Por @Alvy — 24 de Mayo de 2016

Supongamos un planeta Tierra esférico de densidad uniforme. Supongamos que se hace un agujero de polo a polo que pasa exactamente por el centro. Y supongamos que en ese agujero se hace el vacío antes de saltar a su interior. ¿Cuánto se tardaría en llegar al otro lado? La respuesta es tan geek como precisa: 42 minutos. Más o menos.

Con los estupendos gráficos y la narración de Minuto de Física se pueden seguir perfectamente los cálculos paso a paso que permiten llegar a esa cifra. Se basan en las fórmulas de atracción gravitatoria y aceleración de los cuerpos en caída, algo al alcance de cualquier estudiante de bachillerato. Los puntos clave a tener en cuenta son:

  • Además de suponer que la tierra es esférica y de densidad perfecta ha de hacerse el vacío en el agujero; de lo contrario se alcanzaría la velocidad terminal (unos 200-250 km/h) a los pocos segundos, debido al rozamiento con el aire (y podrías olvidarte de salir por el otro lado, lo cual sería peor).
  • A medida que el cuerpo cae la aceleración varía: esto es porque está dejando atrás una gran masa (el «suelo») que también ejerce su atracción en sentido contrario. De hecho, si el cuerpo se detuviera enganchándose al el centro, ahí se quedaría (la atracción en todas direcciones se cancelaría y sería cero). La clave para entender cómo varía esa aceleración es ver que las fuerzas se cancelan de forma intrincada pero precisa, de modo que –como sucede en astronomía– es correcto hacerla equivalente a la misma de un cuerpo situado en el borde de un «planeta más pequeño» (como si se le quitara una «capa»). Un ejemplo: la aceleración a 1.000 km bajo tierra es la misma que si el planeta tuviera 1.000 km menos de radio.

Teniendo todo esto en cuenta se pueden realizar los cálculos y ver que el resultado son aproximadamente 42 minutos. Ese es el tiempo que se tarde en llegar de un lado a otro (13.000 km de viaje en total).

MinutoDeFísica se explaya con algunas apreciaciones interesantes:

  • Curiosamente, el tiempo que se emplea en atravesar el planeta no depende del radio; de hecho podría ser mucho más pequeño o más grande o aplicarse también objetos que estuvieran más allá en el espacio. Depende únicamente de la densidad del planeta.
  • Sabemos que la densidad del interior de la Tierra varía bastante entre la corteza, los mantos y los núcleos; si se hace un cálculo más preciso se obtiene un valor de unos 37 minutos; basta ir calculando capa por capa. Si se utiliza el modelo más preciso y los mejores datos que tenemos a día de hoy del interior de nuestro planeta el resultado son unos 38 minutos y 6 segundos.

Si alguien se anima a ponerse a cavar y tiene el valor para lanzarse que luego nos escriba con la confirmación empírica.

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