Loto, un Sistema

Esta anotación, ensayo, trabajo, artículo o análisis (nunca sé bien cómo llamarlo) se publicó originalmente en enero de 2002, si bien existió una versión previa hacia 1999 y los datos del estudio son realmente de mediados de los 90, aunque han sido actualizados varias veces. Última actualización: julio de 2017 – ver al final del documento el histórico de actualizaciones.

En este análisis describo algunas peculiaridades matemáticas de la Lotería Primitiva en España, más conocida como Loto, que permiten a los jugadores participar en el juego con cierta ventaja, empleando un Sistema. A falta de un nombre mejor, en su día lo llamé simplemente así: «Loto, un Sistema».

Este Sistema se basa en el «efecto bote» y en el análisis histórico de los números a los que la gente juega con mayor o menor frecuencia, considerando que pueden dividirse en dos tipos: los «números favoritos» y los «números no-favoritos». Según este Sistema, estos dos factores tienen una influencia directa y comprobable sobre los premios que se reparten en cada sorteo. Por tanto cualquier jugador que analice esos datos puede aprovecharlos en su favor.

En este análisis también describo algunas cuestiones sobre probabilidad y estadística fundamentales en el juego de la Loto. También comento algunas curiosidades sobre cierta «posible falta de aleatoriedad» en este tipo de sorteos (aunque se dan sólo en raras ocasiones) debido a razones puramente físicas. También analizo la composición de las apuestas y el efecto de los propios jugadores en los resultados. El efecto de los otros jugadores en la Loto es algo que otros sistemas normalmente ignoran, pero aquí resulta fundamental - y además es muy fácil de entender por qué. Durante el desarrollo de todas estas ideas comento en ocasiones la validez de otros sistemas comúnmente empleados (en mi opinión: algunos no funcionan, otros sí funcionan - a veces esto es demostrable, a veces no). Finalmente, se incluyen unas cuantas referencias y enlaces para que quien esté interesado en investigar más sobre este Sistema y sobre la Loto en general pueda hacerlo.

Tengo que dejar claro que este trabajo está escrito por un mero aficionado al mundo del azar y la matemática. No pretende ser un documento formal ni con rigor científico, ni servir como texto de clase. De todos modos, creo que está escrito ofreciendo suficiente información como para que quien esté interesado pueda investigar todos los datos y afirmaciones por sus propios medios. En general he empleado el lenguaje corriente para facilitar su lectura, así como muchos ejemplos que pretenden ayudar a entender las ideas y conceptos. También creo que casi todo lo que se dice es de sentido común (aunque esto a veces no sea suficientemente riguroso), pero creo que también aporto información suficiente como para sustentar todo lo que afirmo en cada apartado.

A la gente que inventa y escribe sobre este tipo de «sistemas para ganar en los juegos de azar» como la Lotería o la Ruleta o se les denomina, no sin cierto tono peyorativo, sistemistas.

Un sistemista es a un matemático como un astrólogo es a un astrónomo: una persona que generalmente utiliza jerga pseudocientífica, afirmaciones indemostrables, intuiciones erróneas y demostraciones incompletas, falsas o simplemente equivocadas. Hay muchas subcategorías entre los sistemistas, desde los más alocados que afirman que el azar está dirigido por los astros a los más cercanos a la matemática y la ciencia (o, simplemente, al sentido común). Incluso hay sistemistas que ganan dinero haciendo creer a los demás que sus sistemas funcionan (aunque en realidad no funcionen), escribiendo libros, revistas o creando «peñas» de jugadores. Algunos no saben siquiera que sus sistemas no funcionan.

Pero algunos sistemistas tienen sistemas válidos.

Hay sistemistas millonarios que ganaron todo su dinero realmente superando al azar, sin romper las reglas del juego. Simplemente, desarrollaron y pusieron en práctica sus sistemas. Hay muchos casos bien documentados en juegos de casino como el Blackjack, como el clásico de Edward Thorp Beat the Dealer: A Winning Strategy for the Game of Twenty-One o más recientemente hackers del MIT, e incluso en otros juegos aparentemente tan «aleatorios» como la clásica ruleta, donde actuaron el grupo de los Pelayos o los míticos Eudaemons.

Algunos sistemas funcionan.

Introducción

La Lotería Primitiva en España («Loto») y sus más conocidas variantes (Bono Loto, El Gordo de la Primitiva y los Euromillones) son una versión de la «Loto 6/49» o «Lotto» que existe en muchos otros países, con diferentes nombres.

• En este ensayo se utiliza el término Loto para referirse al juego de Lotería Primitiva tradicional (6/49).

En España los sorteos de la Loto comenzaron en Octubre de 1985.

