Por @Alvy — 20 de Septiembre de 2009

Un acertijo probabilístico interesante, procedente de Newrona (allí mismo está la solución):

En la ciudad de Manfort hay dos hospitales, uno grande y otro pequeño. El 21 de octubre del pasado año el 60 por ciento de los bebés nacidos en uno de los dos hospitales fueron niños. ¿En qué hospital es más probable que haya ocurrido esto?

{Importante: puedes dejar pistas e ideas al respecto en los comentarios, pero recuerda esperar 24 horas antes de hablar abiertamente de la solución, para que los demás puedan disfrutar buscándola. Quien no quiera recibir ninguna ayuda ni pista para dar con la respuesta tal vez prefiera no leer los comentarios.}

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47 comentarios

#1 — Pejiguistico

Esta clase de acertijos son la base de la política y la publicidad. El 100% de los comentarios que se han añadido hasta ahora son absolutamente geniales.

#2 — atreyer

Mi opinión es que es mas probable que se produzca en el pequeño. Precisamente por el tamaño de la muestra.

#3 — Joel

Incluso sin saber nada de probabilidad, reduciendo al máximo la muestra, tendríamos que con solo 5 nacimientos ya se puede obtener un 60% de alguno de los dos sexos.

Encima obligatoriamente (excepto hermafroditas, pero es poco "probable", je, je)

Por lo que...

#4 — otro

Por la ley de los grandes números, digo que el pequeño. Pero ya que estamos, ¿cuál es la proporción de niños entre los bebés recién nacidos? Me suena que está significativamente por encima de 50%, quizá sobre el 54 o 55%, y sería interesante conocer este dato.

#5 — ibb

Parece más lógico que haya sido en el grande, pero lo mío es pura suposición...

#6 — Kalte

Ese mismo ejemplo lo había leído en El cisne negro, el impacto de lo altamente improbable de Nassim Nicholas Taleb. Por cierto, libro altamente recomendable.

#7 — kalte

Vale, no ha salido el link. Me refería a el libro "El cisne negro, el impacto de lo altamente improbable" de Nassim Nicholas Taleb

#8 — Roberto

A mi lo que más me ha sorprendido es la afirmación (en la página web de newrona) de que muchos profesores de estadística se equivocaran en la solución O_o. Creo que la respuesta debería salir casi intuitivamente, sobre todo a quienes se dedican a algo relativo a ello.

#9 — dorwinrin

Metapregunta: ¿qué probabilidad hay de que haya ocurrido en el pequeño?

#10 — baro

las proporciones tienden a cumplirse cuando el numero tiende a infinito, así que supongo que será el pequeño

#11 — Martin

A mí también me ha parecido sorprendente lo que dice Newrona sobre los profesores de estadística.

Por favor, estamos hablando de un concepto básico de la estadística.

A estas alturas nos debería parecer una pregunta elemental.

#12 — Augusto

calculo que en el pequeño porque,por ejemplo,supongamos que nazcan 10 niños entre los cuales hay 6 varones, esos 6 varones conforman un 60% de los nacidos

#13 — rubén

A no ser que por pensar que la pregunta puede tener trampa, elijas el grande, la respuesta es bastante obvia. Si el hospital fuera muy pequeño podría tener hasta un 100% de varones.

La noticia-que-no-es-noticia (o tal vez sí lo es un poco) es que profesores de estadística fallen en algo tan básico, aunque el artículo de newrona no dice qué porcentaje de profesores erraron la respuesta. Tal vez le preguntaron a dos o tres, uno de ellos podría ser este: http://xkcd.com/605/

#14 — Agus

Pues yo siento discrepar.
Aunque el hospital pequeño tenga un menor número de niños/as, al pasar el tiempo y sumar los niños y niñas nacidos durante el año, sí se cumpliría la ley de los grandes números (ya que es un proceso ergódico y la media temporal -viendo la evolución de nacimientos en el tiempo- sirve para hallar la media instantánea). En otras palabras, una sola "realización" del proceso aleatorio puede alejarse de la media tanto en un hospital como en el otro.
Si alguien afirma lo contrario, ¿acaso sería capaz de calcular cuál es esa probabilidad por la que el hospital pequeño es más probable que se aleje del 50%? Es imposible, ya que en una sola realización del proceso estocástico, en ambos hospitales hay exactamente la misma probabilidad de que haya un 60% de niños, por ejemplo.
Saludos!!

#15 — YoMismo

Yo digo que es igual de probable que haya ocurrido en cualquiera. Es decir 50% de pequeño y 50% del grande. Pero esto son especulaciones mias.

