Por @Alvy — 13 de Noviembre de 2006

ACid me recordó por correo que la semana pasada tampoco nadie acertó el bote de 150 millones de euros que había en el sorteo de Euromillones. Eso quiere decir que esta semana el bote acumulado para el primer premio podría entregar a un único acertante unos 180 millones de euros. Teniendo en cuenta que la probabilidad de acertar el sorteo de Euromillones es de una entre 76.275.360, y que el precio de la apuesta es de 2 euros, quiere decir que en este sorteo concreto, estás apostando 2 euros para intentar ganar unos 90 millones por cada euro, con una probabilidad de 1 entre 76 (hay que acertar cinco números del 1 al 50, más dos estrellas, del 1 al 9). Como 90 es mayor que 76 resulta que esta semana es uno de esos raros casos en que la «esperanza matemática» del juego es positiva. Matemáticamente, es mejor jugar que no jugar (justo al contrario de lo que dice la Teoría de Juegos para otras célebres ocasiones). El clásico dicho de «la lotería es un impuesto voluntario para los que no saben matemáticas» cobra un nuevo significado: esta vez hay cierta ventaja para los que saben matemáticas.

Hay una forma fácil de entender por qué sucede este efecto debido al gran bote. Imagina que pudieras convencer a todas las personas del mundo para que esta semana no jugaran, y tu invirtieras 152 millones de euros en apostar a todas y cada una de las 76 millones de combinaciones posibles de los números, ganarías con certeza el primer premio (también todos los demás) y te harías con los 180 millones del bote más algunos extras (el 50% de lo apostado, unos 76 millones más)… unos 256 millones en total. ¡Pingues beneficios de 104 millones de euros, libres de impuestos! Por desgracia aunque tengas todos esos millones ahorrados, esperando la ocasión, esa idea de «comprar el bote» es un poco arriesgada: podría suceder que alguien más que juegue también acierte la combinación ganadora y tengáis que repartir el gran premio: adiós beneficios. Además de eso, es impracticable: a ver cómo convences a tanta y tanta gente para que no juegue… o a alguien que tenga también todo ese dinero para que no intente lo mismo. (Para colmo, cuanta más gente juegue, más probable es que acierten el gran premio más personas y tengan que repartirlo. Y, aunque con más dinero apostado también el premio aumenta, los organizadores se quedan con la mitad a modo de «comisión de la banca», de modo que pronto esa ventaja se puede diluir.)

Debido al hecho de que puede haber varios ganadores, y que hasta el último día no se conoce la recaudación exacta (y por tanto qué porcentaje se va a entregar en premios, que es la mitad en este tipo de sorteos), que la ONLAE siempre lo anuncia con la fórmula «Un único acertante podría ganar aproximadamente 180 millones de euros», algo vago pero aproximado y con gancho a la vez.

La semana pasada los jugadores de todos los países europeos que participan se gastaron unos 200 millones de euros en hacer más de 100 millones de apuestas. Esta semana probablemente se recauden unos 250 millones de euros que equivalen a 125 millones de apuestas. El récord de premios de sorteos en España está en 45 millones de euros, que ganó alguien de la localidad de Zas (A Coruña) en noviembre de 2005. A nivel europeo el mayor premio fueron 115 millones de euros, que se llevó un apostante de Irlanda en julio de 2005.

Actualización: Otra forma fácil de entender por qué la situación actual es especial y favorable para los jugadores es imaginar el juego como una tirada de un dado que tiene 76 caras. Apuestas un euro a un número. Si no sale tu número, pierdes el euro. Pero si sale el que has elegido, ganas. Si te pagaran, digamos 38 euros por acertar, el juego sería una ruina para el jugador (eso es lo que suele pasar cada semana: que solo la mitad se reparte en premios) y no querrías jugar. Si pagaran 76 euros (el inverso de la probabilidad de acertar, 1/76) sería un juego justo. En cambio, si como ahora sucede, te pagan 90 euros… es claramente mejor jugar. La «esperanza matemática» es positiva, y el juego es favorable para el jugador, gracias al bote acumulado. Pudiendo jugar una y otra vez no tendrías problema en salir ganando dinero con total seguridad. (Nota: la esperanza matemática es formalmente algo un poco diferente del uso que le he dado yo aquí informalmente para explicar que algo está «a favor del jugador» o tiene «expectativa positiva» en vez de «a favor de la banca», que suele ser lo habitual).

Actualización (14 de noviembre): A raíz de esta anotación me llamaron del programa Voces de Galicia para hablar hoy martes en la radio sobre esta anomalía en la Loto. Será entre 12.00 y 12.15 y se puede escuchar por Internet. A ver si puedo grabarlo y luego lo dejo por aquí.

Actualización: No dejo de descubrir cosillas curiosas sobre esto. Resulta que esta semana es la última que va a darse este super mega bote. Mirando en la web de la ONLAE encontré que en enero de 2006 modificaron las reglas del juego todas las loterías europeas, de modo que

En base a la experiencia adquirida desde el comienzo de la comercialización del juego comú europeo denominado Euromillones se ha observado que, cuando un ciclo de sorteos consecutivos sin acertantes de primera categoría se prolonga demasiado, se pueden alcanzar importes más elevados de lo que socialmente puede considerarse razonable. Para poner límite al importe que el Bote puede alcanzar, las loterías que participan en Euromillones han acordado que éste no pueda seguir creciendo más allá de doce semanas (…) si un determinado ciclo de sorteos sin acertantes se prolonga hasta el sorteo número doce, se asignará a la categoría segunda de ese sorteo todo el importe acumulado en el fondo de premios para la primera categoría.
Esta semana es casualmente la semana número 12 desde que empezó a crecer el bote hasta alcanzar el valor actual. Esto quiere decir que si no acierta nadie este viernes los 5+2, se repartiría el super bote entre los que acierten 5+1 (la probabilidad de acertar 5+1 es de una entre entre 5,4 millones y con 125 millones de apuestas que se prevén habrá unos 20 ó 25 ganadores de 5+1, que en caso de que no haya nadie de 5+2 podrían repartirse unos 10 millones de euros cada uno, en vez de las migajas habituales).

