Por @Alvy — 20 de Agosto de 2007

The Music of the Primes5 estrellas: muy bien tratado y entretenido The Music of the Primes: Searching to Solve the Greatest Mystery in Mathematics. Marcus du Sautoy, 2003. En castellano: La música de los números primos (Editorial Acantilado).

Este libro es un recorrido por la vida de algunos de los más grandes matemáticos de la historia y sus trabajos sobre la Hipótesis de Riemann y su misteriosa y a la vez extraña relación con los números primos. Explora muchas historias sobre estos curiosos números además de los siglos de trabajos al respecto, dedicando pequeñas biografías a todos aquellos matemáticos relacionados con el problema: Euler, Gauss, Hilbert, Hardy, Littlewood, Ramanujan, Ribenboim, Selberg, Erdős, Diaconis y Grothendieck entre otros. Al llegar a la época de los ordenadores también repasa los importantes trabajos de Alan Turing al respecto, e incluso se zambulle brevemente en el problema de los cuatro colores y la historia del criptosistema RSA de Rivest, Shamir y Adleman, además de mencionar otros problemas todavía no resueltos (algunos más mundanos como el solitario de Windows). El libro es una especie de suma de pequeñas biografías unidas por un nexo común, que va explicando los avances en los intentos de resolver el que sin duda uno de los Santos Griales de la Ciencia, el mayor problema todavía por resolver de las matemáticas ante el cual palidecen gestas como la resolución del Último teorema de Fermat (1993-1995) o el Teorema de Poincaré (2006). El autor lo trata todo con un lenguaje bastante ameno y no demasiado técnico, y en cierto modo resulta emocionante seguir la aventura a lo largo de la historia.

Esta hipótesis fue mencionada en un trabajo de 1859 del matemático alemán Bernhard Riemann. Surgió colateralmente mientras investigaba algunas de las propiedades de los números primos: los números naturales que son divisibles únicamente por sí mismos y la unidad (2, 3, 5, 7, 11, 13...) y tiene como cuestión de fondo su curiosa distribución. Si bien desde la época de Euclides se sabe que hay infinitos números primos, algunas otras cuestiones sobre estos peculiares números han resultado esquivas durante siglos. No existe una «fórmula para generar números primos» como tal. No hay demostraciones matemáticas sobre si existen también infinitos primos gemelos o primos de Mersenne que son algunas curiosas variantes de números primos. Tampoco se ha podido demostrar ni encontrar un contraejemplo de la Conjetura de Goldbach, cuyo sencillo enunciado («todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos») clama por una demostración igual de sencilla. Y, aunque multiplicar dos números de doscientas cifras es relativamente fácil con un ordenador, la complejidad de descomponer en esos dos factores el número resultante es tal que problemas como ese se utilizan hoy en día como medida de alta seguridad en todas las transacciones de comercio electrónico del mundo (son la base del criptosistema RSA).

Aunque la Hipótesis de Riemann suena sin duda compleja en su definición formal y en cierto modo oscurece su relación con los números primos, Marcus du Sautoy hace un gran trabajo en el libro para darla a entender fácilmente. El problema básico es la extraña distribución de los números primos a medida que se recorre la lista de números naturales: no siguen un patrón fijo, aparecen y desaparecen por grupos de forma cuanto menos poco «predecible». Aunque existen fórmulas que permiten aproximar cuántos números primos hay en un intervalo dado (por ejemplo en los primeros 1.000 ó 10.000 números) no hay una fórmula que indique con exactitud dichos valores sin contar los números primos uno a uno. En cierto modo, los primos son caprichosos y esquivos: tan pronto desaparecen durante un tramo como vuelven a surgir en pares cercanos.

La hipótesis tiene que ver con la llamada función Zeta de Riemann y lo que sucede cuando se hacen participar en ella números complejos (una combinación de números reales y números imaginarios como la raíz cuadrada de -1). Riemann observó que al alimentar con diversos valores complejos la función en su dibujo aparecían «ceros». Algunos eran triviales y predecibles, pero otros no. Los que no eran triviales eran difíciles de calcular, pero resultaban estar siempre situados en una línea recta concreta y precisa. Lo realmente importante es que esos ceros parecían distribuidos del mismo modo que los números primos. Lo que Riemann pudo calcular, intuir y conjeturar fue la relación directa entre esos ceros y la distribución de los números primos: la hipótesis viene a decir que todos los valores que resultan en ceros están en esa línea recta y que no hay ninguno fuera de ella. Indirectamente, es como una fórmula que predice la peculiar distribución de los números primos y está relacionada de forma precisa con el Teorema de los Números Primos. Lo curioso es que como ese detalle no era relevante para el trabajo que estaba preparando, él propio Riemann ni siquiera profundizó en encontrar una demostración formal.

La Hipótesis de Riemman se incluyó como uno de los 23 Problemas de Hilbert presentados en un congreso matemático en 1900. Más de cien años han pasado y aunque casi todos esos problemas han sido ya resueltos el mítico problema número 8 sigue todavía abierto. En la actualidad el Clay Mathematics Institute lo incluyó como uno de Los Problemas del Milenio y hay un premio de un millón de dólares para quien proporcione una demostración completa.

La magia de la hipótesis de Riemann aumenta a medida que se profundiza en su investigación, dado que en diversos resultados de campos tan diversos como la música o el estudio del átomo comenzaron a observarse relaciones con la hipótesis de Riemann. Por un lado, los ceros de la función zeta pueden considerarse como las «frecuencias armónicas» de la distrubición de los números primos (de ahí el título musical del libro); por otro lado también coinciden con los niveles de energía del núcleo de los átomos pesados. El libro describe el misticismo que encierra todo esto por la profunda relación entre algo tan fundamental como son los números primos y las partículas primarias de la física.

Aunque el tiempo y los ordenadores han encontrado miles de millones de ceros en el sitio predicho por Riemann, y ninguno fuera de su lugar, eso no es una demostración matemática completa. Se han realizado ciertas aproximaciones, demostrando que hay infinitos ceros y acotando la zonas en que podrían estar los demás, pero no de forma tajante como propuso Riemann. Un sólo cero que apareciera fuera de la línea invalidaría la hipótesis y con ello decenas de otros teoremas matemáticos que basan su validez en que la Hipótesis de Riemann sea correcta.

Como suele suceder con este tipo de conjeturas, aunque la mayor parte de los matemáticos creen que es cierta, eso no sirve como demostración y el problema sigue abierto. Tal vez por unas décadas, tal vez por otro milenio. De hecho, si se encontrara un contraejemplo, tal y como dijo el matemático Enrico Bombieri,

El hecho de que la Hipótesis de Riemann fallara supondría el caos total en lo que conocemos sobre la distribución de los números primos.

Marcus du Sautoy mantiene una web complementaria al libro con imágenes, juegos y explicaciones diversas: MusicOfThePrimes.com.

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