Por @Alvy — 8 de Julio de 2005

¿Podrías calcular mentalmente si es correcto que 9002 = 899 × 901 + 1?

Un lector sin nombre nos envió esto:

Seguro que no he inventado la pólvora ni mucho menos, pero chorreando con la hoja de cálculo descubrí una cosa:

n2 = (n-1) × (n+1) +1

Efectivamente si se desarrolla la expresión se ve que todos los términos, como las n y los unos se anulan, excepto el n2. Así que esa fórmula es correcta siempre. Aunque por alguna razón da la sensación de que no debería funcionar «siempre».

Desde luego viéndola con números más cotidianos, como el ejemplo de 9002 = 899 × 901 + 1 es cuando menos... curiosa y sorprendente.

Hemos vivido por un momento la situación de nuestra novela favorita:

Alguien nos espameó a la oficina este meme enviado por correo:

«Si le restas uno a cualquier múltiplo de 6, el resultado es siempre un número primo».

El trabajo se ha DETENIDO inmediatamente porque todo el mundo se ha puesto a verificar la validez de la afirmación.

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30 comentarios

#1 — blogum

Hola he encontrado una página muy chula que seguro que os gusta. Son construcciones de lego como la pieza que tenéis de logo

http://www.amyhughes.org/lego/church/photosfirst.html

#2 — G0RK4M

Ya puedo dormir mucho más tranquilo sabiendo que n2 = (n-1) × (n+1) +1.

Que cosas poneis de vez en cuando :D

#3 — Tichy

Cuan lejos queda la escuela, donde aprendiamos que "suma por diferencia es diferencia de cuadrados". ¿Desde cuando hay que comprobar caso por caso una "identidad"?.

#4 — anonimo

Lástima!

(6*1.000)-1 = 5.999

5.999 no es primo ya que es divisible por 7

5.999/7 = 857

#5 — Anonymous

No es verdad que los múltiplos de 6 menos 1 sean todos primos. Lo que es verdad es que todos los primos excepto 1, 2 y 3 son múltiplos de 6 más o menos 1.

La cosa no tiene ningún misterio, lo único que se hace es quitar los pares y los múltiplos de 3.

#6 — show

Estoy con #2 hay gente que se aburre demasiado..xDD

nx2=n+n

Lo segundo de spam es como si digo que si multiplicas por dos un número primo y le restas 24 sale otro número primo. No se lo veo más bien una coincidencia.

Porque mirar el ejemplo que sale en los comentarios, 6x6-1=35 35=7x5

#7 — Anonymous

Suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados, si no han cambiado mucho las cosas en los ultimos años:

(x+y)(x-y) = x.x - y.y

Solo hay que substituir y=1

#8 — valerito

n^2 = (n-1) × (n+1) +1

n^2 - 1 = (n-1) × (n+1)

n^2 - 1^2 = (n-1) × (n+1)

y como bien ha dicho #3

"suma por diferencia es diferencia de cuadrados".

Por fin sirven de algo mis cinco años de carrera. Jejeje

#9 — ggarfield

#4 Creo que se referia al conjunto de los números Naturales o Enteros como mucho :)

Por cierto, creo recordar que 2^(n-1) con n Natural da, a veces, numeros primos :) (no recuerdo el nombre de la Ley/Teoria)

#10 — Alvy

Sí, si se comprueba muy fácil. Pero visualmente es curioso y anti-intuitivo!!! 57^2 = 56 x 58 +1 y cosas así

#11 — ggarfield

Por cierto, yo tenía entendido que los creadores de software criptográfico pagan mucho dinero por "comprar" nuevos números primos para sus algoritmos, enconces, con esta fórmula que habéis enunciado del 6, ¿Cual es la gracia, aparte del gran tamaño de los últimos numeros primos descubiertos?

#12 — alidhaey

Alvy ha convocado a los demonios del álgebra y del cálculo infinitesimal. Juntos dominaran el mundo (si no lo hacen ya).

#13 — almudena

6x6=36

36-1= 35

7x5= 35

Me ha salido como cifras y letras.

Como nos gustan estas cosas, que fácil sentirnos más listos, gracias

#14 — Alvy

#11 – No, que yo sepa no pagan por los números. Existen bastantes formas de generarlos, aunque no es fácil (tanto los primos como los pseudoprimos).

Por si no ha quedado claro, y tal y como han demostrado #6 y #13 de forma práctica la afirmación de que 6n-1 es siempre primo es falsa.

#9 – Los primos (2^n)-1 que mencionas se llaman Primos de Mersenne. Son muy curiosos. Todos los récords de nuevos números primos que se van descubriendo son de ese tipo.

#15 — jotarp

#10 ¿anti-intuitivo?. Lo primero que hay que saber es que todas las matemáticas son anti-intuitivas. Al menos es de lo primero que me enseñaron a mi.

Ponte a estudiar matemáticas y como no dejes la intuición a un lado... no pasas del primer tema.

Mezclar matemáticas e intuición es como mezclar matemáticas y sexo: un error.

#16 — Anonymous

Tiene tambien su explicacion 'grafica', mas intuitiva.

Imagina una cuadricula cuadrada, de pongamos 100x100 cuadraditos. Imagina que quitas la ultima columna, todas las filas tendran un elemento menos.

