Por @Alvy — 17 de Agosto de 2010

Un gran problema de apariencia sencilla:

De Manacor a PalmaSi voy de Manacor a Palma a una velocidad media de 90 Km/h y vuelvo a una velocidad media de 110 Km/h. ¿A que velocidad media habré circulado en la ida y vuelta?

Se publicó hace tiempo en 1031tensai, donde está la solución para quien quiera verla siguiendo el enlace, pero por aquí mejor vamos respetar la «regla de las 24h».

{Importante: puedes dejar pistas e ideas al respecto en los comentarios, pero recuerda esperar 24 horas antes de hablar abiertamente de la solución, para que los demás puedan disfrutar buscándola. Quien no quiera recibir ninguna ayuda ni pista para dar con la respuesta tal vez prefiera no leer los comentarios.}

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44 comentarios

#1 — Bernat

Ahora mismo no se calcular la velocidad exacta, pero diría que no llega a los 100 Km/h

#2 — Yo

...media harmónica...

#3 — ivan

a ver, se supone que la velocidad media es el desplazamiento sobre el tiempo, (D/T) el desplazamiento es ladistancia en linea recta que separa al punto de partida de el punto de llegada, si salí de manacor y llegué a manacor eso significa que...(ley de las 24 horas, no puedo responder....)xD

#4 — ziordo

Pero si la solución ya la da el enunciado!!

#5 — c-295

supongo que una pista seria preguntar si es lo mismo hacer 50 kilometros a 90km/h y otros 50 a 110km/h que conducir durante media hora a 90km/h y otra media hora a 110km/h

#6 — Evita

creo que es más que evidentee!!

#7 — terox

Para evitar confusiones, hay que ir a lo básico:

Se suma el total de la distancia recorrida y se divide entre el tiempo empleado... no hay que tratar de tomar atajos...

#8 — Pablo

Creo que la pregunta es tramposa, ya que hace pensar en un tipo de media cuando probablemente hablará de otra... ¿media en espacio o en tiempo? En un caso se hace la media de las velocidades a las que se circuló por cada punto, mientras que en el otro se toma la media de las velocidades en cada instante (considero que estas definiciones básicas no violan la regla de las 24h). Puede que ambas medias no coincidan...

#9 — dani

#7 ¿y si no se conoce la distancia recorrida (ni en longitud ni en tiempo)? porque la solución es invariable

#6 si la respuesta te parece demasiado evidente es posible que estés errada, claro que no sé cuán evidente te parece...

#2 No, si tienes razón, con el único matiz de que es un problema matemático que no musical

#10 — Carlos

Alvy, a mi me gusta más esta versión:

Si voy de Manacor a Palma a una velocidad media de 40 Km/h ¿A que velocidad tengo que volver para que la velocidad media total (ida y vuelta) sea de 80Km/h?

A #9, para lo que le preguntas a #7, toma como distancia una letra cualquiera, por ejemplo "d" y servirá :D

#11 — Unai

Depende cómo lo queramos ver, veo como mínimo dos soluciones posibles.

Todo depende del matiz que le quiera dar al enunciado, y de si nos guiamos por ockham o no para interpretar lo que dice

#12 — Carlos

Unai, la velocidad media se define como el espacio total recorrido dividido entre el tiempo que te ha llevado así que la interpretación del enunciado es la que es.

#13 — Mark Twain

No se si lo que he hecho es correcto y ya pondré mi solución cuando hayan pasado las 24 horas, pero...He puesto un tiempo cualquiera de ida, que es una hora, entonces una simple regla de 3.
Si 90 km -----------1 hora
110km ---------- x horas
Voy por el buen camino?

#14 — Oscar

Según Google Earth hay una distancia de 52.4 km

por lo que la valocidad media es de 98.9987 Km/h

#15 — Wiggin

no es la media armónica sino el doble de ésta

#16 — José Miguel

La pregunta no es tramposa. Es tan sencillo como dice #7.

Por cierto, no hay solución para lo que plantea #10.

#17 — Pepe

No os rayeis, porque no tiene mas vuelta de tuerca.

La intuición nos dice, asi rapidamente, que es 100km/h.

Pero si hacemos los cálculos, vemos que es menos, concretamente 99km/h.

Y no hay mas interpretaciones ni cosas raras. Es simplemente un acertijo para ver que la intuición no siempre es acertada.

Es mas, si se va a velocidad v1, y se vuelve a v2, la velocidad media, independiente de la distancia por cierto, es:

Vm=2*v1*v2/(v1+v2)

#18 — jorjum

Si la pregunta es:

"Si voy de Manacor a Palma a una velocidad media de 90 Km/h y vuelvo a una velocidad media de 110 Km/h. ¿A que velocidad media habré circulado en la ida y vuelta?"

La respuesta es: en la ida has ido a una media 90km/h y a la vuelta a 110 km/h.

Y nadie puede negarlo!!!! jajajaja

#19 — Roberto

Yo creo que el problema sólo tiene una interpretación, no hay dobles sentidos (ni puede haberlos).

