en lo que sucede durante la mezcla es interesante: los 52 naipes se dividen en dos grupos más o menos igual de grandes que se entremezclan más o menos homogéneamente. Y luego se repite varias veces. Son esos más o menos junto con la acción de repetir la acción lo que da lugar a la mezcla final aleatoria. Es un proceso muy parecido –de hecho equivalente– al «estirar y plegar» con la masa del pan o la pizza, que distribuye uniformente los ingredientes por división y repetición. Mi ejemplo favorito es dibujando dos puntos en la masa con la que se hacen los fideos chinos: aunque estén separados una décima de milímetro pueden acabar separados más de un metro.

En la prueba con los naipes se usa primero la mezcla americana y el resultado se analiza con dos valores:

  • Distancia desde el inicio – mide el promedio de lugares que se han «movido» los naipes desde su posición inicial.
  • Distancia a los vecinos – mide la distancia promedio que se han movido los naipes respecto a los naipes vecinos desde la posición original.

Ya en 1992 Bayer y Diaconis descubrieron que 7 mezclas son suficientes para que la baraja quede en un estado completamente aleatorio. Verlo paso a paso es fascinante, porque al principio no están muy desordenados pero cada interacción embarulla el asunto hasta que el azar acaba dominando. El caos surgiendo de la repetición.

Con esa mezcla americana tras 7-8 repeticiones la distancia promedio desde el inicio es ~20 y la distancia a los vecinos ~15. Haciéndolo con «menos cuidado» el resultado no varía mucho y en cualquier caso parece un poco mejor que la mezcla en mano, que tiende a dejar algunos grupos juntos pero también es bastante digna. Si se realiza el mismo proceso con un algoritmo aleatorio de software (no al estilo humano) el resultado es mucho más rápidamente aparente (Inicio: ~17, vecinos ~16).

El vídeo se completa con cartas de Magic: the Gathering, pero la parte más interesante de mostrar cómo sucede todo es sin duda la primera.

(Vídeo de etansivad vía BoingBoing vía Miquel Duran. Agradecimientos a Another Day in the Lab por la pista.)

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Por @Alvy — 26 de Septiembre de 2019

Este psicodélico y musical vídeo de Code Parade muestra complejos fractales generados a alta resolución que «reaccionan» al ritmo de la música. Más que una reacción es una acción, porque el código con el que se han generado lo que hace es combinar los patrones musicales para que los fractales modifiquen ligeramente su forma a medida que suena la música.

Dicen que en resolución 4K es de momento «casi imposible» lograr este efecto –por la cantidad de computación requerida– pero en baja resolución se pueden generar las imágenes de los fractales prácticamente en tiempo real. ¡Ah, qué interesante sería darse un paseo por uno de estos mundos fractales haciendo ruidos o tocando instrumentos musicales y viendo cómo el paisaje cambia al ritmo de las composiciones musicales! La música electrónica del vídeo por cierto es de Sintel.

El software es PySpace [GitHub] y aunque dicen que no es fácil ni «amigable para el usuario» los verdaderos interesados en desentrañar cómo funcionan los fractales y las matemáticas que los gobiernan lo encontrarán interesante. Hay otro vídeo más fácil de entender que explica cómo generar fractales 3D mediante técnicas de raytracing, que se complican un poco porque los fractales son recursivos y los reflejos se reflejan en los reflejos de los reflejos… pero ahí está otra técnica llamada ray marching para simplificarlo mediante una estimación de distancias. También hay otro buen vídeo de ejemplos.

Un paso más en este tipo de creaciones es que se puede generar vídeo 360° con sonido omnidireccional, lo cual da lugar a un mundo inmersivo de realidad virtual más hipnótico todavía si cabe. Mi única petición para este software: que elimine la opción de crear los inquietantes bulbos que parecen brócolis ¡Puaj! Por lo demás, nada mejor para alucinar un poco en pantalla gigante y sonido envolvente.

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Por @Alvy — 9 de Septiembre de 2019

Fórmula de Herón

Cristóbal Vila ha actualizado la página de su proyecto de animación Infinite Patterns del que hablamos hace algunos días con una explicación de los conceptos matemáticos que subyacen tras sus escenas.

