Por @Alvy — 8 de Agosto de 2010

Lampara-Cc-Morgan

El enunciado de esta clásica e interesante paradoja puede leerse por ejemplo aquí, en la anotación La lámpara de Thompson de Todo lo que sea verdad, donde también hay un pequeño análisis.

Tenemos una lámpara encendida. Al cabo de una hora la apagamos, media hora después la encendemos, un cuarto de hora más tarde la apagamos de nuevo, un octavo de hora después la encendemos otra vez, y así sucesivamente. Alternamos la lámpara encendida y apagada en intervalos cada uno la mitad de largo que el anterior. Todo el proceso acabará en dos horas:

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... = 2

La pregunta inquietante viene ahora. Al cabo de esas dos horas, ¿la lámpara estará encendida o apagada?

La paradoja estriba en que a simple vista parece bastante obvio que al cabo de dos horas exactamente la lámpara debe estar de una de las dos formas: o bien encendida o bien apagada, de modo que debe existir una respuesta concreta a la pregunta.

Esta paradoja me la reencontré recientemente leyendo Los secretos del número π, donde se habla de muchas series parecidas, en ese caso las que se utilizan para aproximar el cálculo a la redonda constante.

{ Foto (CC) Morgan }

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50 comentarios

#1 — Jandro

Creo que esta apagada cuando se cumplen las 2 horas (1/4096) teniendo en cuenta que en (1/1) se apaga

#2 — ziordo

NaN

#3 — Christian

Cuando la fracción de tiempo sea igual a el tiempo que necesita la electricidad para llegar a la lampara + el tiempo de calentamiento de filamento, se queda apagada sin posibilidad de encenderse.

IMHO

#4 — Roberh

En la teoría, nunca llegaría a las dos horas, solo a un 1'999999999999999... que tiende a 2. Así que si dividimos el tiempo en segundos como la unidad más pequeña, tendríamos que comprobar cómo estaría la bombilla en el momento 1:59:59. Pero para eso hay que calcular mucho, y me acabo de levantar :P

#5 — AL

Está claro que el interruptor revienta antes de las 2 horas.

#6 — Makin

Se superponen los dos estados, al llegar a 2 horas, que es el limite de la función en infinito, pasan los dos con una separacion de 0 segundos. Así que se superponen y todos morimos.

#7 — Enrique

En teoría nunca llegaría a 2 horas, habría infinitos cambios de estado antes.

En la práctica, la bombilla estaría fundida, y aunque no fuera así el retardo en el cambio de estado (pulsar el interruptor, un ordenador calculando y dando la instrucción) haría que la premisa no se cumpliera, porque no daría tiempo a hacer cambios de estado en un intervalo infinitamente pequeño.

#8 — LaloMx

mmmm... pues yo pienso que la lámpara estaría apagada por que despues de dos horas de estar enciende y apaga, enciende y apaga la luz, estaría yo lo suficientemente aburrido como para irme a dormir..., con la luz apagada por supuesto :D

#9 — yo pasaba por aqui

yo digo que esta encendida, al final solo puede estar encendida o apagada. si empieza estando encendida, los estadios impares estan encedidos y los estados pares estan apagados. si establecemos que el estado minimo posible dura un segundo, solo hay 15 cambios de estados antes de llegar al final.


O sea que impar, es encendida.

Si el tiempo minimo para cada estado se establece en medio segundo, entonces seria 16 estados y seria par, con lo que estaria apagada.

#10 — Jandro

Creo que esta apagada cuando se cumplen las 2 horas (1/4096) teniendo en cuenta que en (1/1) se apaga

#11 — Luis

#!/usr/bin/env python
x=float(1)
y=float(0)
z=0
print "encendido"
while (y

#12 — Alt+126

De cara a la práctica es evidente que estará apagada dado que la bombilla, el interruptor y/o los ojos de quién mire van a cascar antes de conseguir el "reto".

De cara a la teoría es imposible saberlo a no ser que el tiempo tenga un mínimo "físico" (Cosa que no sabemos) ya que siempre tenemos "la mitad de tiempo" para hacer otro cambio

#13 — AGOB

El hecho de que una bombilla este encendida o apagada se basa unica y exclusivamente en la temperatura a la que esta el filamento.