#16 — elgatoateo

es mas probable que ocurre en el hospital que esta en la zona pobre de la ciudad. xD

#17 — frmart

Pues yo pienso que es en el grande, ya que en el pequeño lo más probable es que nacieran tan solo unos pocos niños (2 o 3) asi que es más dificil que sea un 60 %.

En el caso del grande es más probable que nacieran mas niños, y por tanto se acerque más a esa proporcion, que se acerca a la media de niños nacidos.

un saludo

#18 — JAGT

Hola buenas.

Creo que es más probable que ese 60% naciera en el hospital pequeño, si no me falla la lógica, ya que tengo la asignatura de estadística bastante reciente (viva septiembre! xD).

Pista: Estadística... probabilidad cuando n (población) tiende a infinito...

#19 — orayo

Yo creo que esto tiene trampa. Suponiendo que biologicamente, los nacimientos de niñas y niños son al 50%, entonces mi respuesta seria en el hospital por el razonamiento de que en una muestra pequeña, una pequeña desviacion puede suponer ese tanto por ciento.

¿Pero que pasa si la tendencia natural en los nacimientos es que nazcan un 60% mas de niños? Pues que sera en el hospital grande donde sea mas probable que se cumpla ese valor.

TRAMPA TRAMPA TRAMPA, a mi me parecen que todas llevan trampa!!

#20 — Fran

Esta claro que la posiblidad es la misma en el grande que en el pequeño, es obvio. La probabilidad no tiene que ver con el tamaño, sino que es una relación entre dos números, independientemente del tamaño de estos.

#21 — Pere

Para los que están elucubrando con si la probabilidad es mayor de que nazcan niñlos o niñas:
50% del todo
X1X2 por parte de la mujer Vs XY por parte del hombre, un cromosoma por parte de cada uno, las combinaciones son

X1X -> Niña
X1Y -> Niño
X2X -> Niña
X2Y -> Niño

o sea, 50%

Por el resto coincido con la mayoría, cuanto menor sea la muestra mayor puede ser la desviación...

#22 — yasser

mi mujé dice que es igual de probable en cada hospital.

yo digo que ha sido en el pequeño, debido a que el hospital pequeño de la población de manfort es el especialista en maternidad.

#23 — skligger

Ya sé ke llego algo tarde pero esto era como el ejemplo clasico de lanzar monedas a cara o cruz, 50%. Al hablar de un 60% de varones solo se conoce una media y como alguien decía con 5 nacimientos podemos 3 niños y 2 niñas, tampoco son muchos para pensar que el "pequeño" no pueda tenerlos, sin saber lo que es pequeño ni grande...

Así ke la probabilidad de que esta media se de en uno u otro es exactamente la misma.

#24 — Lemm

14 Agus: ¿proceso estatoqué?

A mi me parece bastante de cajón que es más probable que sea en el pequeño, no creo que haga falta haber estudiado mucha estadística. Pongamos que en el pequeño nacen 3 niños y 2 niñas, ya tenemos el 60%. Ahora supongamos que el hospital grande atiende 10 veces más partos que el otro, para que alli también se diera el 60% tendrían que nacer 30 niños y 20 niñas. Puede pasar pero ya suena más raro.

Ahora pon que atiende 1000 veces más partos.
Pues eso, si es que es de cajón.

Y según san Google la probabilidad de nacimiento niño niña en según que paises sube hasta el 51,4% a favor de los niños, así que vamos, que me juego 50 pavos a que es el pequeño.

#25 — Ana y Ramón

Como no se indica el tamaño absoluto de cada hospital, sino únicamente que uno es menor que el otro, no puede afirmarse que sea más probable que el uno de los dos tenga un día un 60% de nacimientos de niños. Basta suponer que en el grande nace una media de 5 niños cada día y en el pequeño nace una media de 2 niños cada día, en el pequeño es muy poco probable que nazcan un 60% de niños ningún día: para empezar, un día deberían nacer un 150% más de niños que la media del hospital, porque con menos de 5 nacimientos diarios no se puede obtener una proporción de un 60% de niños.

#26 — Roberto

Haciendo números (bendito excel/numbers) he obtenido resultados bastante claros. He simplificado el problema suponiendo que el número de nacimientos es múltiplo de 5 (para que el porcentaje pueda ser exactamente el 60%), partiendo de la base de que la probabilidad de ser niño/niña sea de 50/50.