Ahora añade una fila mas al final, ya tienes el (101x99).

Has añadido todos los cuadraditos que has quitado menos uno, por que ahora la nueva fila tambien tiene un elemento menos.

Al final del proceso te sobra un cuadradito, es logico.

#17 — ggarfield

#14 Así mi profesora de mates me engañó con eso de que pagaban por los números!! Será...

jeje

#18 — Alvy

#16 ¡la explicacion grafica es buena!

#15 bueno, algunas cosas en las matemáticas no son tan anti-intuitivas... al menos no "todas" (algunas si)

#19 — Marctc

Esto que los multiplos de 6 y le restas 1 es mentira ya 6 x 6 = 36 - 1 = 35 no es primo

#20 — K3NNY

Che #19, creo que lo que dijiste vos ya lo dijeron unos 5 veces nomas. A ver si nos ponemos a leer los comentarios al menos...

#21 — Eneko

Aun así mola la regla del 6, de que todo número primo es múltiplo de 6+/-1.

Buscad cualquier número primo y su anterior o posterior (o ambos) será multiplo de 6.

Mola. Aunque creo que esto es imposible de comprobar. :)

#22 — Alvy

#21 – para el 2 no vale. tampoco para el 3.

#23 — pmarin

Este veranito tendré que estudiar:

Fundamentos Lógicos de los Computadores.

Matemática Discreta.

ágebra.

Iros preparando....

#24 — Acid

Eneko,

Según la corrección de Alvy, la regla del 6 diría "todo primo mayor que 6-1 sólo difiere uno de un múltiplo de 6". Es muy fácil probarlo.

Demostración:

Todo número primo mayor que 2 será impar (si es par es múltiplo de 2, luego no es primo) y no será tampoco múltiplo de 3.

Entre cada dos múltiplos de 6 consecutivos (6*n y 6*n+6, tal que n>0) hay cinco huecos: Dos de ellos están junto a un mútiplo de 6 y los otros tres huecos son un múltiplo de 3 y ese está flanqueado por dos números pares. Así que de esos 5 huecos los únicos que podrían ser números primos son los que están junto a los múltiplos de 6. Sencillísimo ¿no?

#25 — Artedi

Yo creo que esa ecuación es absurda, ya que en realidad lo que estamos viendo: n^2 = (n-1) × (n+1) +1, es un "efecto óptico" con el 1, que hace que pensemos que estamos ante algo curioso.

El último 1 es en verdad un 1 al cuadrado, luego la formulita real sería:

n^2 = (n-x) * (n+x) +x^2

Donde x es cualquier número, ya sea 1, 2, 3, etc..

Y consecuentemente, lo único que se ha hecho es meter una incógnita que se anula a si misma y que por tanto carece de sentido matemático.

En otras palabras, ambos lados de la "ecuación" dicen lo mismo:

Que n^2 = n^2 ....

Disclaimer: Lo he hecho muy rápido, puedo estar en un error. Y por otra parte, mis escasas "matemáticas" me quedan ya muy lejos...

Salu2

#26 — Spectre

(n - 1)*(n + 1) + 1 = n^2 + n - n - 1 + 1 = n^2

La formulita es tan solo una trivialidad. Es decir lo mismo de otra forma.

#27 — Spectre

(n - 1)*(n + 1) + 1 = n^2 + n - n - 1 + 1 = n^2

La formulita del comienzo es tan solo una trivialidad.

#28 — Eneko

No había leido hasta hoy la respuesta de Acid. La teoría de los 5 huecos me ha dejado flipado.

No sé como explicar eso en forma matemática, pero está claro que la única posibilidad para ún número primo es ir siempre a continuación o justo delante de un múltiplo de 6.

Y la regla se cumple también para el número 5.

Supongo que los investigadores que se dedcican a calcular números primos sabrán de esto... Digo yo :)

#29 — gabriel

segun acid:
"Eneko,
Según la corrección de Alvy, la regla del 6 diría "todo primo mayor que 6-1 sólo difiere uno de un múltiplo de 6". Es muy fácil probarlo."

en su comprobacion esta erronea, si se trata de comprobar entre el num 30 y el 36, no se cumple, el 31 si es primo, pero el 35 no lo es; ya que es multiplo de 5.

#30 — Lady Madonna

gabriel, lo que dice Acid en su demostración es que los únicos números entre 2 múltiplos de 6 (6n y 6n+6) que podrían ser primos son 6n+1 y 6n+5 (en tu ejemplo, 31 y 35). No dice que necesariamente lo sean, sino que son los únicos posibles (es decir, los demás quedan automáticamente descartados como primos).

Por cierto, lo que decía Eneko en el comentario #21

Buscad cualquier número primo y su anterior o posterior (o ambos) será multiplo de 6.

no es del todo correcto. Ambos no pueden ser múltiplos de 6, si k es el primo y k-1=6n es un múltiplo de 6, k+1=6n+2 NO es múltiplo de 6 (y viceversa). Lo que supongo que sí podría darse es que los dos números que "rodean" al múltiplo de 6 sean primos... de hecho ahora que lo pienso sí es posible, por ejemplo 11 y 13 lo son.

Interesante la teoría del 6, este post se me pasó en su momento (cosas que tienen las vacaciones :P)

salu2