Su temperatura es alta si pasa corriente, y es baja si no pasa corriente. En nuestro ejemplo, a los dos segundos, hay infinitos cambios de estado cada diferencial de tiempo. Dado el tiempo de respuesta del filamento al encendido (no es instantaneo), el filamento actuara como un filtro paso bajo de los cambios de estado. Por tanto, responderia al estado "medio". Este estado consiste en que circule la "mitad" de la energia electrica.

En consecuencia, en el segundo 2, la bombilla brillara, aunque menos. Brillara mas o menos lo mismo que brillaria si la conectas a una toma de 110V, en vez de 220V (lo cual generaria tambien la mitad de corriente)

#14 — Juan

Apagada, es la misma paradoja que las bolitas o canicas en la bolsa, va a estar apagada

#15 — Alvy

¿Y si al comienzo está apagada?

#16 — Marco

Cambiaría de estado (encendido - apagado) tan rápido que para nuestra vista estaría encendida.

#17 — angel conde

también existe la respuesta absrda, la bombilla estará fundida

#18 — Zaleo

Respuesta absurda: fundida
Respuesta matematica: es imposible llegar a 2 horas, ya que para llegar a 2 en la funcion 1/2^n el limite es infinito
Respuesta fisica: debido a el tiempo que tarda en llegar corriente a la bombilla y encenderse la veriamos apagada (dependeria de la longitud del cable etc etc)
Respuesta humna: antes de llegar a las 2 horas la veriamos encendida debido a la velocidad de "fotogramas" q es capaz de capturar nuestros ojos

#19 — Nolek

Nunca llegaras a ese punto d las 2 oras porque la suma d los terminos: 1+1/2+1/4+1/8...
es una serie cuya suma es menor que dos

#20 — Gato de Schrödinger

Estará encendida y apagada a la vez. En serio, sé de lo que hablo.

#21 — Rancor

Para mí, no tiene sentido la pregunta. Se nos está pidiendo decir cuál es el último estado de una sucesión infinita de estados. Sería como preguntarnos cuál es el último dígito de pi.

Esto suponiendo una escala de tiempos totalmente continua.

Lo único que me está diciendo la serie 1 + 1/2 + 1/4 ... es que el proceso terminará a las 2 horas, siempre y cuando realice un número infinito de pasos en esos momentos. Y si realizo ese número infinito, no tiene sentido preguntarme cuál será el último estado. Simplemente no lo hay.

#22 — alvaro p

la pregunta es: ¿que se jode antes: el interruptor o la bombilla?... porque con tanto meneo seguro que no llega funcionando al final. Mi hijo de 2 años ha intentado varias veces un experimento similar, pero en todos los casos mi paciencia se terminó antes de las 2 horas.

#23 — Xosema

Pues la verdad, suponiendo que fuese algo físicamente factible, sin los retardos arriba mencionados y sin una escala mínima de tiempo aplicable (o con ella, que tanto me da), es evidente que el momento en el que se cumplan esas dos horas será múltiplo directo de cualquiera que sea la unidad de tiempo (lo dicho, medible o no, haya un mínimo o no) en el que estuviésemos por última vez justo antes de ese momento de las dos horas.

Suponiendo pues que el tiempo es un continuo, y no algo discreto, en ese justo momento no estará ni encendida ni apagada, sino pasando de un estado a otro. Lo que ya no tengo tan seguro es de cuál a cuál, aunque creo que estaría pasando de encendida a apagada.

#24 — kikito

Depende del tipo de bombilla.

Si la bombilla es incandescente: Los hilos incandescentes de las bombillas tardan casi un segundo en enfriarse. Cuando el intervalo "encencer-apagar" se haga menor que un segundo (aprox. en el minuto 119), la bombilla, a efectos prácticos, "parecerá estar encendida" todo el rato.

Si la bombilla es de gas (de neón o "ecológica") entonces pasa lo contrario: estas bombillas tienen un tiempo de "calentamiento" antes de encenderse, de aproximadamente 1 segundo. Así que a partir del minuto 119 aproximadamente, la bombilla a efectos prácticos estará apagada.

#25 — energia alterna

estara encendida

#26 — Tohrres

Como ya dijeron: En la práctica estaría apagado porque llega el punto en el que al encenderlo y luego apagarlo no llegaría el tiempo suficiente para soltar el cuanto de luz, suponiendo hipotéticamente que exista mano humana que logre cambiar de estado el interruptor tan rápido.