Número de nacimientos / porcentaje de que un 60% sean niños:

5......31,25%
10....20,58%
15....15,27%
20....12,01%
25.....9,74%
30.....8,05%
35.....6,75%
50.....4,19%
100...1,08%
200...0,10%

El problema cambiaría ligeramente si se dijera que "aproximadamente un 60% fueron niños" y algo más en el caso de "más de un 60% fueron niños", pero en todos los casos a mayor número de nacimientos, menor probabilidad de una desviación del 50%.

#27 — Brad

Yo creo que es más probable que se haya dado en el hospital pequeño por la siguiente razón: La probabilidad de que nazca niño o niña es 50-50. En pocos nacimientos, esa proporción se puede romper, por ejemplo si nacen 2 niñas y un niño las niñas son el 66% del total. Como el problema hace referencia a nacimientos de un sólo día (y no a lo largo del tiempo) puede haber pasado en cualquiera de los dos hospitales, pero lo más probable es que pasara en el pequeño, dado que el hospital grande puede ser una muestra más representativa del total (no por ser mas pequeña la muestra como alguien dijo es más representativa, hay fórmulas para calcular el tamaño de la muestra).

#28 — Warp

Estoy con Roberto.

El razonamiento es que es más fácil que haya una desviación de la media en un número de nacimientos reducido. Cuanto mayor es el número de nacimientos, más nos acercaremos a la media global.

Por tanto, es más probable encontrar una desviación en el hospital pequeño, asumiendo que atiende a un menor número de personas y por tanto el número de nacimientos será menor.

#29 — JAGT

Yo pienso lo mismo que Brad.

Suponiendo que la tendencia natural es a nacer 50% niños y 50% niñas, esto se observará mejor en el hospital grande, ya que hay una muestra mayor y por tanto es más representativa.

Cuanto más pequeña sea la muestra, habrá más variabilidad, y se darán casos más lejanos de la tendencia natural (la media).

Si por ejemplo el hospital pequeño fuera tan pequeño que sólo llevara 2 partos al día, la probabilidad de en un día los 2 nacidos fueran varones sería altísima, y podríamos decir que en ese hospital han nacido 100% varones, sin ser un atentado contra la lógica, ya que de un primer vistazo tendemos a pensar que cada día nacerá un niño y una niña.

#30 — políticamente incorrecta

Esto me huele a trampa.
Manfort (man = hombre), fort (=fuerte)

Esto es, los hechos ocurren en el "fuerte del hombre" el lugar donde uno se protege de ... "los hombres", por tanto se trata de evitar que haya hombres allí.

Así que los (en realidad las) residentes, harán lo posible porque no nazcan niños sino niñas, pero claro, no es posible saberlo al 100%.

En el hospital grande es donde es más efectivo llevar el control, ya que es donde más incorporaciones se producen a la población. Luego el control será más efectivos.

Así, que, sin duda .... en el pequeño.

#31 — Agus

A #24 Lemm... Proceso estocástico es lo mismo que aleatorio. La intuición hace pensar que en una muestra pequeña es más fácil que haya una desviación de la media.
Pero es igual de probable que haya un 60% de nacimientos de niños en un hospital grande que en uno pequeño.
De hecho, de los que apoyan que es más probable que se trate del hospital pequeño, aún no hay ni uno que haya dicho ni lo más mínimo de cómo calcular esa probabilidad.
Yo soy ing. de teleco, o soy matemático, pero lo que sé es que eso de "más o menos probable" no son matemáticas. Que alguien que defiende que es más probable que se trate del pequeño, me diga cómo calcular esa probabilidad.
Como dice otro comentario, la probabilidad no es más que un cociente. La ley de los grandes números puede aplicarse en el hospital pequeño sin más que esperar a que pasen más días.

#32 — Carles

Yo creo que es facilísimo, y no hay que complicarse la vida en hacer servir formulas ni nada de eso.

Yo digo que el pequeño:

En el mundo se supone que el 50% de los nacimientos son niños, y viceversa. Aunque pueda variar un 1, 2, 3 o 4%. Así que cuanta más muestra se coja más probable es que la cifra se acerque al 50%. Por eso, como la cifra (60%) se aleja de 50 es de suponer que la muestra que se ha cojido es pequeña.

Y si quieres rizar el rizo y decir que en el hospital grande no hay apenas nacimientos y en el pequeño hay muchos ya es otra cuestión.