Me gustó especialmente lo de que lo definan como que pueden existir «premios de importes más elevados de lo que socialmente puede considerarse razonable». Ciertamente 180 millones libres de impuestos podría ser algo… socialmente inaceptable.

Audio disponible: Ya está la grabación lista, Bote en Euromillones - Voces de Galicia [MP3, 7 min., 2,4 MB] donde también entrevistan al el Sr. Modesto que es el dueño de la administración de lotería que repartió el año pasado el premio de 45 millones a alguien misterioso que vive en la localidad de Zas, y «al que conocen pero no saben quién es». El Sr. Modesto dijo que el que ganó ese premio lo hizo con una apuesta automática al azar de seis euros (tres apuestas de dos euros cada una) hecha por la máquina de su despacho. También me ha confirmado lo que siempre imaginé y en lo que se basa mi sistema para la loto, que es casi de sentido común: que mucha gente en vez de elegir los números al azar elige las fechas de su cumpleaños, bodas, etc. De modo que si vas a jugar y quieres repartir con el menor número de gente posible, tal vez lo más inteligente para optimizar el premio (dado que todos los números tienen la misma probabilida dde salir) sea elegir números a partir del 32, porque del 1 al 31 corresponden a todo tipo de fechas. Cuanta menos gente entre los acertantes, entre menos habrá que repartir y en el caso de 180 millones cada parte puede ser una fortuna. [Se me cortaron los últimos segundos de despedida al grabar audio, pero no se perdió nada importante.]

Actualización (17 de noviembre de 2006, 23.45) – Ya se ha celebrado el sorteo. Los números ganadores son 12, 22, 32, 33, 36 con las estrellas 2 y 6. No se conocen los ganadores todavía. El escrutino empieza ahora y lo publican en la web de la ONLAE hacia las 00:30, así que me animo a hacer una predicción, a ver si me sale (ya que estamos en un relajado viernes por la noche). Como varios números son mayores de 31, y seis de los siete son pares, la que ha salido es una combinación que probablemente poca gente ha jugado (son números «no-favoritos» como me gusta llamarlos). Si se han recaudado unos 250 millones de euros eso son unos 125 millones de apuestas. Como la probabilidad de acertar es 1 entre 76 millones, lo normal (si la gente jugara los números muy al azar, digamos) sería que se hubieran cubierto todas las combinaciones, muchas repetidas incluso, y que hubiera unos 1,6 ganadores de 5+2 (en realidad no puede haber decimales, así que más bien habría dos, que uno, pero difícilmente tres o cuatro o ninguno). Pero como la gente no juega exactamente al azar y los números que han salido son más bien de los no-favoritos de mi lista, pronostico que nadie se va llevar el premio de 5+2, aunque eso sería lo más probable según los libros de texto. Por otro lado, con una probabilidad entre 5,4 millones de acertar 5+1, lo normal sería esperar unos 23 acertantes de esa segunda categoría. Pero pronostico que debido a que los números son «dificilillos» saldrán menos de la mitad (entre 8 y 12, pongamos 10) que se van a repartir los 180 millones, tocando a 18 millones de euros cada uno más o menos. Si todo esto sucede, esa gente, jugando a 2 euros por apuesta, con probabilidad 1 contra 5,4 millones, resulta que en vez de un premio de un juego «justo» que serían unos 11 millones, se van a llevar más bien 18 millones, porque jugaban con expectativa positiva. (Y bastante más que los 300 ó 600.000 euros que se suelen llevar los de 5+1 como máximo.)

Actualización (17 de noviembre de 2006, 00.15) – Acaba de salir el escrutinio. No ha habido acertantes de 5+2. El bote pasa a la siguiente categoría, donde 20 acertantes de 5+1 (tres de ellos en España) van a cobrar 9.652.339 euros cada uno. La recaudación final han sido casi 270 millones de euros. El análisis final es que con 135 millones de apuestas deberían haber salido 1,8 acertantes de 5+2 (es decir: casi seguro dos, probablemente uno) pero no salió ninguno. Y deberían haber salido unos 25 acertantes de 5+1… Pero salieron sólo 20. Esos se llevaron 9,6 millones de euros cada uno. De modo que acerté con lo primero y en lo segundo la idea era correcta, aunque fui un poco optimista sobre lo difícil que eran los números y salieron algunos más acertantes de lo que calculé a ojo – por tanto el reparto ha sido ligeramente menor. Esos acertantes de 5+1 normalmente habrían cobrado unos 300.000 ó 400.000 euros cada uno, como en semanas anteriores. Debido al efecto bote y a que los números eran de los no-favoritos de la gente se quedaron con el dinero de 5+2 y son menos a repartir: se han llevado unas 25 veces más que en otros sorteos, y con los datos sobre la mesa, prácticamente jugaban un juego justo (tendrían que haberles tocado 10,8 millones para que así fuera, pero prácticamente era un juego justo).

Más sobre el resultado en Nadie hace pleno en el sorteo de los Euromillones (El Periódico de Aragón), El Euromillón se queda sin acertante de primera categoría (ABC).

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