Por @Alvy — 25 de Abril de 2009

Una cuestión de geometría:

¿Cuál es el menor número de líneas rectas que tenemos que dibujar para tener exactamente 100 cuadrados?

Lo vi en Feed RSS DIDACMAT, donde hay algunos otros problemas similares.

{Importante: puedes dejar pistas e ideas al respecto en los comentarios, pero recuerda esperar 24 horas antes de hablar abiertamente de la solución, para que los demás puedan disfrutar buscándola. Quien no quiera recibir ninguna ayuda ni pista para dar con la respuesta tal vez prefiera no leer los comentarios.}

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45 comentarios

#1 — Makin

Hay que darle a las raices

#2 — Iker

22, o eso creo. 11 horizontales y 11 verticales.

#3 — Joel

Iker, no has leido o que?

Que no pongas la solución te han dicho. Además te equivocas, :S

#4 — B0NE

iker... con tu solucion salen 385 cuadrados... te has pasao por bastante... jejeje

recordad q salen cuatro cuadrados juntos hacen uno de 2x2... y asi sucesivamente...

#5 — B0NE

echpiel:

y donde he dicho yo lo contrario? 4 cuadrados de 1x1 hacen 1 de 2x2 sumandolos salen 5 no? (4+1) jejeje

#6 — Gabi

El problema es que sean 100 justos, y no pasarse. Tengo la solucion minima, y es menor de 20.
Iker, con 11 verticales y 11 horizontales tendrias 100 cuadrados "de lado 1", pero muchos "de lado 2", otros "de lado 3"...

#7 — Pasaba por aquí

¿podría hacerse un cilindro para ahorrar una linea?

#8 — Pasaba por aquí

Mejor no digo nada...

1. adj. Dicho de una figura plana: Cerrada por cuatro líneas rectas iguales que forman otros tantos ángulos rectos.

Sorry

#9 — Gabi

Es buena idea lo del cilindro, y ahorrarias mas de una linea, ya que puedes formar mas cuadradros.
Creo que rebajarias 2 lineas respecto la solucion en plano.
Tambien se podria considerar la esfera...

#10 — Kalte

Llevaba un buen rato peleándome con 101, pero creo que ya he conseguido los 100 exactos.

Está entre 14 y 20.
Aunque me da que hay que subir un gráfico para explicarlo :p

#11 — B0NE

no creo que haga falta un grafico... yo al menos se explicarlo bastante bien sin recurrir a ninguno jeje.

y anda que no te has mojao Kalte... ahora ya solo 5 posibilidades, empezará la gente a decirlas todas sin romperse la cabeza. eso si, me ha servido para confirmar que mi solucion debe ser correcta...

#12 — Psickotronic

15 líneas rectas.
Formando una cuadrìcula de 5x8

#13 — Pedro

Ya lo tengo, pero no lo voy a decir, daré una pista.

Si planteamos una cuadrícula de m*n cuadrados, obtenemos:
m*n cuadrados de 1 casilla.
(m-1)*(n-1) cuadrados de 2x2 casillas
(m-2)*(n-2) cuadrados de 3x3 casillas
.....
así hasta llegar a los cuadrados de mayor tamaño inscritos en la cuadrícula.

Como buen geek e ingeniero, iba a hacerme un programita, pero como el número es pequeño, es más divertidos sacarlo a mano. Ah, la solucion es m+n+2 (las 2 lineas para cerrar la cuadrícula)

#14 — Gabi

Elegante el 5x8. Yo iba por una cuadricila cuasi cuadrada añadiendo y quitando algun palito, pero con 15 lineas minimo igualmente.
Es facil mostrar que con 14 no se llega a los 100, y lo minimo siguiente es 15. Debe ser la solucion correcto

#15 — B0NE

pero que parte de "por favor no envíes la respuesta en el área de comentarios hasta pasadas 24 horas después de su publicación (hora peninsular española). Puedes comentar sobre el problema y lo que le rodea, incluso dar algunas pistas, pero procura no desvelar la solución" no habeis sido capaces de comprender?

#16 — notefastidia

si nos ponemos tramposos:

¿quién dice que los cuadrados tengan que estar en el mismo plano?

#17 — notefastidia

Espero no encontrarme con que alguien dice que la solución incluye cuadrados de distinto tamaño pero que no tiene en cuenta los hipercubos...

#18 — Bruno

Sobre una esfera, con dos sería suficiente para cualquier 'n' cuadrados (donde 'n' es un número natural que pueda ser expresado de la forma a*b)... es una cuestión de topología.

#19 — notefastidia

Igual con esto que he dicho se puede resolver el teorema de Fermat en el espacio de una servilleta, o de una hiper-servilleta.

#20 — notefastidia

Tú sí que sabes Bruno.

