Por @Alvy — 24 de Octubre de 2017

Todos hemos jugado al tres en raya alguna vez. De hecho es durante una temporada uno de los juegos favoritos de los más pequeños, al menos hasta que se dan cuenta que cuando se aprende cierta estrategia es un juego que siempre acaba en empate. Un jugador sólo puede ganar si el otro comete un error, y es fácil descubrir cómo no cometer errores. ¿Qué sucede cuando se juega a variantes más allá del «tres» o en tableros de 3 o más dimensiones?

Las respuestas detalladas las da Kelsey Houston-Edwards en este excelente vídeo de PBS Infinite Series, con su maestría y capacidad divulgativa habitual. Básicamente se puede aprender todo lo que se sabe sobre el tres-en-raya y sus extensiones y variaciones multidimensionales en diez minutos. Y también descubrir qué es lo que no se sabe todavía.

Todas las explicaciones parten del supuesto de que cuando se habla del juego se utilizan las reglas tradicionales, por turnos (con las marcas X y O), en tableros de n-por-n y que ambos jugadores utilizan estrategias óptimas en busca de ganar con una línea de n casillas contiguas ocupadas: filas columnas o diagonales. Atenerse a esa estrategia óptima significa que se puede ganar o al menos forzar un empate.

Lo que los matemáticos saben hoy del tres en raya y sus variantes es esto:

  • El 3×3 en 2D (y todos los inferiores) acaban siempre en empate.
  • El 4×4 y superiores (5×5, 6×6, N×N) en 2D también acaban siempre en empate.
  • El 3×3×3 (ya en 3D) tiene estrategia ganadora para el primer jugador.
  • También en el 4×4×4 (3D) gana el primer jugador.
  • No se ha demostrado todavía qué sucede en 5×5×5, 6×6×6 y 7×7×7 aunque a partir de 8×8×8 son empates.
  • En 4D en tableros de 3×3×3×3 y 4×4×4×4 gana el primer jugador, pero no sabe sabe si también en 5×5×5×5 o más allá.

Si se practican un poco los juegos intuitivamente se ve a grandes rasgos lo que sucede: cuando se aumenta de dimensión (ej. De 2D a 3D) se generan tantas nuevas «líneas» posibles que es más fácil para el primer jugador ganar (o para el segundo «no poder bloquearlas»). En cambio cuando se agranda el tablero el número de líneas ganadoras no aumenta tanto como el número casillas que el segundo jugador puede usar para bloquearlas, lo cual favorece el empate. Pero matemáticamente no se conoce para todas las variantes cuál es el «punto exacto» en el que sucede el cambio entre «se puede ganar» y «sólo se puede empatar».

Resulta especialmente interesante ver cómo se puede generalizar el problema y utilizar una notación específica para investigar el juego; Houston-Edwards también muestra una tabla a modo de resumen en la que se indican lo que saben los matemáticos respecto al número de dimensiones y tamaños del tablero, con muchas incógnitas: tableros de ciertos tamaños y dimensiones para los cuales todavía no se ha conseguido una demostración – ¡ni siquiera por fuerza bruta!

Es interesante ver que a pesar de todo esto existen variantes muy interesantes del tres en raya a las que es muy divertido jugar: está el Cinco en raya que puede jugarse en un tablero «infinito» (ej. una gran hoja de papel cuadriculado) que resulta estratégicamente muy divertido por su complejidad. Y el Conecta 4 que es un cuatro en raya en un tablero de 7×6 «con gravedad». En esta popular versión el primer jugador siempre puede ganar si empieza colocando su ficha en la columna central – aunque el análisis matemático es tremendamente complejo y hay unos 4,5 billones de posiciones posibles – lo cual hace que sea perfectamente «jugarle».

El Go-Moku es un 5×5 pero sobre un tablero de Go de 19×19, con alguna que otra regla adicional para evitar ventajas (como que gana quien haga un cinco en raya, pero no vale un «seis en raya» o superior). También hay otras reglas para las competiciones oficiales (como que un jugador coloca dos piezas blancas y una negra al empezar y el otro jugador elige color o coloca otras dos piezas y deja elegir al primero, al estilo repartir una tarta). En cualquier caso el juego es tan complejo que tampoco ha podido resolverse matemáticamente – aunque las inteligencias artificiales dicen que lo juegan bastante bien.

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