Por @Alvy — 2 de Junio de 2009

Genial y sencillo acertijo matemático llamado Tres preguntas iguales, tres respuestas diferentes, procedente de Números:

1. ¿Qué tres números consecutivos dan el mismo resultado cuando se suman y cuando se multiplican?

Más difícil:

2. ¿Qué otros tres números consecutivos dan el mismo resultado cuando se suman y cuando se multiplican?

y más difícil todavía:

3. ¿Qué otros tres números consecutivos dan el mismo resultado cuando se suman y cuando se multiplican?

{Importante: puedes dejar pistas e ideas al respecto en los comentarios, pero recuerda esperar 24 horas antes de hablar abiertamente de la solución, para que los demás puedan disfrutar buscándola. Quien no quiera recibir ninguna ayuda ni pista para dar con la respuesta tal vez prefiera no leer los comentarios.}

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52 comentarios

#1 — trompao

Que sean consecutivos implica que sean enteros, ¿no? ¿Y naturales? Si no tienen que ser naturales, creo que lo tengo.

#2 — Miquel

Trompao ha dado una pista muy buena... está claro que no podemos quedarnos sólo con los naturales...

#3 — Joel

Además todas las respuestas son consecutivas. Aunque con alguno repetido.

#4 — José Miguel

Es muy fácil...

¿Cuando puedo?

#5 — garincis

En uno de los resultados veo la primera perfección, en el otro lo contrario y en tercero la anulación de ambas.

#6 — Franck

Como la vida misma, todo tiene su lado positivo y su lado negativo.... y todo se resuelve.

#7 — Esteban

Lo cierto es que este juego es bastante mas facil que otros que habeis puesto.

#8Sergio

Por primera vez consigo resolver el acertijo. ¡Era fácil!

#9 — samuel

Por la cuenta de la vieja tiene su gracia, pero tal y como está planteado el problema, utilizando un método "analítico" resulta inmediato encontrar cuáles son las tres soluciones y que además son las únicas soluciones existentes, no ya enteras, sino incluso en el conjunto de los números reales.

#10alex

Qué tiempos cuando eramos pequeños, os acordais?


"Eran uno, dos y tres, los famosos mosqueteros, el valiente D'artagnan, siempre va primeeeero... :D"

#11puma

Uf, bueno fue entrenar la factorización y la división polinomial luego de tantos años... ¡gracias!

#12 — Adrián

La verdad es que este era fácil, eh? jaja

A #9: creo que eso que dices no está bien. No puede ser del conjunto de los reales porque no tiene sentido ahí el enunciado del problema, es decir, que los números sean consecutivos.

#13 — Marco Gizmo

El origen el es punto de partida de las 3 respuestas

#14YouWoTMA

Ala, ya se las tres :P

Por que se pueden usar números enteros no?

#15 — Bitelchús

Las dos primeras me las sé, y el tercero me intriga ... tal y como esta planteado podria resolverlo con la 1º respuesta tambien, pero si han de ser diferentes la cosa se jode

#16Marcelo

¡Muuuuuy facil!


Lo divertido es lo cerca que estan esos conjuntos XD


En un minuto lo hice. Record para este tipo de acertijos :)

Gracias!

#17 — samuel

#11: sí, escribí demasiado rápido, quería decir tomando "consecutivos" como diferenciados en una unidad, sólo hay 3 ternas que resuelvan el problema en el conjunto de los reales. Por supuesto que entre los reales, dado que no es un conjunto bien ordenado, no se puede hablar de consecutivo (¿qué número va después de pi/2? :-) ).

#18Marcelo

Señor #9: Tu comentario es incoherente, porque en los racionales no hay dos consecutivos, entonces no hay razon para incluir en el problema a los Reales.

Míster #14: Obviamente se tienen que usar números enteros, si no, por la misma razon que le di a #9, no funcionaría.

#11: ¿factorización y la división polinomial? Un chico de 13 años puede hacer este problema (te lo digo por experiencia propia XD) sin usar numeros primos ni monomios.

#13: Linda pista, aunque un poco ambigua


He dicho! XD

#19Marcelo

#9, #17: Ah! Ya te habian preguntado, ya lo respondiste! Mientras yo escribia el comentario. No me tomes por redundante XD

#20 — daniel

bien, ya he acotado las soluciónes y se que existen y son unicas...

#21 — Héctor

La verdad, es que os estáis matando un huevo, en verdad este problema lo haces simplemente por reducción al absurdo. En cuanto te das cuenta de que a partir de cierto punto no hay ninguna solución posible, ya ves que sólo quedan los enteros y la cosa cae por su peso.

#21 ¡Qué listo eres!

#22 — Elelawliet

Buf, el 1º y el 2º son facilísimos pero el tercero...

#23 — Juan

3 son las soluciones, algo de ayuda del wolframalpha.... me declaro culpable

#24 — Enrique

Creo que los tengo...

Y tengo 14 años, hoygan. Tampoco es pa tanto...

Obviamente usando los enteros, sí, creo que se llamaban así...

#25 — Enrique

Me se olvidaba:

Me imagino que los resultados de sumar o multiplicar de cada terna no deben ser iguales entre sí, no?

#26 — atreyer

Este es de los facilitos. por lo menos he podido dar con la solucion antes de las 24 horas-

Por fin.......

