Logo Lainformacion.com
< Industriepalast: el Hombre como un palacio industrial
Por qué valen su peso en oro >

Capicúas

Una cuestión de números y probabilidad, procedente de Números (donde también está la solución).

¿Qué es mas probable: que un capicúa de 4 digitos sea múltiplo de 99 ó que un número de cuatro digitos múltiplo de 99 sea capicúa?

{Importante: puedes dejar pistas e ideas al respecto en los comentarios, pero recuerda esperar 24 horas antes de hablar abiertamente de la solución, para que los demás puedan disfrutar buscándola. Quien no quiera recibir ninguna ayuda ni pista para dar con la respuesta tal vez prefiera no leer los comentarios.}

20 comentarios

#1 ping Zhanty

Yo al principio diría que la probabilidad es la misma...
pero tiene que haber trampa...
¿Hay alguna forma matemática de comprobarlo(evidentemente) o hay que ver todos los números de 4 cifras,ver cuales son capicúa y ver cuales son múltiplos del 99?

#2 ping Jefe Ryback

Hay X múltiplos de 99 con 4 cifras. Faltaría mirar cuantos de ellos son capicuas.

Hay también X (es la misma cantidad) números capicuas de 4 cifras. Faltaría ver cuantos de ellos son múltiplos de 99.

El que tenga más coincidencias gana, porque la cantidad de posibilidades (X) es la misma.

#3 ping Sergio

Zhanty, habrá que estimar cuántos números forman cada conjunton no?

#4 ping Carlos

#2, el número de múltiplos de 99 de 4 cifras no es 100 (que es lo que creo que has supuesto) ya que el 0110, 0220 entre otros no tienen 4 cifras sino 3 (y además no serían capicúas al quitarle el 0 inicial).

Este problema es extremadamente fácil.

#5 ping Rancor

Tal y como yo entiendo el experimento y la pregunta (que me parece que está formulada un tanto ambigua, pero bueno) la cuestión se me reduciría a simplemente comparar los cardinales de dos conjuntos fácilmente calculables. Se podría interpretar de otra forma el problema, no obstante; aunque como ese lo veo más aburrido y menos interesante no me he parado a comprobar si se obtiene otro resultado que en mi interpretación.
@Zhanty En este supuesto, no haría falta comprobar mecánicamente los casos pedidos.

#6 ping Luciano

Aviso para el que no quiera leer la solución (si es que es ésta...) que no siga leyendo después de los puntos que voy a poner.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
La probabilidad es la misma porque ambas refieren a la intersección entre dos conjuntos. El orden en que se nombran estos conjuntos no afecta la composición de su intersección (el orden de los factores no afecta el producto). Saludos!

#7 ping Pepe

La probabilidad no tiene por qué ser la misma, por ejemplo si simplificamos el problema a dos cifras, tenemos que hay 10 números capicúas y 25 primos. El único primo capicúa es el 11 (el resto de capicúas son múltiplos de 11).

Por tanto, la probabilidad de que un primo sea capicúa, es 1/25, mientras que la de que un capicúa sea primo, es de 1/10.

Ahora solo hay que "contar" (o buscar un método mas eficiente) cuantos primos y capicúas hay entre 1 y 9999 (o entre 1000 y 9999, según se quieran entender), y cuantos son ambas cosas...

#8 ping Huertano

A #6 (y a todos en general): La intersección evidentemente es la misma, pero no se pide hallar a intersección (que evidentemente está formada por estos dos números UNICAMENTE: 4554 y 5445) si no que se habla de probabilidad.Lo que hay que hacer es comparar el número de elementos de la intersección (2) con el cardinal de cada uno de los otros conjuntos (dividir) y así hallaremos la probabilidad. El número de capicúas de 4 cifras a.k.a. números de la forma:

"ABBA" en su expresión decimal, se calcula por conteo, mediante la regla de la multiplicación. 9 opciones para "A" y otras 9 para "B", así que 9*9=81, y la probabilidad de que además sean multiplos de 99 es entonces 2/81. Ahora habrá que calcular el conjunto de los multiplos de 9 de cuatro cifras, cuyo cardinal no tiene porque ser el mismo que el de los capicúas de cuatro cifras dado que son conjuntos distintos (que no disjuntos jeje), así que puede ser distinta la probabilidad para este caso. Estos multiplos están acotados entre 1000 y 9999 y forzosamente serán de la forma N=990+99k

con k€N, así que 990+99k es menor o igual que 9999---->k es menor o igual que [9999-990]/99=91. Sabemos por tanto que para todo k entre 1 y 91 será N de cuatro cifras y multiplo de 99, así que el Cardinal buscado será 91. Por tanto la probabilidad de que un múltiplo de 99 de cuatro cifras sea además capicua es de 2/91, algo menor que la anterior.