#33 — Dontknow

¿No dependerá del tamaño de los hospitales (de la cantidad de nacimientos, exactamente)? Entiendo los que dicen que será en el pequeño pq con menos muestra hay más probabilidades de que se aleje de la media, pero yo por eso mismo habría pensado que el resultado sería el grande, pq consideraba que un 60% no se aleja mucho de 50%. Es relativo, claro, se aleja más que el 51% y menos que el 80%, así que mi pregunta sería: ¿En que punto decidimos q los nacimientos están cerca de la media, y por lo tanto el resultado es el hospital grande, y en que punto que están lejos, y por lo tanto es el pequeño? En otras palabras: ¿El resultado sería el mismo si en lugar de hablarse del 60% de niños se hablara del 51% o del 80%? A mi intuitivamente se me ocurre que ese porcentaje límite dependerá de la cantidad de nacimientos, de si hablamos de decenas o de millones, o quizá de la diferencia entre el número de nacimientos en el hospital grande y en el pequeño. O quizá no. ¿Qué pensáis?

#34 — Fran

Estoy con Agus.
¿Qué es eso de que no hace falta demostrarlo con fórmulas ni nada así? ¡Que estamos hablando de matemáticas, por favor! Por supuesto, la probabilidad de que haya un día concreto al azar un 60% de nacimiento de niños es igual de probable en cualquiera de los 2 hospitales.

#35 — HellSnake

A los que dicen que con el paso de los días en el hospital pequeño también se acercará la proporción al 50%, recordarles que el problema trata de un día concreto, el 21 de octubre (aunque podría ser cualquier otro día).

Supongamos que el hospital grande acoge 100 partos al día, y el pequeño 20 partos.

La proporción esperada en los dos hospitales es del 50%, es decir 50 niños y niñas en el hospital grande, y 10 en el pequeño. Para llegar al 60% de varones, hacen falta 10 niños "de más" en el grande (60 - 40), por tan sólo 2 en el pequeño (12 - 8).

Reduzcamos al absurdo. ¿Dónde es más probable que se produzcan la totalidad de nacimientos del mismo sexo? ¿En un hospital en el que ha nacido un niño en ese día, o en uno en el que han nacido 1.000?

#36 — Ibra

A ver, cuando la muestra tiende a infinito la frecuencia relativa tenderá a 50%.

Y cuando la muestra es 3 por ejemplo, la frecuencia relativa de uno de los dos sexos será del 60%.

Por reducción al absurdo, es más probable que con menos muestras la desviación de la frecuencia relativa sea mayor.

La paradoja es que si por ejemplo en el hospital pequeño nacen 7 niños y en el grande 60 digamos, es imposible que en el pequeño nazcan un 60% de niños.

Por lo que necesitamos un mútiplo de 5 (5, 10, 15, 20...) para que se de la probabilidad del 60%.

#37 — Ibra

Errata: "Y cuando la muestra es 5 por ejemplo, la frecuencia relativa de uno de los dos sexos será del 60%".

#38 — JAGT

#31 Agus: Estadística Inferencial:

Dependiendo de las características de la muestra escogemos un estadístico de contraste paramétrico para una población de la que podemos suponer que se distribuye de forma normal (según la curva normal o campana de Gauss) cuya media poblacional es 0.5 (proporción de niños) y varianza poblacional desconocida.

Así pues el estadístico sería:

T = ("media muestral" - "media poblacional")/raiz(varianza muestral /(n - 1))

Esta T se distribuye como una "t de Student" (ver Wikipedia) con (n - 1) grados de libertad.

La variabilidad de la muestra como se puede ver en la fórmula viene definida por la raíz del cociente entre la varianza muestral y el número de personas (n) menos 1.

Suponemos que en el hospital pequeño "n" es menor que en el hospital grande.

Cuando "n" tiende a infinito, conforme "n" se va haciendo más grande, el cociente entre la varianza y (n - 1) es cada vez más pequeño, y su raíz es por tanto cada vez más pequeña.

Esto significa que cuanto más pequeña sea la muestra, habrá más variabilidad, y se darán casos más anormales y alejados de la media.

(Es un coñazo escribir todo esto sin LaTeX).

#39 — JAGT

Creo que estamos sacando el problema de quicio. Parece como si nos preguntan cuanto tarda un tren de sevilla a madrid sabiendo la distancia y la velocidad, y nos ponemos a divagar sobre el número de paradas, el precio del billete, el número de pasajeros, si es dia festivo...

#40 — Bitelchús

Puestos a poner condiciones podemos pensar que el pequeño esta especializado en maternidad dandole una prioridad y un espacio importante a ese tema (por suponer que no quede) y el grande tiene el abanico más amplio y nacen menos niños porque hay una meternidad peor.