Solo falta la calabaza ruperta (para nostalgicos)

#27 — rulifu

Creo que la pista #1 hace demasiado evidente el ejercicio,.

#28 — J.R.!

Qué grande es WolframAlpha!!!

:-Þ

#29 — otro

A medida que iba leyendo los enunciados ya tenía las respuestas. El problema pide las tres soluciones que hay, al tratarse esencialmente de una ecuación de tercer grado con todas sus soluciones reales (y enteras). Con un poquitín de álgebra de 2º de ESO se puede demostrar fácilmente.

#30 — 6cR

solve(n+n+1+n+2 = n*(n+1)*(n+2), n);


xD

#31 — gali

facil y para toda la familia

#32Wiso

el 1 y el 2 son faciles pero el 3 me llevó más de lo que esperaba...

#33 — kkab

Lo saqué pensando, pero leyendo los comentarios sentí curiosidad con wolfram|Alpha

#34Pablo

Pues si no me fallan los cálculos, hay 4 soluciones (ternas de números que cumplen esa propiedad)

#35dogduck

x+y+z=xyz

z=y+1

y=x+1

luego

z=x+2

x+(x+1)+(x+2)=x(x+1)(x+2)

3(x+1)=x(x+1)(x+2)

3=x(x+2)

x^2+2x-3=0

x=-3, y=-2, z=-1

x= 1, y=2, z=3

#36 — Purret

ups, estaba convencido de la solución y me di cuenta de que no era lo que pedía, entonces seguí pensando, y creo que ya lo tengo! pero reconozco que si no fuera por algunos comentarios, me habria llevado bastante más tiempo.

#37 — Purret

#34 ¿? la verdad no me cuadra que haya un número par de soluciones... pero no lo se..

#38 — Adrián

A #34 y #36: un número par si sería posible, pero ateniendo a un poco de álgebra básica (de hecho, al llamado teorema fundamental), y según la ecuación que alguien más puso antes, veo un poco difícil la existencia de 4 soluciones, la verdad.

#39 — Athenea

El #1 es la clave

;) Gracias #1!

#40 — samuel

#35: no te olvides de que al dividir ambos lados por el mismo término, puedes estar eliminando soluciones (o dividiendo por cero, que suena peor).

En concreto, de
3(x+1)=x(x+1)(x+2)
se deriva que
a) o bien x+1=0 => ....
b) o bien 3=x*x(+2) => ...

Tú te has quedado sólo con la opción b, que da las dos soluciones que comentas, pero hay una tercera solución que viene por la a.

#41 — orayo

La tercera solucion la has perdido al simplificar dividiendo por (x+1). ¿Cual es la condicion para poder hacer esa division en ambos miembros? Ahi tendrias la tercera solucion al problema.

PD: que mania con dar las soluciones antes de tiempo.
salu2!

#42 — Gustavo

#35, creo que no hacia falta hacer tantos cálculos, la respuesta es mas que fácil de averiguar...

El tercero es el más fácil de todos, después de pensarlo un poquito.

#43 — Milk

Bueno pues ya han pasado 24 horas, estas son mis respuestas:

1 2 3
-1 0 1
-3 -2 -1

#44 — Felipe

#43 Te me has adelantado bribón! xD

#45 — Antonio

Gracias a San Excel, la solución la he obtenido en 5 minutos.
También vale asi, ¿no?

Saludos
Antonio

#46Frankgel

Para que WolframAlpha de una respuesta mas directa, podemos usar un sistema de ecuaciones:

X + Y + Z = X * Y * Z

Y = X + 1

Z = Y + 1

#47 — patanpatan

No les parece curioso que hablemos de "la primera" o "la segunda" o "la tercera" solución?
No tienen un orden, es la misma pregunta 3 veces.
Pero es muy curioso que a la mayoría se nos ocurrió (me incluyo) la variante 1 2 3, luego -3 -2 -1, y por último -1 0 1

#48 — otro

¿La mayoría? A mí se me ocurrieron en este otro orden:

1) 1 2 3

2) -1 0 1

3) -3 -2 -1

De todas formas, es muy fácil sacarlas todas juntas con la ecuación siguiente:

(x-1)x(x+1)=x-1+x+x+1

que sale

x³-4x=0

y factorizando sale

(x-2)x(x+2)=0

con lo que

x vale 2, 0 ó -2

y x+1 y x-1 se calculan solos.

#49nailuj..,

X 0 -X

siempre da xD

#50 — garincis

Por si alguien no entiende la pista de mente retorcida en #5, se llama número perfecto a aquel que es igual a la suma de sus divisores excluido el mismo
28 = 1+2+4+7+14
El primero es el 6. Son poco abundantes y no se conocen perfectos impares.
Más info en la wikipedia y mathworld.

#51Javier

Sencillo, espero que ya hayan pasado 24 horas y se pueda poner la solución:

http://www19.wolframalpha.com/input/?i=x(x%2B1)(x%2B2)+%3D%3D+x+%2B+x%2B1+%2Bx+%2B2

#52 — samuel

#49: (-x, 0, x) no da siempre, porque no cumplen la condición de "ser consecutivos" salvo en el caso particular de que x=1, que corresponde a la solución (-1, 0, 1)