#27 — Uvesafar

El problema creo que es el siguiente: al ser una suma infinita el intervalo del experimento es [0,2) y, por tanto, el momento t=2h no está incluido en él. Decimos erróneamente que el experimento dura 2 horas, pero realmente el tiempo del experimento TIENDE a 2.

No tiene significado preguntarnos por el estado de la bombilla en t=2h porque ese instante está fuera del experimento o, dicho de otra manera, ese punto está fuera de la gráfica.

#28 — Tebi

2 horas está fuera del dominio de la función, ergo, no existe respuesta a la pregunta.

#29 — Uvesafar

Eso suponiendo la idealidad: puntualidad infinita de la persona que lo lleve a cabo (todos los tránsitos en su momento), encendido y apagado instantáneos, tiempo continuo y divisible en infinitas mitades...

#30 — Hey

Malditos infinitesimales! XD

Es una variante de las Paradojas de Zenón actualizada a los tiempos que corren.-

#31 — Luis

Acertijo equivalente:

Tenemos dos trenes que se acercan en dirección opuesta por la misma vía. Una supermosca vuela desde un tren al otro, cuando lo toca cambia de sentido en tiempo 0 y se dirige al otro tren, y así sucesivamente.

Cuando los dos trenes choquen, ¿hacia qué lado estará mirando la supermosca?

#14, La paradoja de las canicas en la bolsa, no la conozco o no caigo...

#32 — Iluminado

Teóricamente el estado a las 2 horas no se puede saber ya que el límite por la izquierda de la función "estado de la bombilla" en t=2h es indeterminado y la función no está definida para t>=2h.

En la práctica el experimento no se puede llevar a cabo porque se debe cambiar el estado del interruptor infinitas veces en dos horas y eso requiere de una cantidad de energía infinita en un tiempo finito.

#33 — plios

Es una paradoja!!!
No tiene solución, así de fácil. Por más cálculos que se hagan nunca llegaremos a la solución porque tiende a infinito.

#34 — Scipion

si fuera la lampara de schrodinger al final de las dos horas estaría encendida y apagada a la vez

xD

#35 — Txemary

oye gente que yo acabo de hacerlo y me sale apagado. ¿Cómo que no es físicamente posible hacer infinitos cambios de estado a un interruptor? QUE YO SOY DE BILBO JODER!

#36 — maetschl

la electricidad no alcanza a llegar para encender, se queda apagada :)

#37 — José Manuel Díez

Sólo un detalle, 1,999999 (periódico) = 2.


No es que sea una aproximación, es que tienen EXACTAMENTE el mismo valor. Se puede demostrar muy fácilmente con un poco de álgebra:

x = 0,99999
10x = 9,99999

10x - x = 9x = 9

Un saludo!

#38 — jose

fisicamente seria imposible realizar el experimento con lo que nos vamos al campo de la teoria. aqui yo opino que no llegariamos nunca a las dos horas pues siempre podemos dividir el tiempo por la mitad haciendo infinitos cambios de encendido/apagado ya que la funcion tiende a 2, con lo que pienso que estariamos perdidos en el tiemmpo, atrapados, pues el reloj daria las dos horas y nosotros seguiriamos infinitamente dandole al interruptor sin llegar a que se cumpliesen pues la sucesion tiende a dos pero no llega.

#39 — Txemary

El attosegundo es la menor medida de tiempo que se ha registrado (tiene algo que ver con como salta un electrón de su órbita cuando lo electrocutan) por lo que no se puede realizar un "encendido y un apagado" (ni nada) en menos de ese tiempo (1E-18s), por lo que se puede dar un número finito de estados al experimento suponiendo que el interruptor no sea manual, si no electrónico y esté programado según el enunciado... pero para calcularlo necesitaría programarlo porque no pretendo estar dividiendo entre 2 hasta llegar a un número menos o igual a ese...
Por otro lado... en la respuesta 13 ya se ha dicho todo, es la que para mi más se acerca a una solución.