La SELAE [1] (Sociedad Estatal de Loterías y Apuestas del Estado; antiguamente ONLAE - Organización Nacional de Loterías y Apuestas del Estado) es la entidad oficial que gestiona la Loto y otros juegos en España, como la Quiniela (1X2).

La cantidad destinada a premios en la Loto es el 55 por ciento de la recaudación. Desde 1985 este porcentaje ha variado, según la época y los tipos de sorteos.

En cada sorteo de la Loto se extraen 6 bolas de 49 números posibles, además de otra bola con un número complementario y una distinta de otro bombo (del 0 al 9) para determinar el reintegro.

Hay un primer premio «gordo» para los acertantes de los seis números de la combinación ganadora y otros premios menores: cinco, cinco y el complementario, cuatro, tres y reintegro.

El precio de las apuestas varía según el tipo de juego, siendo lo normal 1 euro por apuesta de 6 números.

• En todos los ejemplos de este Sistema se considera una apuesta de 1 euro para simplificar los cálculos (aunque anteriormente cada apuesta costaba 0,90 euros, o incluso menos: en 1985, por ejemplo, el precio por apuesta era de 25 pesetas, unos 0,15 euros.

Algo que diferencia a la Loto de otras loterías es que los premios para los acertantes son siempre son proporcionales al dinero jugado por todos los jugadores, la «recaudación», a la que se resta por la comisión que recauda el organismo de Loterías. En otros juegos como la Lotería Nacional o la ONCE, los premios son fijos.

• Existen pequeñas variaciones en las normas y premios según el tipo de juego (Lotería Primitiva, Bonoloto, El Gordo de la Primitiva, Euromillones) debido a que los porcentajes para premios varían de uno a otro, o incluso el número de bolas o números a acertar. Desde la introducción de estos juegos han variado algunas normas importantes, como la del reintegro o el «premio mínimo» para los acertantes de 3, los Jokers y demás. Aunque estos cambios en las normas y premios afectan ligeramente a este Sistema en ciertos juegos (y lo hacen más o menos efectivo, según las normas) la influencia de esos cambios históricos (porcentajes de premios, reintegros, premios fijos, etc.) ha sido siempre tenida en cuenta en los análisis de la Loto tradicional que se explica a continuación.

Análisis previo

En la Loto los números se extraen de un bombo en cada sorteo: los números ganadores son fruto del puro azar.

• Como curiosidad histórica, hay que mencionar que esto a veces no es así cuando se usa un bombo mal mezclado. Se ha descubierto que incluso estos tipos de sorteos a veces no son perfectamente aleatorios. El ejemplo más significativo se dio en el sorteo relativo al Servicio Militar de la promoción de 1970 en Estados Unidos. Se descubrieron importantes anomalías estadísticas que indican que el sistema empleado distaba de ser perfecto: se trataba de una caja con 366 fichas indicando cada día del año, que fueron mezcladas para decidir quiénes saldrían elegidos. Al parecer la mezcla no fue suficiente y quedaron residuos observables del orden en que se insertaron las fichas. Para más información, ver Nonrandom Risk: The 1970 Draft Lottery [6]

El análisis matemático de la Loto se puede limitar, como tal, al cálculo de probabilidades, con eventuales incursiones en la combinatoria y estadística. También se pueden añadir algunos factores de tipo psicología social que pueden ser importantes.

Pero como en todo juego de «puro azar» las reglas matemáticas, probabilísticas, estadísticas, y todas las circunstancias bien conocidas sobre los juegos azar, tales como la falacia del jugador (que los números que han salido pocas veces no tienen mayor probabilidad de salir en el futuro) y similares mantienen todo su rigor y validez («las bolas del bombo no tienen memoria»).

En resumen, los únicos factores analizables en la loto son tres: primero, las normas del juego (reparto y porcentajes de premios); segundo, el análisis matemático del juego en sí (relativo a los posibles resultados, probabilidades de acertar los distintos premios, etc.); y tercer -no menos importante- la actuación de los propios jugadores, dado que sus elecciones tienen influencia en el juego e sí, desde la recaudación total al reparto de premios dependiendo de la combinación ganadora y de cuánta gente la acierte, como se explica más adelante.

Un juego en el que sólo el 55% de la recaudación se destina a premios es, en principio, beneficioso para la ONLAE y perjudicial (matemáticamente) para los jugadores, dado que nunca se reparte entre los ganadores el total de lo que se ha apostado.