Para mi el problema juega con la apariencia de una falsa media intuitiva. Las velocidades no pueden hallarse por media atendiendo a las distancias, sino a los tiempos que se usaron en cada velocidad.
Un ejemplo que lo ilustra: Suponiendo que en la ida se fue a una velocidad de 80 km/h y a la "vuelta" a 0 km/h. ¿Cual sería la velocidad media? ¿40 km/h?

#20 — Enthar Neurator

La velocidad media será la distancia recorrida entre el tiempo empleado. Si suponemos una distancia d, entre la ida y la vuelta habré recorrido 2d. Y para calcular el tiempo empleado solo hace falta sumar el tiempo de ida y el de vuelta. Como v=d/t --> t=d/v.

tiempo de ida: t1 = d / v1
tiempo de vuelta: t2 = d/v2
tiempo total: t = d/v1 + d/v2

Luego juntándolo todo la velocidad media será:

vm = 2d/t = 2d / (d/v1 + d/v2) =
= 2/(1/v1 + 1/v2)

Las d se nos van, por lo que la distancia entre Manacor a Palma no nos influye. Nos podrían haber dicho la distancia entre Madrid y Vladivostok y la solución seguiría siendo la misma.

Solo falta sustituir términos, en este caso v1=110 y v2 =90, con lo que queda que vm=99. Es decir, la velocidad media habrá sido de 99 km/h

#21 — Nolek

Estoy totalmente de acuerdo on Enthar Neurator.

#22 — Shadowfury

Estoy casi seguro de que todos los que hacen cuentas se equivocan. La solución no es 100 ni 99, si no la que apunta ivan en el tercer comentario.

Si no lo véis, pensad en esto: no os olvidéis de nuestros amigos los vectores directores.

#23 — Enthar Neurator

Ya bueno, si nos ponemos quisquillosos con la terminología lo que en realidad estaríamos calculando sería la rapidez o celeridad, en terminología física estricta la velocidad media al final sí sería 0 ya que no hay desplazamiento neto, pero no creo que el problema vaya por ese camino, no tendría miga jeje

#24 — fran

Regla de las 24 h violada por #19 :-(
Me ha entretenido hacerlo.

#25 — Enthar Neurator

Ups :o perdón, no sé porqué pensé que ya habían pasado 24 horas, no se volverá a repetir...

#26 — Xisquete

La solución es harto complicada ya que el enunciado no es del todo correcto, cualquier palmesano o manacorí sabe que es imposible hacer ese trayecto sin parar a tomarse algo en el restaurante "El Cruce", por lo que habría que añadir nuevas variables...

#27 — Juan

respuesta al #10
no tiene respuesta posible ya que conseguir el doble de velocidad media sería recorrer el doble de distancia en el mismo tiempo,o este caso ir y volver con sólo el tiempo que hemos utilizado en la ida, por lo que ya hemos gastado todo el tiempo.podríamos llegar a una media de 79km/h pero nada de 80 o superior.

#28 — Isma

Un error que comete todo el mundo (de lo que yo he visto) es suponer que la distancia de ida y la de vuelta es la misma. En Google Maps a mí me dice 52.7 de Palma a Manacor y 52.4 de Manacor a Palma lo cual es dar "todos los datos".

#29 — Nolek

Hombre no creo que haya que ser tan detallista y tiquismiquis respecto a vectores, desplazamiento y demás...
La belleza está en el detalles pero no hace falta exagerar XD

#30 — Ángel

Parece mentira que a estas alturas no sepáis que la respuesta es 42...

#31 — Klagorn

Lo que parece mentira es que confunda una magnitud escalar con una vectorial. Lo que quiere decir es rapidez media y no velocidad media.

#32 — dani

pues yo nunca ví utilizar esa terminología de "rapidez" para referirse a la magintud escalar, nunca en mis 5 años de ingeniería industrial. De hecho me suena poco técnico, mientras que "velocidad" siempre se usó en ambos casos según el contexto o especificándose "escalar" y "vectorial" cuando era pertinente.

En cualquier caso, para aquellos que apuntan al resultado de nulo, les recuerdo que la velocidad media se calcularía a partir de una integral sobre infinitésimos de velocidad instantánea considerando un vector diferencial de longitud. En resumidas cuentas, la trayectoria es importante y el resultado no es 0

#33 — Enthar Neurator

Otro industrial por aquí jeje a nosotros si nos diferenciaban rapidez de velocidad, lo que pasa que luego coloquialmente se usaba velocidad para todo, aunque nos dejaban claro que estrictamente no era exactamente lo mismo.

Y para calcular la velocidad media, sí hay que hacer una integral a lo largo de la trayectoria, concretamente una integral de lazo cerrado ya que partimos y llegamos al mismo sitio, no voy a poner fórmulas matemáticas, pero esa integral tiene que dar cero. Una forma de verlo es descomponerla en dos integrales. Por definición, integrando v·dt desde Palma a manacor nos daría un vector cuyo origen es Palma y fin es Manacor, y la segunda integral nos daría el mismo vector pero al revés. La velocidad media sería la suma de esas dos integrales dividida por el tiempo total, como la suma de las integrales es nula, la velocidad media es nula (vectorial), y no depende de la trayectoria ni de la rapidez en cada punto. Perdón por el tocho.