P.D.:Si tengo algún fallo de calculo avisadme, conceptualmente tengo bastante claro que no hay error ;D.

#9 ping GNZL

#8 Te has dejado el 9999 = 99 * 101 que es de cuatro cifras y es capicúa.

#10 ping Huertano

No me lo he dejado, pues haciendo k=91, tenemos 990+99*91=9999, es decir, es el elemento número 91 del conjunto (si numeramos los elementos del conjunto conforme al "k" correspondiente). No me he dejado ninguno me atrevo a afirmar, el razonamiento de conteo es lógicamente correcto, según lo veo, no obstante si he caido en alguna falacia, argumente libremente.

#11 ping Huertano

He tenido varios errores garrafales, el primero es que hay 90 capicuas de 2 cifras, dado que son de la forma "ABBA" hay 9 opciones para A (de 1 a 9) y 10 opciones para B (de 0 a 9, osea 10 opciones, antes se me olvidó el 0 jeje). El segundo es que la intersección de ambos conjuntos tiene un cardinal de 10, no de 2 (no sé porque tuve este error, será porque fuí pensando el problema mientras escribía, pido perdón). Las condiciones necesarias y suficientes para pertenecer a esta intersección son:
[1*]Ser un número de expresión decimal "ABBA"
[2*]Ser multiplo de 11
[3*]Ser multiplo de 9

[1*] implica trivialmente [2*] (Recordemos que un número es multiplo de 11 sii la suma-resta alternada de sus cifras resulta 0 o multiplo de 11). [3*] se cumple solo cuando A+B=9n (en este caso solo vale para n=1 o n=2).
Entonces tenemos que este conjunto los contituyen:
9009,1881,8118,2772,7227,3663, 6336, 4554, 5445, 9999. 10 elementos en total.
Las probabilidades quedan 10/90, y 10/91. Y ahora juro que no me he equivocado jeje. Perdonen las molestias.

#12 ping Carlos

Simplificando esto. Números capicúa múltiplos de 99 = X (arriba han dicho lo que vale pero no nos va a hacer falta).

Números capicúa de 4 cifras = 90 (desde 10_01 hasta 99_99).

Múltiplos de 99 de 4 cifras = 91 (desde 99x11 hasta 99x101)

Probabilidad de que un capicúa de 4 cifras sea mútiplo de 99: X/90

Probabilidad de que un múltiplo de de 99 de 4 cifras sea capicúa: X/91

No sabemos X, nos basta saber si es 0 o no, y no lo es puesto que 9999 es capicúa y múltiplo de 99 (X es 10 pero nos da igual).

Como X es positivo, X/90 es mayor que X/91.

Lo dicho, muy sencillo.

#13 ping Jefe Ryback

#4 No había supuesto que la cantidad de elementos fuese 100.

Lo había contado como ya han hecho algunso mensajes atrás, mirando la forma ABBA de donde salen 90 capicúas de 4 cifras reales (sin 0 por delante).

Donde me equivoqué es al contar los múltiplos de 99; que yo dique que eran la misma cantidad que los capicúas de 4 cifras. Me equivoqué porque hay 91 múltiples de 99, y no 90 como había contado yo.

Y la solución es (no conté lo de las 24 horas, epro esque realmente ya lo han explicado todo) resumiendo:

Que es más probable que un capicua de 4 dígitos sea múltiplo de 99. Probabilidad de 2/90 contra probabilidad de 2/91 de que un múltiplo de 99 de 4 cifras sea capicua.

#14 ping Huertano

Claro que no hacía falta hallar la X, ni tampoco hace falta hacer estos problemas chorra jaja, la he hallado por echar el rato, y procrastinar un ratejo jeje

#15 ping Liken Armuko

Me he puesto a multiplicar y he llegado a estos resultados:
99*19=1881
99*28=2772
99*37=3663
99*46=4554
99*55=5445
99*64=6336
99*73=7227
99*82=8118
99*91=9009
99*101=9999
No se si me habré dejado alguno :D. Yo creo que la probabilidad es la misma en los dos casos.