La Lotería Nacional o el Cupón de la ONCE son un caso similar e incluso más extremo. Son más de «puro azar» todavía (el jugador no elige voluntariamente los números, sino que se le asignan cuando compra un cupón). En otros aspectos, como el de los premios, estas otras loterías a veces son más o menos beneficiosas que la Loto: la Lotería Nacional destina un mayor porcentaje a premios, según los sorteos, pero la ONCE mucho menos. Otros ejemplos de juegos similares en cuanto a análisis serían muchos juegos de casino (ej. la ruleta) en la que los casinos ganan dinero (aproximadamente un 5 por cierto sobre lo jugado) en base a las apuestas beneficiosas «para la casa» como el cero (0) o doble cero (00), o cualquier juego de apuestas en el que la «banca» cobre una comisión en cada jugada.

Por tanto, cualquier persona racional (matemáticamente hablando) no jugaría a la Loto dado que la relación entre premios y probabilidades de ganar está siempre en su contra.

Pero, como es evidente, la gente juega.

Probablemente juegan porque el simple placer de apostar, soñar y comentar con los amigos es una «utilidad» (en el sentido económico) mayor que lo que el jugador paga (y normalmente pierde) en cada apuesta. Esto no es nada nuevo: sucede igual que en muchos otros juegos de azar y de apuestas, y hay toda una industria (y gobiernos beneficiados directa e indirectamente) basada en este tipo de juegos.

Cálculo de Probabilidades de la Loto

Existen 13.983.816 posibles combinaciones de 6 números sobre 49 números posibles, y las probabilidades de acertar los diversos premios en la Loto son:

• 6 . . . . . 1 entre 13.983.816
• 5+C . . . 1 entre 2.330.636
• 5 . . . . . 1 entre 55.491
• 4 . . . . . 1 entre 1.032 (0,097%)
• 3 . . . . . 1 entre 57 (1,77%)
• R . . . . . 1 entre 10 (10%)

Puede servir de ejercicio al lector calcular exactamente por qué las probabilidades son exactamente estas. Se puede hacer incluso a mano (con o sin calculadora) o bien con una sencilla hoja Excel

Una definición de «esperanza matemática»

Una definición fácil de entender de lo que aquí llamaremos «Esperanza Matemática» ^(*) es la relación entre el premio obtenido y probabilidad de acertar.

• La definición matemática de «Esperanza Matemática» o Valor Esperado (Expected Value en inglés) es bastante más compleja, pero en el desarrollo de este Sistema se limita a la explicación anterior, sin buscar más profundidad ni precisión en esto ni en los términos «juego justo» o «juego limpio», que tienen mejores definiciones en libros de Estadística o Teoría de Juegos. Lo mismo sucede con expresiones coloquiales como «esperanza menor que 1», o «mayor que uno». En este Sistema, un valor para la esperanza matemática de 1 indica «juego justo», un «menor que uno» indica «desfavorable para el jugador» y un «mayor que uno» es «favorable para el jugador». En las definiciones formales el cero suele ser el «juego justo», y los valores negativos o positivos indican «positivo o negativo para el jugador». Si el valor de la esperanza matemática es 1, el juego se considera «justo». Por ejemplo, apostar 1 euro a que una moneda sale cara o cruz, si el premio por acertar son 2 euros, y si se pierde, 0 euros.

Si la esperanza matemática es menor que 1, el juego podría ser considerado «injusto». Un sorteo que pague 500 a 1 pero en el que la probabilidad de acertar sea de 1 entre 1.000, la esperanza matemática es 0,5.

Lógicamente, si la esperanza matemática es mayor que 1, el juego es excelente, todo un «chollo» para el jugador. Un ejemplo sería un juego en el que se paga 10 a 1 por acertar el número que va a salir en un dado, en donde hay una probabilidad de acertar es de 1 entre 6. En este ejemplo el valor de la esperanza matemática es de 1,66 y por tanto en esas condiciones es juego «beneficioso» para el jugador.

En la Loto, la esperanza matemática general o promedio es sencillamente 0,55. Se corresponde a la cantidad que se devuelve en premios: el 55% del total apostado por los jugadores. Ese dinero siempre se devuelve, teniendo en cuenta que con el tiempo los premios no entregados se acumulan en Botes.

Algunas categorías tienen mayor o menor esperanza matemática que otras, como el Reintegro (0,1 = 10%, que paga 1 a 1).

La esperanza matemática es un valor importante que conocer para cualquier tipo de premio, en función de su dificultad, y para cada sorteo concreto.

En la Loto el reparto de premios funciona de modo que la cantidad jugada por todos los jugadores (excepto el 45% que se queda la organización) se suma y reparte en diversas categorías: una parte para los de más aciertos, otra parte para premios menores, reintegros, etc. Esto marca ciertamente diferencias entre la esperanza matemática (premios vs probabilidad) de las diferentes categorías de premios.