#40 — Carlos S

Vamos a ver, es un experimento teórico, no nos vayamos por las ramas (físicas).
Yo lo conocí hace muchos años en "Escher, Godel y Bach, un eterno y grácil bucle".
Si os fijáis, que esté encendida o apagada es equivalente a que el infinito sea par o impar, un absurdo. Como dice #30 Hey, es una variante de las paradojas de Zenón

#41 — alex

es un problema de limites, se sabe por la grafica que forma una asintota que nunca toca el dos, pero la cuestion es llevarlo al mundo real, tambien, tal vez los intervalos de tiempo sean tan cortos que no pueda viajar la luz.

espero no haber develado mucho

#42 — Javikoyote

Está claro que estaría encendida. Llegado al punto en que el tiempo entre encendida y apagada fuera inapreciable para el ojo. Al filamento no le daría tiempo a enfriarse, antes que se encendiera otra vez...

#43 — Txemary

o que no le diera tiempo a calentarse...

#44 — Antonio

No está definido. La pregunta tiene tanto sentido como preguntar el estado a las 3 horas. Es como decir que conduzco de Barcelona Madrid a 100km/h y preguntar a qué velocidad voy cuando llego, que no está definida porque defino el trayecto y no el destino.

#45 — JOSE

#37, te corrijo. Si x= 0,99999 entonces 10x=9,9999(quitandole un 9 a tu calculo) asique 10x - x = 9x= 8,99991 ; sigue sin ser 9 ya que con cualquier numero con decimales infinitos esa regla no la puedes utilizar. PD:siento los cambios de parrafo y faltas de ortografia pero estoy escribiendo desde mi movil.

#46 — Carlos

Despreciando la Física del asunto (es decir, calentamiento, rozamientos, etc) y suponiendo una lámpara "ideal" e "instantánea", lo que ocurre es que según avanza el tiempo, la lámpara se apaga y enciende más veces por unidad de tiempo. Así, según nos acercamos al segundo 2, la lámpara se va apagando y encendiendo más y más veces por dt, hasta llegar a infinito.

El estado para t=2 no está definido: si somos capaces de hacer eso con la lámpara, nunca llegaremos a t=2, o a t=3, por ejemplo.

Es como preguntar: si en t=0 tenemos el BigBang, y el incio del tiempo, qué teníamos en t=-100?

O como preguntar cuánto me queda en la cuenta corriente..... :(

#47 — Alonso

Sospecho que la respuesta es un poco más probabilística.

No tiene sentido continuar con el proceso cuando el tiempo que debe permanecer encendida -o apagada- es lo que tarda el filamento en ponerse incasdescente -o dejar de estarlo-. Creo que tal cosa se ha dicho ya.

Esto, tirando por lo bajo, es del orden de ms. Digo orden porque dependerá de:
1.- La bombilla. Que no hay dos iguales a pesar de las tolerancias en la fabricación.
2.- La tensión de red.
3.- Temperatura del cuarto durante el proceso.
4.- Longitud del circuito eléctrico.

Y muchas más cosas que no se me ocurren. :)

Si elegimos una muestra lo "suficientemente grande" de bombillas del mismo tipo, podremos estimar un "estado medio" de encendido u apagado tras las dos horas.

Que variará según el tipo de bombilla usada.

Un saludo,
Alonso.

#48 — Alvy

Y teniendo en cuenta que la suma de 1 -1 +1 -1 +1 -1… es 0,5 tal vez se pudiera decir que la bombilla al llegar a ese punto está «medio apagada, medio encendida».

#49 — Breisner

Estimados esto trata de las Supertareas es imposible tener un estado concreto en ese escenario.
Asi como es imposible cortar un trozo de madera infinitas veces porque llegarias a lo indivisible que seria los atomos y luego las particulas subatomicas luego los quarks.
lo mismo con el tiempo no puede existir un tiempo menor al tiempo de planck
Esta supuesta paradoja se parece a la de aquiles y la liebre si eso fuera cierto el movimiento no existiria.

#50 — Daniiel

Nunca podriamos saber que pasa en ese tiempo, xq en realidad, la teoria dice que antes de las dos horas siempre va a haber un intervalo de tiempo en el cual se pueda prender o apagar la la lampara y luego apagarla o prenderla nuevamente (y asi indefinidamente). Solo que en los ultimos instantes tendriamos que ser tan rapidos que no lograriamos nuestro cometido y estariamos incumpliendo con el enunciado (ya que el numero de beses que deberiamos presionar el interruptor deberia ser infinito)...

Esta es una de las formas en que las matematicas no pueden resolver problema que nunca se daria en la vida real, pero nos muestra que interesante que puede ser discutir sobre ello