#34 — Gustavo

Me parece que ya se puede decir, aunque es de fácil deducción: son 99km/h.

#35 — Alvy

Admin (24h+): He aprobado ahora unos cuantos comentarios que se habían enviando antes de las 24h de la publicación para que se puedan ver; están intercalados por ahí.

Aparte de eso la solución correcta es que la velocidad media a la que se ha circulado en el trayecto completo de ida y vuelta es de 99 Km/h. Felicidades a los agraciados.

Tal y como se explica en el original:

«Si voy de Manacor a Palma y vuelvo habré recorrido una distancia 2d (siendo d la distancia entre ambas ciudades) en d/90+d/110 horas. Es decir la velocidad media sera 2d/(d/90+d/110). Simplificando: 2/(1/90+1/110) = 99 Km/h»

#36 — Sakul

@#30.Ángel:
Jaja,muy buena!! ;-).

#37 — civeronga

Yo diría "0", porque ir paná, es tontería.

#38 — Rancor

@Enthar Neurator

Repásate las integrales de curva, que te hace falta.

Dices que al integrar cualquier vector a lo largo de una curva cerrada, el resultado tiene que dar cero. Eso no es cierto, y creo que no estás teniendo en cuenta que la parametrización de la curva también cambia de sentido cuando vuelves. Si fuera como dices, estaríamos apañados, porque la Ley de Maxwell-Faraday sería siempre 0, por poner el caso más notorio.

Luego, aparte, los dos estáis planteando integrales que, o bien no aplican al problema o bien simplemente no tienen sentido. Que el vector trayectoria total, que es lo que tú calculas con esa integral, sea 0 cuando tomas un bucle cerrado no tiene nada que ver con el espacio recorrido, que es lo que le importa a la velocidad media, y que depende de la curva que se haya considerado; análogamente entonces se daría que el trabajo medio que se realiza cuando llevas algo de manacor a palma y de vuelta es 0 porque la trayectoria es 0, y es evidente que se hace trabajo. Por otro lado, la circulación del vector velocidad a lo largo de la curva cerrada (que es lo que propone dani) no te da la velocidad media ni la velocidad total, te da... pues la circulación de la velocidad en esa curva.

#39 — dani

ah, pero yo dije "a partir de" y no fui demasiado concreto. Me refería obviamente a la circulación del vector velocidad entre la distancia recorrida, ya sea incluida en la integral o no

#40 — Enthar Neurator

@Rancor

O no me explicado bién o no me entendiste. No estoy diciendo que integrar cualquier función a lo largo de una integral cerrada da 0. Estoy diciendo que integrar la función velocidad a lo largo de una trayectoria cerrada da 0. Me explico. Para calcular la velocidad media en este caso tenemos que hacer vm=1/T*int(v·dt) a lo largo de la trayectoria cerrada, es decir, multiplicamos en cada instante la velocidad (vectorial) por un diferencial de tiempo y dividimos luego todo ello por el tiempo total. Es como hallar una media corriente de la velocidad a lo largo del tiempo. Como v=dr/dt, la integral queda 1/T*int(dr), es decir, estás integrando el vector posición en una trayectoria cerrada. Este vector posición sí forma un campo conservativo, ya que su rotacional es nulo, y por lo tanto cualquier integral de lazo cerrado va a dar cero. Estoy hablando de esta función en particular, por supuesto que sé que no se cumple para cualquier función.

#41 — lunabueno

No habeis caido en que cuando se va a 110 se va en contra del sol, con lo que se gana tiempo, que afecta a la velocidad.

Es que nadie ha visto willi fog!!??

#42 — Daniel

La velocidad media se calcula como desplazamiento sobre tiempo. Si salgo de un punto y regreso al mismo el desplazamiento es 0 y por lo tanto la velociad media también

#43 — El Mery

#33, estas en lo correcto

Tal vez me llamen loco y todo, pero obiamente la velocidad media, y destaquese MEDIA es 0, nula, nones, conjunto vacio, ya que la velocidad media es igual a la distancia entre el punto de salida y de llegada, y qunque uno halla viajado a la velocidad de la luz, mientras se llege desde a un punto a ese mismo punto, la distancia es cero, y dividida por el tiempo, es 0 Km / xt donde x es igual a las horas de viaje de ese cuerpo

#32

por favor ve a la uni y pide que te den la garantia pues te han timado en grande, ya que un ingeniero industrial que no sepa la diferencia entre una magnitud escalar, sin direccion como lo es la rapidez, que es el modulo de la velocidad, y una magnitud vectorial que si tiene direccion y sentido, y que en contraste un tipo de 15 años aprenda eso en fisica basica, y notese, ni siquiera mecanica, es una de las cosas mas tristes que he oido en mi vida

#44 — Alvy

«Mientras se llege desde a un punto a ese mismo punto, la distancia es cero»

Hombre, repasa los conceptos; si eso que dices fuera correcto entonces las carreras de atletismo de 400 metros que comienzan y terminan en el mismo punto deberían llamarse de «0 metros»… ;-)