• Estos cálculos, que de por sí son sencillos, se ven complicados por algunas reglas relativamente recientes, como el «premio fijo para los acertantes de 3» o «los acertantes de 5 nunca pueden ganar más que los de 6», pero son en cualquier caso calculables con precisión.

Anomalías en los juegos de azar

En la Quiniela, los jugadores pueden aprovechar sus conocimientos de los equipos y su clasificación, los árbitros, campos, etc. En las carreras de caballos sucede algo parecido, y también se pueden aprovechar las diferencias entre lo que pagan las casas de apuestas y las probabilidades reales de cada caballo (incluso las diferencias entre los pagos de una ciudad a otra). El carácter intrínseco de estos juegos les proporciona más interés a ciertos jugadores, que pueden (o creen poder, según qué sistema usen) tener más control al elegir sus favoritos para las apuestas.

Un ejemplo sobre esta teoría del interés de los jugadores por un «control aparente» es el súbito incremento en la recaudación que experimentó la Loto Británica cuando pasó de funcionar por tickets con números preseleccionados al azar a tickets en blanco en los que los jugadores elegían los números [2] (que es como siempre había funcionado la Loto en España - la introducción de la «apuesta aleatoria de máquina» es relativamente reciente).

En otros juegos, como el BlackJack («21») del casino, el conteo de cartas ofrece en algunas modalidades un margen positivo para el jugador (aunque pequeño, aproximadamente del uno por ciento) [3].

Incluso en juegos aparentemente de puro azar como la Ruleta hay quien ha descubierto anomalías aprovechándose de las leyes físicas y de los denominados «bloques de predictibilidad» (que son pequeños) en sistemas caóticos (ej. el grupo de los Eudaemons en los años 70) y ha conseguido resultados positivos frente a una aparente esperanza matemática negativa tan clara como la de la Ruleta, con la ayuda de un pequeño y primitivo microordenador [4]. El Grupo de Los Pelayos se aprovechó de algunos defectos en las ruletas para apostar a los números que más a menudo salían. Simplemente anotaban miles de jugadas pasadas para ver cuál era el sesgo de cada mesa. [6] Resulto que las bolas si tenían memoria - o tal vez las mesas.

Es importante recordar que no pueden calificarse de «anomalías» los errores clásicos de los jugadores, basados en creencias o análisis incorrectos tales como «las veces que lleva sin salir un número aumenta su probabilidad» o «la mano del croupier decide qué número va a salir en la ruleta». Lo mismo se puede decir de sistemas de apuestas basados en combinaciones, reducciones y similares, que normalmente son, o bien errores matemáticos (ej. «falacia del jugador»), o bien aparentes mejoras en las probabilidades que en realidad no son tales (ej. reducciones en la Loto o las Quinielas).

Anomalías en la Loto

Las anomalías básicas en la Loto, tal y como está concebida, se deben básicamente a dos factores: el «efecto bote» y la «elección no-aleatoria de los números por los jugadores». Ambos dan pie a la viabilidad del Sistema que describe este ensayo.

1. El «efecto bote»

Los premios no acertados por nadie en un sorteo se acumulan para posteriores sorteos. La forma exacta de acumularlos y ponerlos en juego la decide la organización cuando lo considera oportuno (de este modo, suele acumular varios «botes» de este tipo para ofrecer y publicitar enormes premios y atraer a más jugadores).

Lógicamente, el Bote hace que la esperanza matemática -que normalmente es del 0,55- aumente en los sorteos en los que hay mayores botes, dado que hay un parte del premio a la que no se le aplica la regla del «45% para la casa».

En otras palabras: que exista un bote implica más premio mientras se mantienen las mismas probabilidades para las mismas cantidades apostadas. Esto va lógicamente a favor de los jugadores, y por pura lógica, e incluso se diría que sentido común, es mejor jugar cuando hay bote que cuando no hay bote.

La curiosidad matemática de este efecto es fácil de entender con un ejemplo.

Imaginemos un juego sencillo, en el que los habitantes de un pequeño pueblo juegan en una «porra» a acertar un número del 1 al 100, con una apuesta de 1 euro y un premio de 55 euros para el acertante (el resto se lo queda la banca). La esperanza matemática aquí es igual de «negativa» que en la Loto (menor que uno: 0,55). Digamos que hay unos 100 habitantes en el pueblo pero no todo el mundo juega (especialmente el matemático del pueblo, que sabe que el juego es «injusto» para los jugadores). La gente corriente, por otro lado, apuesta a algunos números pero no a otros. Por puro azar algunos números ganadores a veces no son acertados y se acumula un bote para el siguiente sorteo. Imaginemos un caso en el que varias semanas pasan y pasan, y nadie acierta, de modo que se acumula un bote de 1.000 euros tras 10 juegos. Y supongamos, llevándolo al extremo, que ese día los habitantes del pueblo, hartos de no ganar, deciden que ya no juegan más. El matemático el pueblo se da cuenta y decide que en ese momento que sí que va a jugar y hace una apuesta él solo. En esa ocasión se trata entonces de un juego en que puede ganar 1.000 euros con una probabilidad de 1/100, lo cual le da una esperanza matemática positiva (mayor que uno, exactamente: 10). Ese sorteo en concreto es excelente para ese jugador en esas condiciones. Si las condiciones se mantuvieran y sólo jugara esa persona, podría jugar y jugar varios días o cientos de días (aunque normalmente pierda) hasta acertar y llevarse el suculento «bote».