Y para figuras más caprichosas basta con una sola línea, y si defines un espacio no euclídeo también, ¿no?

#21 — mandupi

Parece simple... ¿X verticales y X horizontales...?

#22 — alb

Haciendo un poco de trampas bastaría con una linea

#23 — Bruno

notefastidia, tengo la solución, pero no me cabe en el margen de este blog ;-)

#24 — nailuj

Rayos! xD con un numero me paso con otro me falta poquito.., aun no se puede dar el resulrado asi que a esperar :)

saludos!

#25 — kkab

Considerando que con las líneas se haga una "rejilla", con un programita se puede calcular el número de cuadrados. Pero me da que hay algo más :D

#26 — gabi

una solucion es hacer una malla rectangular de 5x8 cuadrados, como puso Psickotronic.

Otra, que creo es la que buscas turycato, es una de 6 de ancho x 7 de alto, pero haciendo que la linea vertical del centro no yegue hasta arriba, sino que pare 2 cuadraditos antes

Por cierto, duerme algo...

saludos

#27 — alb

Suponiendo que no se pudiese que la tinta traspase el papel y pinte sobre el de debajo... y suponiendo que no se pueda mover ningun papel mientras se está realizando un trazo...

...creo que se podrían hacer 100 cuadros con 4 trazos. De hecho se podrían hacer teoricamente un milon de cuadros con 4 trazos...... :D

#28 — Kent Mentolado

No se si estará bien y si puede ayudar al problema, pero tras hacer unos cuantos números, la fórmula para saber el número de cuadrados (tanto de 1x1, como 2x2, 3x3...) de una rejilla de F filas x C columnas es:

Sumatorio de (i=0 hasta f) de (f-i)(c-i).

Pero no se casi nada de sumatorios, asi que no puedo desarrollarlo para obtener una fórmula final. Si alguien sabe, agradecería su aportación, o incluso que me confirmen(o desmientan) si he dado con la fórmula correcta :)

#29 — mymo

¿como es eso de cualquier numero de cuadrados con 4 trazos?

es que servidor es de letras y no consigue figurarse la situacion

#30 — unholycellist

Si curvamos el espacio de forma ingeniosa podría hacerse con un trazo. Algún día lo plasmaré en un cuadro.

#31 — nailuj

Pucha! ya dieron mi solución, yo que le tome una foto y todo xDDDDD

saludos...

#32 — KentMentolado

En mi opinión, las soluciones propuestas hasta ahora (cuadrícula de 5x8) es una solución válida, pero no veo por ningún lado la demostracioń que de que sea el MENOR número de líneas.

Puestos así, otra solucion se logra dibujando cuadraditos de 1x1 uno al lado del otro... con lo que tenemos 103 lineas.

#33 — Jan Roig

con 16 me salen 140 cuadrados, no se si se puede apurar mas, seguro que si.

#34 — Molusko

Como alguien sugiere por ahí, si dibujamos una sola línea en un espacio no euclidiano como una esfera obtendríamos un número infinito de cuadrados (repitiendo cuadrados, no sé si me explico). Entonces, esto no puede ser la solución al problema, ya que el enunciado pide la solución en que haya EXACTAMENTE 100.

Yo lo he hecho con programita sencillo (soy un vago, ya lo sé) y la primera solución que se obtiene es la de la cuadrícula de 5x8 (15 líneas), y la próxima, creo, la de 4x11 (16 líneas). Supongo que esto bastaría como demostración.

Saludos.

#35 — Miquel

Yo estoy totalmente de acuerdo con KentMentolado.

Aunque intuitivamente parezca cierto que la solución sea una rejilla 5x8, hay que demostrar que con menos lineas no se puede.

#36 — Alb

Voy a explicar un poco mi teoria de las cuatro lineas:

· Colocamos 100 folios en fila y trazamos 2 lineas horizontales simetricas que pasen por los 100 folios. Luego giramos 90º cada folio y trazamos otras 2 lineas horizontales simetricas. La distancia entre las 2 primeras lineas debe ser igual a la de las 2 últimas: El resultado es de 100 cuadrados con 4 lineas.

La verdad es que este metodo no me gusta mucho porque queda una especie de simbolo "#" en cada folio y queda algo feucho, así que os explico el metodo con una linea:

· Cogemos 100 servilletas y las colocamos en fila como antes pero las giramos 45º de forma que "la esquinita buena" que abajo o arriba. Trazamos con un pilot una linea recta que pase de esquina a esquina por cada servilleta. Desdoblamos las servilletas y el resultado es un cuadrado en cada una de ellas.

Bueno, yo creo que este metodo no contradice nada de lo que se plantea en la pregunta....

^^

#37 — juanmah

Después de hacerlo a mano y ver que con 6 + 9 lineas es una solución, no queda más que demostrar que con un máximo de 15 líneas no se obtiene otra solución.

