Por @Alvy — 29 de Agosto de 2006

Mucha gente nos ha escrito estos días sobre asunto matemático de la Conjetura (ahora Teorema) de Poincaré, la compleja y larga (pero finalmente correcta) demostración de Grigori Perelman y su sorprendente reacción al no aceptar la Medalla Fields, que se considera el equivalente al Premio Nobel de Matemáticas. Algunas de esas noticias las hemos ido añadiendo a la anotación de hace algunos meses: La Conjetura de Poincaré, resuelta donde se ve cómo se pasó de la sorpresa al escepticismo general y finalmente a la aceptación de la demostración años después, así como todo lo que pasó mientras tanto. Hay un especialmente buen resumen en castellano y con muchos enlaces en Perelman y la medalla Fields. Otro artículo muy bueno en inglés es Manifold Destiny en The New Yorker.

Lo que no tenemos es una explicación sencilla de lo que era la Conjetura de Poincaré, y menos de en qué consiste la solución. Es un teorema matemático realmente oscuro y complicado, que tiene que ver con la forma en que se clasifican esferas de más de tres dimensiones. Esto es de lo más sencillo que he encontrado al respecto:

Los topólogos están particularmente interesados en las variedades, o multiplicidad de formas (…) Un balón de fútbol, por ejemplo, es una variedad de dimensión 2, una 2-esfera; lo podemos manipular como queramos, dándole diferentes formas, pero sin romperlo, y seguirá siendo una 2-esfera (…) La esfera es una variedad de dimensión 2 (cada trozo pequeño de la esfera es un pequeño trozo de plano ligeramente deformado), cerrada y simplemente conexa y se estableció que toda variedad de dimensión 2, cerrada y simplemente conexa es homeomorfa a la esfera. Dicho de otro modo: sólo hay una variedad de dimensión n=2, cerrada y simplemente conexa, y se trata de la esfera. Todas las variedades de dimensión n=2 están inmersas en el espacio de dimensión 3. Por analogía, se definen otras variedades de dimensión n estarían inmersas en espacios de dimensión n+1.

Poincaré conjeturó que el resultado obtenido para la esfera n=2 del espacio de dimensión 3 tenía un análogo para la esfera n=3 del espacio de dimensión 4. En otras palabras: en el espacio de dimensión 4, toda variedad de dimensión n=3, cerrada y simplemente conexa, sería homeomorfa a la esfera de dimensión n=3.

(…) Para n=1 la conjetura es trivial y para n=2 ya fue demostrada en el siglo XIX. Para n=5, hubo de esperar hasta 1961, a que lo hiciera Erik Christopher Zeeman. Ese mismo año Stephen Smale lo consiguió para n igual o mayor que 7 y, en 1962, John R. Stallings para el caso n=6. Los casos n=3 y n=4 se resistían y hubo que esperar a 1986 cuando, en lo que se consideró una hazaña matemática del estadounidense Michael Hartley Freedman, se consiguió demostrar el caso n=4. Lo irónico es que, resuelto con éxito para todas las demás dimensiones, el caso original n=3, planteado por Poincaré, se resistía, hasta ahora, denodadamente a cualquier demostración matemática. [LaVerdad.es]
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