En la Loto sucede prácticamente lo mismo: algunas semanas nadie acierta y los premios se acumulan, dando lugar a botes astronómicos si el bote se arrastra en varias ocasiones. No sucede, como en el ejemplo, que todo el mundo deje de jugar, sino todo lo contrario (juega más gente) pero aun así, si la esperanza en un juego normal sin bote es de 0,55, con cada bote este valor aumenta: 0,62; 0,70; 0,80; 0,95; 1,10... etc.

No hay ninguna razón por la que ese valor no pueda ser algunas veces mayor que 1 y favorezca al jugador. Incluso aunque aumente el número de jugadores y de acertantes (recuérdese que los premios se reparten entre todos los acertantes de cada categoría) a veces es mayor que uno.

¿Es esta afirmación una quimera? No. Se han dado varias ocasiones en la historia de la Loto en España desde 1985 en las que el valor de la esperanza matemática para un sorteo era mayor que 1, es decir, en el que el juego estaba real y matemáticamente a favor de los jugadores. En esos casos, un matemático concluiría incluso que es «mejor jugar que no jugar» a este juego de azar. Aunque la expresión, «es matemáticamente mejor apostar que no apostar» vaya contra la intuición aplicada a cualquier juego de azar en el que la banca lleva un porcentaje, a veces es correcta. Se trata sólo de uno de esos casos en los que debido al «efecto bote», la regla cambia y la intuición no sirve: el análisis matemático sí.

Un ejemplo real fue el sorteo de Bonoloto del 18 de noviembre de 1990. Un bote de 1.151 millones de pesetas se sumó a una recaudación de sólo 374 millones. A 25 pesetas por apuesta eso quiere decir que se hicieron en total unos 15 millones de apuestas. El premio de 1.200 millones que recibió un único acertante tenía como base una esperanza matemática de 3,2 (frente a 1 que sería lo normal en un «juego justo» o 0,55 en un día convencional sin bote). Es decir, si el juego hubiera sido «justo» tanto para el jugador como para la banca, el premio debería haber sido de sólo 350 millones. Pero el ganador se llevó 1.200 millones. La esperanza matemática promedio de ese día, contando todos los premios, era de 3,6. ¡Ese día ciertamente era mejor jugar a la Loto que no jugar!

En este tipo de ocasiones podría ser incluso planteable y recomendable (aunque no práctico en la realidad) el ejercicio teórico denominado «comprar el bote». En el ejemplo del pequeño pueblo, y suponiendo que se permitieran varias apuestas por persona, el afortunado que llega en el momento en el que el bote es grande (1.000 euros) podría decidir comprar los 100 números distintos (por 100 euros) y acertar con una probabilidad segura el número del sorteo. Por 100 euros ganaría 955 a ciencia cierta: 1.000 del bote más el 55% de la recaudación (sus 100 euros) menos los 100 euros que jugó. ¡Buen negocio para el matemático del pueblo!

En la Loto del Mundo Real™ esta hipótesis es difícilmente planteable dado que los 49 números suponen más de 13,9 millones de combinaciones de apuestas y por tanto una cantidad enorme de dinero a apostar: casi 14 millones de euros. Además, esta misma superapuesta incrementa la recaudación, de la cual el 45% directamente pasa a las arcas de la organización.

Pero imaginemos como hipótesis de trabajo que llega un día en el que se ha acumulado un bote de 20 millones de euros y en el que por alguna circunstancia nadie juega a la Loto excepto una persona. A 1 euro por apuesta, esto supondría pagar unos 14 millones de euros para jugar a todas las combinaciones y embolsarse todos los premios: el bote más lógicamente la recuperación del 55% de lo apostado y un 10% en reintegros (7,7 millones de euros, correspondiente al resto de premios menores de 5, 4, reintegros, etc.) Resultado: apostando 14 millones se recuperarían 27,7 millones de euros. Casi otros 14 millones de beneficio. ¡Buen negocio!