Para ello he hecho un programilla en ruby que lo demuestra:

def squares(m, n)

if n > 1 and m > 1 then

return (m - 1) * (n - 1) + squares(m - 1, n - 1)

else

return 0

end

end

for m in 2..13

for n in m..13

s = squares(m,n)

if s == 100 then

print m, " x ", n, ": ", s, "\n"

end

end

end

Siendo las soluciones:

5 x 12: 100

6 x 9: 100

5 + 12 = 17 líneas > 15

Por tanto la única que queda es la rejilla formada por 6 x 9 líneas

#38 — Miquel

Muy bien Juanmah, pero sólo lo has demostrado para estructuras tipo "rejilla"... habría que ver que este tipo de estructura es "más eficiente" al producir cuadrados a base de lineas :-)

#39 — Eduardo

202

#40 — Julio

Yo los tengo con 15 líneas

#41 — Light_neO

Hey, veo que no se posteó mi comentario... Supongo que seria la respuesta correcta pero no se si así fue por que después nadie ha confirmado nada por lo visto...

En fín queria decir que creo que son 2 lineas y aunque no lo rezoné la otra vez cuando lo puse porque no habian pasado las 24h ahora si os lo voy a razonar.

La realidad no es toda como parece y como no he visto que se pongan limitaciones he dejado mi mente volar :P.

Si ahora haces una linea recta acabarás dandole la vuelta al mundo y a pesar de su curvatura nadie podrá negarte que en el sitio donde estas la linea que trazaste es recta.

Si la linea recta que haces la haces un poco inclinada respecto al eje de la tierra trazarás una especie de espiral pero a los ojos de todo el mundo, en la zona en la que estes, las lineas son rectas y paralelas (pero realmente solo es una).

Si haces lo mismo de forma perpendicular también conseguirás el mismo efecto.

Por otra parte, con hacer las espirales de 11 vueltas obtienes lo que buscas un recuadro de 100 cuadraditos, aunque en realidad son dos uno en cada lado del mundo, por lo que otro modo de verlo es hacer las espirales del mismo modo pero una de ellas con 11 vueltas y la otra con 6 con lo que se tendrian 50 de los cuadrados en una parte del mundo y los otros 50 al otro lado del mundo.

#42 — Rafa

Por tu mismo razonamiento se puede considerar que la tierra es plana.

#43 — d1f

No voy a aportar solucion al problema pero la hipotesis de la linea por la Tierra es erronea desde el momento en que desde nuestra vista subjetiva necesitamos la 4 dimension.

Esto es, para cada uno de nosotros, permanecemos "inmoviles" dento de nuestro cuarto, comiendonos tranquilamente un bocadillo de nocilla, pero en realidad viajamos a unos 20 kilometros por segundo alrededor del sol, esto solo lo podria apreciar una persona fuera de la Tierra, al igual que las lineas que pretendes trazar desde fuera de la Tierra, no serian lineas.

#44 — Zampa

La solución es sencilla, y no hace falta recurrir a probar todas las combinaciones. Tienes que el número de cuadrados es, suponiendo que tienes X líneas verticales e Y horizontales, y que iempre es Y=Y que den exactamente 100 cuadrados, y la de menos X+Y es X=9, Y=6, o lo que es lo mismo, una rejilla de 8*5.

#45 — Light_neO

#42 xDDDD Nadie nos ha pedido que nos vayamos al espacio. Y desde luego desde donde tu estes si miras al horizonte el efecto es que la tierra es plana o es que notas la curvatura? Todabía en el mar podrias llegar a notar cierta curvatura pero...

#43 Como le decia a #42 nadie nos ha pedido que nos vallamos al espacio ni mucho más lejos. Desde donde estemos y trazando las lineas lu suficientemente cerca para nosotros son rectas y paralelas.

Debería decir además que para esto me apoyo en que todo es relativo a como lo miremos y repito que nadie nos pidió que fueramos mas allá de nuestros sentidos.

Por ejemplo, existen las lineas rectas? Obviamente me direis que si, sin embargo os pediré: "trazadme una recta de principio a fin y demostradme que es recta". La respuesta no se hará esperar y me direis: es que no puedo, dado que es infinita". Entonces de que estamos hablando? Existe o no existe? porque si no puedes dibujarlo... Pero aún asi sabemos que existe y lo damos por cierto, la realidad es realidad desde el punto de vista con el que lo vemos.

Por cierto si nos ponemos tontos diré que no podemos hacer ninguna linea recta por que cualquier cosa que dibujemos seguirá la curvatura de la tierra... o vais a iros al espacio a dibujarla?

PD. No trato de polemizar pero no aniquileis una posibilidad solo porque no podais encontrar algo mejor, sobre todo cuando cumple lo que nos pide... 100 cuadraditos iguales mediante lineas rectas!