Vamos a ser lógicos ... es cierto que en un muestreo de 100 hay mayor una desviación estadística que en uno de 100.000.000, pero no nos dicen realmente nada con que un hospital es mayor que otro, puede que la diferencia sea que uno tiene 1 habitacion mas que el otro (objetivamente seria cierto que uno es mayor que el otro) y que eso no afectase para nada al ejercicio a efectos rales.


Me puedo equivocar, pero creo que se necesitan mas datos que los que dan, ya que, como han dicho , el % de varones nacidos no es mas que una proporcion de dos numeros, y tan 60% es suponer que en el pequeño la relacion es de 12/20 como que en el grande sea de 24/40.


De todos modos hablamos de un punto en concreto en el tiempo que nos dice que sucede, pero no que la norma general sea esa, hablar de este problema en estos terminos es como pretender calcular el gasto de gasolina de un viaje teniendo en cuenta solo lo que he gastado en un cuarto de hora yendo a una velocidad determinada sin saber en cuenta si voy en autopista, carretera comarcal, llano, cuestas, me meto por puertos de montaña o callejeo por suelo urbano.

yo pienso, a falta de más datos y dado que no sabemos cuanto es mayor uno que otro (por lo menos en el tema de natalidad), la posibilidad de que suceda en uno u otro es la misma

#41 — xepe71

Si son 5 nacimientos, hay 10 probabilidades sobre 32 (31,25%) de que el 60% sean niños (tal como indica Roberto). Dicho de otra manera:

hay 2^5=32 combinaciones posibles (cada nacimiento puede ser niño o niña). Si el niño es 1 y la niña es 0, las probabilidades de que hayan 3 niños es

00111 - 01011 - 01101 - 01110 - 10011 - 10101 - 10110 - 11001 - 11010 - 11100

Para que puedan volver a salir un 60% de niños es necesario que los nacimientos sean múltiplos de 5. De manera que esto se repite con 10, 15... nacimientos, de los cuales solo se eligen los que cumplen con la proporción exacta del 60%. (si os aburrís podéis poner 1 y 0, pero hay 2^10=1024 combinaciones posibles)

En un hospital grande nacerán muchos mas bebés, de manera que nos podemos acercar al 60%, pero será mas difícil llegar a este valor exacto.

No importa la probabilidad de que un nacimiento sea niño o niña, pues en el enunciado ya te dicen que sabes que nacerán un 60% de niños aquel día.

#42 — Nesta

Aunque es verdad, como he leído en algún comentario, que en cualquiera de los dos hospitales puede ocurrir esa situación, eso serían posibilidades, pero si hablamos de probabilidades, cuanto mayor es el número de casos equiprobables (si suponemos que nacer niño o niña lo son), menor es la desviación del 50%.

#43 — Serpentina

Se puede concluir cualquiera de las dos cosas, depende de como se lea el enunciado y de las suposiciones que se hagan despues.

Perdon por no poner acentos.

#44 — Alvy

La respuesta oficial correcta aparte de estar explicada en el enlace de la anotación original es la que dieron #2 y otros: el pequeño. La razón es la de #4 y la mejor forma de entenderlo es seguramente la de #35.

El ratio niños/niñas se puede considerar del 50/50 aunque en la realidad sea 49/51 o varíe un poco más o menos según países, eso no influye en el problema en sí.

Lo que se está preguntando con «¿En qué hospital es más probable que haya ocurrido esto?» puede leerse también como «¿En qué hospital es más probable que se haya producido una desviación estadística?» y eso lleva a deducir que es en el pequeño. Las cifras exactas y las probabilidades diversas son irrelevantes; simplemente sucede con una muestra menor (hospital pequeño) es más probable una mayor desviación y con una muestra mayor (hospital grande) es más improbable.

#45 — posteadora

Estudié hace unos años que los nacimientos niños/niñas no son al 50%, porque debido a que el útero materno es femenino, existían mayor número de rechazos de los embriones varones y por tanto más abortos -no recuerdo la explicación técnica-

No obstante, y aún teniendo en cuenta que la probabilidad debía ser la misma, si la muestra del hospital pequeño es demasiado chica, podría darse la circunstancia de que solo naciera un niño y fuera un 100% de varones!

#46 — oll

es muy lógico que cuando es pequeño el número es más probable que haya diferencia del 50%. Tengo un amigo con 4 hermanas (80%), mientras que la población del mundo debe ser prácticamente 50%, no creo que haya más de un 1% de diferencia.

Lógicamente, en el pequeño

#47 — olll

además perdón por postear dos veces, pero es poco probable que en el grande haya exactamente un 60%. Es más, es casi imposible que de 100 nacimientos haya 40 niñas y 60 niños, y no 61 niños y 39 niñas, por ejemplo.