Estos mismos cálculos se pueden hacer sobre sorteos reales (recaudaciones y acertantes reales) incrementando la recaudación en 14 millones de apuestas (multiplicadas por el precio de la apuesta para calcular la recaudación total). Tras recalcular los premios a repartir, el resultado a veces continúa siendo positivo (dependiendo de cuánta gente real acertó en sus apuestas, dado que el bote se reparte si hay varios acertantes). Al igual que en el ejemplo anterior, si existiera la seguridad de que un día concreto no va jugar nadie más, ¡ese día a veces sería mejor comprar el bote!

En general, y para la Loto tradicional la norma a grandes rasgos es que la esperanza matemática es positiva cuando la cantidad de premios total (el bote más el 55% de la cantidad que todos los jugadores apuestan ese día) es mayor de lo que valen 13,9 millones de apuestas (dado que la probabilidad de acertar es de 1 entre 13,9 millones).

Esta primera anomalía es obviamente positiva para el jugador.

Un problema relacionado con la anomalía del bote (y con la siguiente anomalía, que se verá a continuación) como ya se ha visto es la regla del reparto entre acertantes del mismo tipo de premio.

Sucede que la cantidad asignada para premios de cierta categoría (ej. los de 6 aciertos) se reparte entre todos los acertantes de dicha categoría. Esto produce efectos curiosos como el siguiente (continuando con el ejemplo anterior). Imaginemos que en vez de un solo jugador hay dos jugadores luchando por el bote de 20 millones de euros. El primero juega y paga 13,9 millones de combinaciones para acertar seguro. El otro gasta 1 euro en una sola apuesta. La combinación ganadora es casualmente acertada por ambos. El premio (27,7 millones) se reparte entre ambos a partes iguales, y tocan a 13,8 millones de euros. ¡El primero ha perdido 100.000 euros aunque «acertaba seguro», pero el segundo ha salido ganando! Este mismo problema se presentaría si varias personas intentaran usar la estrategia de «comprar el bote», en último término beneficiosa únicamente para la organización porque se quedaría con el 45% de las apuestas y el premio se repartiría entre los que intentaban hacerse con el bote.

Aunque este efecto es cierto e inevitable en el juego real, puede calcularse hasta dónde afecta en cada sorteo, sabiendo que a medida que hay mayores botes hay más apuestas. En algunos casos puede seguir siendo «rentable» jugar porque la esperanza sea mayor que 1. Y, especialmente, el jugador puede aprovecharse de la segunda anomalía que influye en el juego, y que se explica a continuación.

Elección no-aleatoria de los números por los jugadores

Esta segunda anomalía es también fácil de entender. Explicada de forma sencilla: en general los jugadores tienen «números favoritos» a los que apuestan.

La elección de los «números favoritos» puede deberse a cualquier razón: unos números «gustan» más que otros, porque son «números de la suerte», fechas de nacimiento, números capicúas, dibujan «una línea» en el boleto, etc.

El hecho cierto es que el conjunto total de jugadores no se comporta «al azar» eligiendo cualquier combinación de números, sino que concentra su elección en ciertos grupos de números y apuesta a algunas combinaciones más o menos que a otras.

Este efecto, lógicamente, existe pero es más difícil de observar en juegos como la Lotería Nacional o el Bingo, donde los cupones o cartones ya llevan números predeterminados que el jugador no puede, en principio, elegir con «total libertad» como en la Loto.

El pueblo de los ejemplos anteriores nos servirá para entender esta anomalía. Supongamos que del total de personas que participan a muchos les gustan los números 7, 13 y 15. Y que en la «porra» se permite que cualquiera apueste a cualquier número, aunque esa apuesta esté repetida (si ganan, reparten). Imaginemos también que a nadie le gusta el número 97, o el 50. Lo que sucede es lo siguiente: la banca devuelve siempre el 55% de la recudación en premios, pero cuando el número ganador del sorteo es el 7, el premio se reparte entre varios acertantes y por tanto el premio es menor para cada uno. En una hipótesis extrema, imaginemos que jugaran todos los habitantes del pueblo (a 1 euro por apuesta) y todos apostaran a su número favorito, el 7. El día que aciertan el premio se reparte entre los 100, de modo que reparten 55 euros entre 100, y tocan a 0,55 euros por persona. Aunque todos hayan ganado el juego, cada uno sale perdiendo, y todos en conjunto también.

La mejor estrategia para el «matemático» del pueblo sería jugar a un número distinto al 7 (el «favorito»). Le basta con elegir un número al que nadie apueste, como el «no-favorito» 97. Si acierta, no repartirá el premio con nadie y aunque su esperanza matemática sea menor que 1 al igual que para los demás, al menos obtendrá el 100% del premio: no tendrá que repartirlo con nadie.

