Por @Alvy — 28 de Octubre de 2007

The Millenium Problems5 estrellas: completísimo y ameno The Millennium Problems: The Seven Greatest Unsolved Mathematical Puzzles of Our Time. Keith J. Devlin. 2002. Inglés. 240 páginas.

Este libro trata sobre los problemas matemáticos sin resolver más difíciles del mundo, conocidos como Los Problemas del Milenio. Fueron seleccionados por el Instituto Clay de Matemáticas para conmemorar la llegada del siglo XXI y para rememorar de algún modo los Problemas de Hilbert que presentó en 1900 el matemático David Hilbert. Considerados con el tiempo «los problemas del siglo», mantuvieron entretenidos a los expertos durante todo este tiempo. De aquellos 23 problemas todos menos unos pocos (dos o tres) están resueltos. Es curioso que ni los expertos de la «ciencia exacta» se pongan de acuerdo en cuáles están resueltos y cuáles no (algunos tenían problemas de definición, otros siguen debatiéndose, incluso algún otro fue resuelto con ayuda de ordenadores y su demostración se considera «incompleta».)

Los siete problemas son estos:

Los Problemas del Milenio

  1. P versus NP
  2. La conjetura de Hodge
  3. La conjetura de Poincaré
  4. La Hipótesis de Riemann
  5. Yang-Mills y del salto de masa
  6. Solución a las ecuaciones Navier-Stokes
  7. La conjetura de Birch y de Swinnerton-Dyer

Los problemas no están clasificados originalmente por su difícultad, sino por la... longitud de su título, formando una grácil pirámide. (Los he enlazado a las descripciones de los problemas en la Wikipedia, en castellano cuando están disponibles las entradas, en inglés cuando no).

Hay un millón de dólares para quien resuelva cada uno de ellos.

De los siete problemas, tan solo la conjetura de Poincaré ha sido resuelto hasta ahora, tras tres años de revisión. La hazaña fue realizada por Grigori Perelman, a quien se ofreció la Medalla Fields (el equivalente al Nobel de las Matemáticas) en 2006 por tamaño logro. Pero el extravagante matemático declinó aceptar el premio y al parecer tampoco quiso cumplir los requerimientos para que se le entregara el millón de dólares del Instituto Clay. (El libro es del año 2002, por lo que todo esto no está allí explicado, es interesante ese capítulo por la descripción de lo complejo del problema y lo difícil que debió ser resolverlo.)

El libro aborda la difícil tarea de expllicar cada problema de forma divulgativa, lo cual no es fácil y es especialmente complicado en los dos de los casos (#2 y #7). El autor ordenó los problemas de fácil-de-explicar a difícil-de-explicar para hacerlo más digerible. Respecto a cada problema incluye notas biográficas de los principales protagonistas de las historias, junto con explicaciones fáciles de entender (aunque... todo es relativo) sobre las partes más importantes de cada tema. La labor desde luego es impróba y la obra consigue su objetivo, a pesar de su brevedad.

El autor comienza explicando que muchos de estos problemas no son aptos ni siquiera para estudiantes que hayan terminado la carrera de ciencias exactas, ni para matemáticos que estén fuera de sus campos de experiencia. Sobre cada problema se han escrito prácticamente libros enteros, que se pueden lllegar a leer sin entender de verdad cuál es el problema planteado, lo cual no deja de ser un poco desalentador.

De los siete problemas, la Hipótesis de Riemann que es con el que comienza es tal vez el más profundo, bello y elegante. También es el único que proviene de la antigua lista de 23 problemas de 1900. Hay una descripción más completa sobre él en La música de los números primos, otro gran libro al respecto. Este problema tiene que ver con una función matemática que está extrañamente relacionada con la peculiar distribución de los números primos entre los enteros.

P versus NP afirma el autor que es el único problema que podría ser resuelto por un no-matemático, probablemente por un informático, gracias a alguna «ideal genial». Tiene que ver con la «velocidad» a la que se pueden resolver ciertos problemas, y se trata de demostrar si cierto tipo de problemas son equivalentes, igual de «difíciles» que otros, algo que estudia la Complejidad computacional.

La cuestión sobre Yang-Mills es de los siete el más relacionado con la física, concretamente con la física cuántica. Se trata de desarrollar la base matemática de algo que está aceptado en la física pero no se ha desarrollado de forma completa (algo que cada vez es menos extraño, aunque suene extraño). Las Ecuaciones de Navier-Stokes también provienen del campo de la física; describen el fluir de líquidos y gases; pero aunque se conocen hace tiempo y se emplean en ingeniería habitualmente, se usan sólo aproximaciones, porque nadie conoce las soluciones exactas (ni siquiera si acaso existen).

La Conjetura de Poincaré (ya resuelta) y La conjetura de Birch y de Swinnerton-Dyer son ambos matemáticas muy abstractas y realmente extrañas para la mayoría de los mortales, mientras que la Conjetura de Hodge riza el rizo en cuanto a complejidad y, dentro del terreno de la topología, es el más difícil de entender y explicar de los siete (así que... ni lo intento).

En definitiva, el libro es un buen resumen de los siete problemas, de los que hay mucha más información, explicaciones detalladas e incluso vídeos, en la web oficial: The Millenium Problems.

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