Figuras geométricas, la fórmula de Herón, patrones, disecciones, áreas, la conjetura del panal de abeja, los patrones islámicos, los ojos de los insectos, la razón áurea o la escalera de bramante y la estructura del ADN son algunas de las curiosidades que se detallan.

Merece la pena echarle un repaso antes de volver a ver el vídeo, que es de por sí una auténtica maravilla.

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Por @Alvy — 15 de Agosto de 2019

Incluso calcular la longitud de un rollo de papel higiénico a partir de unos pocos datos es una aventura interesante

La forma en la que las matemáticas resuelven los problemas del MundoReal™ suele pasar por crear «modelos» con los que realizamos cálculos partiendo de ciertas suposiciones. Mejorando esos modelos con nuevos detalles y variables esas soluciones tienen en cuenta más factores y resultan más precisas. Un físico, un ingeniero o una persona sin conocimientos específicos probablemente tiraría por el camino más rápido, haría una medición y listo.

Este trabajo de Peter Johnston titulado How long is my toilet roll? – a simple exercise in mathematical modelling escenifica precisamente esa situación de forma seria pero a la vez entretenida, algo digno de ser enseñado en clase. Se trata de algo tan simple como calcular la longitud total del papel de un rollo de papel higiénico.

Fórmula tras fórmula

El trabajo explica los diferentes modelos: primero se puede suponer que conociendo el diámetro del cilindro de cartón central (R) y el grosor de la zona de papel (D) junto con su espesor (h) sería suficiente: podemos imaginar que hay n = D/h vueltas de papel, que varían entre 2πR y 2π(R+D) y hacer el cálculo con un sumatorio.

Pero sabemos que el rollo no son círculos perfectamente concéntricos, sino más bien una larga espiral, así que el cálculo se quedaría algo corto. Otra aproximación sería promediar los radios de cada vuelta con la siguiente, y sería algo más preciso. Esto se resuelve con otro sumatorio. La fórmula resultante:

2πRn + πn2h

Finalmente está la solución más precisa, que es darse cuenta de que en realidad la gran hoja de papel forma una espiral, cuya distancia al centro del rollo depende del ángulo. Más exactamente es una espiral de Arquímedes con una distancia fija entre cada capa a cada vuelta. El resultado más simple es una fórmula que ya «asusta» un poco más:

Longitud Rollo Papel, fórmula 3

Curiosamente, si se simplifica resulta que esta fórmula es exactamente la misma que en el caso anterior (2πRn + πn2h). Esto quiere decir que la solución de «promediar» cuando se sabía que la primera fórmula se quedaba un poco corta con otra variable que iba un poco larga ha resultado ser apropiada.

La fórmula «exacta» realizando los cálculos precisos de las longitudes de arco con coordenadas polares (hay otras formas de calcularlo de forma aproximada) es llamativa; más que nada por lo grande que resulta, aunque es bastante simple sustituyendo las variables por sus valores:

Longitud Rollo Papel, fórmula 4

De vuelta al MundoReal™

Pero lo más divertido de todo es que en el MundoReal™ esto no funciona del todo bien. ¿Cómo lo sabemos? Johnston fue a la tienda y compró un rollo. Lo midió obteniendo 55 mm de radio interior (R) y 20 mm de ancho de la zona del papel (D); después con una herramienta de precisión calculó el grosor de las capas (h) que eran de 0,36 mm (aquí tuvo que promediar). Según la primera fórmula el papel debía medir 22.797 mm, según el segundo y tercer método, 22.907 mm; el cuarto método también daba 22.907 mm aunque con una pequeña diferencia en el segundo decimal. Pero al desplegar y medir el rollo se encontró con que medía 23.200 mm, casi 30 cm más de lo previsto. El error había sido de aproximadamente del 1,5 por ciento.

El ejercicio completo es todo un precioso trabajo sobre cómo crear un modelo, mejorarlo, calcular, seguir calculando y luego comprobar hasta qué punto es correcto o no gracias a la experimentación. Ciencia pura. También de que las cosas en el MundoReal™ son medibles pero hay ciertos factores imponderables, incógnitas y errores de precisión en las herramientas de trabajo que hacen que la labor de físicos, ingenieros y quienes trabajan «sobre el terreno» tenga tanto valor como el de las matemáticas teóricas e ideales.

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(Vía @Pickover)

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