Si todo el mundo se comportara racionalmente y eligiera sus números al azar, esta anomalía no se produciría en la Loto y por tanto nadie podría aprovecharse.

Pero el hecho es que sí produce esta anomalía, que a mi me gusta denominar «elección no-aleatoria de los números por los jugadores».

¿Cómo puede saberse que esto es así con certeza?

En principio, esta información podría obtenerse de la base central de apuestas de la ONLAE, simplemente contando las veces que la gente juega a cada combinación, o en general, a cada número, en cada sorteo. Pero esa información no es pública.

Pero aunque la ONLAE no ofrece esta información de forma pública, hay otras formas de comprobar esta anomalía.

La entidad que gestiona la Loto 6/49 Canadiense sí ha ofrecido históricamente al público esta información sobre los «números apostados» [2]. Dando por sentada cierta similitud en las preferencias de los jugadores entre países, este dato podría considerarse fiable para cualquier sorteo de Loto en general. Y los datos ciertamente muestran que el número favorito de la gente es el 7, y que los números altos (30-49), o los que acaban en 0, 9 u 8 son menos elegidos que los demás. De hecho, el número de veces que la gente apuesta por el 7 es prácticamente el doble que cualquier otro número.

¿Cual es el efecto práctico de esto? Un sorteo en el que uno de los números de la combinación ganadora sea el 7 repartirá con toda probabilidad los premios entre más acertantes, lo cual es malo para los jugadores: los premios serán menores. En cambio, una combinación ganadora compuesta por números «no-favoritos» repartirá los premios entre menos acertantes, probablemente uno o ninguno. Estos datos han sido comprobados y explicados, si bien no son del dominio público general, ni si quiera de los especialistas en juegos como la Loto [5].

Por tanto, ¿a qué números se debe jugar? El sentido común dice que a los que ofrezcan mayores premios. Dado que todos los números tienen matemáticamente la misma posibilidad de salir del bombo para formar la combinación ganadora, en principio daría igual los que se elijan. Pero debido al sesgo producido por la elección de los demás jugadores, los mejores números a los que apostar son los números no-favoritos de la «gente» o de los «otros jugadores», entendidos como un grupo global.

Los números no-favoritos en la Loto española

Aun sin los datos en bruto de las apuestas en la ONLAE es posible analizar las series históricas y deducir los números favoritos y no-favoritos con cierta facilidad. Aunque este trabajo no es trivial, es tan sencillo como analizar en todos los sorteos (desde 1985) los repartos de premios en función de las combinaciones ganadoras, y sus desviaciones matemáticas sobre las probabilidades esperadas normalmente.

Con un ejemplo sencillo se entenderá mejor: supongamos, por simplificar, un sorteo en el que no hay bote y en el que los jugadores hacen en total 13,9 millones de apuestas. Lo «normal» (entendiendo por «normal» que los números elegidos por la gente fueran realmente aleatorios) sería que hubiera un solo acertante de 6 (dado que la probabilidad de acertar es de 1 entre 13,9 millones), 6 de 5+C, 252 de 5, etc. como en la tabla de probabilidades para la Loto.

Los resultados históricos reales demuestran que esto no es así.

Y no solo no es así sino que las variaciones que aparecen están más allá de lo que matemáticamente cabría esperar como desviaciones «fruto del puro azar». Algunas veces no hay ningún acertante, otras veces hay dos o más. En ocasiones hay incluso varias decenas de acertantes. E incluso, como ha sucedido una vez en los últimos veinte años, ¡aparecen más de 100 acertantes de 6! [ver Curiosidades al final]. Este mismo cálculo puede ampliarse a todos los casos reales en los que se conoce el número de apuestas, no es necesario que se jueguen «aproximadamente 13,9 millones de apuestas». Por ejemplo, supongamos que en cierto sorteo se han hecho 7 millones ó 28 millones de apuestas. En el primer caso (7 millones) no debería «normalmente» acertar nadie (en realidad: una vez cada dos sorteos, aproximadamente) y en el segundo caso (28 millones) debería haber «normalmente» 2 acertantes de 6 (pero a veces no hay ninguno, y a veces hay diez o incluso más).

Un análisis de este tipo permite correlacionar cada número individual de la combinación ganadora con un valor de «premio esperado» para dicho número y el «premio real» obtenido ese día concreto para cada categoría, como resultado del reparto de premios. (Se puede analizar también que sucede con parejas de números, números consecutivos u otro tipo de grupos, aunque puede suceder que eso no sea muy significativo debido al reducido número de sorteos históricos.)