#16 ping Rancor

Básicamente mi interpretación era la que ya han expuesto Carlos y Ryback, un poco más formalizada por (de)formación profesional, pero no voy a explayarme dado que ya lo han explicado someramente, y por supuesto me da el mismo resultado. Sólo hacía falta comparar, como dije, cuántos elementos tiene cada conjunto de números.

Hay que hacer notar que la intringulis del asunto esta en una confusión bastante común entre las probabilidades conjuntas (la probabilidad de que dos cosas sucedan a la vez) y la probabilidad condicionada (la probabilidad de que una cosa suceda sabiendo que otra ya ha sucedido). En este caso, la tipica interpretación matemática modelaría la pregunta con probabilidades condicionadas, mientras que lo más común es que ante esa pregunta se interprete en un primer momento como la conjunta.

#17 ping golem

A mi me parece que la interpretacion correcta es la de 1, 6 o 15 entre otros. Por definición son las mismas probabilidades, pues se trata de intersecciones de conjuntos. Y los números son los que refleja 15, c.q.d.

#18 ping Rancor

Yo decía que era un tanto confusa la formulación, pero si estás algo habituado a problemas probabilísticos, esa forma de preguntar es típica de probabilidad condicionada y no de conjunta.

Yo el experimento lo veo así:
Tienes un saco con bolas numeradas con todos los números enteros del 1000 al 9999. Sacas uno. Sobre esa bola te pueden preguntar:
- ¿Cuál es la probabilidad de que la bola sea capicúa y múltiplo de 99? - Esta es la probabilidad conjunta. Yo por lo menos noto un cierto matiz diferente al de las siguientes preguntas (quizá sea porque estoy más acostumbrado)

- ¿Cuál es la probabilidad de que, siendo la bola un múltiplo de 99, sea capicúa?
- ¿Cuál es la probabilidad de que, siendo la bola capicúa, sea multiplo de 99?

En estas preguntas, que yo es lo que veo que están preguntando, son probabilidades condicionadas, y no es lo mismo (aunque pueda parecerlo) que la primera pregunta. En la primera te pregunto si la bola que has sacado es a la vez capicúa y múltiplo de 99. En las otras sólo me interesan ciertos casos de partida (que la bola que has sacado sea múltiplo e 99 o que sea capicúa), si has sacado otra cosa a mí no me interesa, y en esos casos se quiere saber un único hecho sobre la bola, no dos (puesto que el otro ya se da por seguro)

#19 ping Valgard

Primero: Probabilidad de que un capicúa de 4 cifras sea múltiplo de 99.

Números de 4 cifras capicúas:

1001
1..1
1991
2002
2..2
....
9999

9 conjuntos x 10 cifras/conjunto = 90

Múltiplos de 99: lo son a la vez de 11 i de 9.
- Múltiplos de 11: Todos los capicúa de 4 digitos lo son, ya que la suma de sus numeros en posición par es igual a suma de sus numeros en posicion impar.
- Múltiplos de 9: La suma de sus dígitos es 9 o múltiplo de 9 (los dos numeros repetidos tienen que sumar 9) => 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81 i 90.
O sea, 9 números capicúas multiplos de 9 (y por tanto de 99).

Probabilidad de que un capicúa de 4 cifras sea múltiplo de 99 = 9/90 = 10%

Segundo: Probabilidad de que un múltiplo de 99 de 4 cifras sea capicúa.

Números de 4 cifras múltiplos de 99:
Primero: 1089. Último: 9999
Hay [(9999-1089)/99]+1 = 91
(La fórmula que uso se puede comprobar con números más pequeños)

De estos, son capicúas los mismos que antes eran múltiplos de 99 y capicúas: 9 (lo que se decía antes de la intersección de los dos conjuntos, que es la misma)

Probabilidad de que un múltiplo de 99 de 4 cifras sea capicúa: 9/91 = 9,89%

Es similar pero ligeramente diferente.

#20 ping Valgard

He detectado un pequeño error en mi resolución: el 9999 también es múltiplo de 9 (y por tanto de 99), así que las probabilidades cambian:

Probabilidad de que un capicúa de 4 cifras sea múltiplo de 99 = 10/90 = 11,11%

Probabilidad de que un múltiplo de 99 de 4 cifras sea capicúa: 10/91 = 10,99%