Si se analizan esos resultados se aprecian las anomalías, tanto en las categorías de 6 aciertos como en las de 5+C, 5, 4 e incluso en la de de 3 aciertos, que es la más «fácil» de acertar tras el reintegro, y seguramente la más adecuada para hacer los cálculos estadísticos (las variaciones en los pocos acertantes de 6 ó 5+C pueden ser grandes, en el gran grupo de miles de acertantes de 3 no pueden ser tan significativas - realmente mucha menos gente jugó a esos números).

Si se convierte toda esta información en un gráfico aparece una curva que muestra claramente desviaciones, en muchos casos grandes, sobre lo que sería la recta normal en el caso de que la gente eligiera sus números al azar.

Un ejemplo simbólico: En los estudios realizados con los números de Canadá [2] se vio que la combinación 1-2-3-4-5-6 era jugada por muchísimas personas. Por tanto, es con diferencia la peor combinación posible a jugar, porque el premio se repartiría entre demasiada gente. En una informal encuesta en España un par de personas de un grupo de 20 confirmaron jugar esa misma combinación de forma más o menos habitual.

Un estudio similar llevado a cabo en el Reino Unido [2] dio como resultados estos seis números no-favoritos entre todos los jugados: 36-41-46-47-48-49. Obsérvese que no hay ninguno menor de 32 (que son los números que pueden coincidir con fechas del calendario: del 1 al 12 y del 1 al 31).

Y los números no-favoritos en España son...

En la primera publicación de este Sistema en Internet (v1.0, enero 2002) consideré seriamente publicar los números fruto de mis análisis. Los números en cuestión eran los nuevo primeros de la lista completa del 1-49 ordenados de no-favoritos a favoritos (siendo los primeros los más favorables para apostar).

Pero como explico más adelante (ver «Paradojas y debilidades de este sistema») cuanta más gente conoce esos números y los juega, peor para todos ellos (¡y para mi! ;-)... así que el sistema comienza a perder validez.

De modo que al poco tiempo sustituí dichos números por unas XX XX XX XX... indicando que esos números realmente existen, pero que si alguien estaba interesado en ellos me escribiera por correo electrónico para pedírmelos. Quería comprobar si mi análisis resultaba relevante para otras personas y si alguien lo consideraría válido o podría aportar algo más sobre él.

Durante 2002 recibí decenas y decenas de mensajes de personas que habían encontrado la descripción de este Sistema buscando por Internet y que deseaban conocer los números. Algunos lo pedían amablemente. Otros decían simplemente «¿Cuáles son los números?». Otros eran peñas que juegan grandes cantidades de dinero cada mes a este tipo de juegos, incluso había algún estudiantes que estaban haciendo trabajos de clase sobre estadística probabilidad. Algunos «ocultaban» su identidad bajo e-mails gratuitos y no decían nada sobre quiénes eran a pesar de que les pregunté.

Consideré la situación y decidí no darle los números a nadie.

Contesté a todo el mundo con un mensaje estándar, recordando la «debilidad / paradoja» del Sistema si demasiada gente llega a conocer los números y los juega.

A los que mostraron realmente interés les expliqué la forma de analizar los datos disponibles y cómo podrían llegar a completar sus propios análisis.

A la gente que parecía muy interesada (y a alguna peña) llegué a decirles que estaría dispuesto a «vender» los números y el análisis por una cantidad razonable... pero nadie mostró más interés por los números cuando se trataba de pagar por ellos (en vez de dedicarle algo de tiempo a analizarlos según el sistema aquí explicado).

De modo que finalmente decidí no publicitar los números no-favoritos. Yo mismo juego a la Loto con esos números cuando las condiciones de Bote y premios son adecuadas, tal y como se ha explicado aquí. Pero si más gente hace lo mismo, no nos habrán sido tan útiles a ninguno. (Desde luego, si algún día acierto -lo cual es altamente improbable- publicaré la lista al completo.)

Insisto en que cualquiera que quiera analizar las bases de datos de la ONLAE sobre números aparecidos, premios, etc. tiene mi total apoyo y mi correo está siempre abierto a comentarios y sugerencias.

Este trabajo, ensayo o análisis sido re-publicado en otras páginas bajo petición, a lo que siempre he accedido.

He pedido a algunas de las personas que escribieron que hagan llegar este análisis a expertos en probabilidad, estadística y juegos para ver qué opinan realmente.

Con muchas de esas personas he mantenido amables charlas por correo electrónico. Pasado el tiempo, nadie ha afirmado de forma seria o convincente que haya algún fallo en este análisis que haga que no sea realmente funcional dadas las condiciones adecuadas.

Comprobación del sistema y Preanálisis de premios

Es difícil comprobar en la práctica que este sistema funciona tal y como se ha descrito (que jugando a ciertos números se obtendrá un premio mayor en caso de ganar) aunque la probabilidad de acertar con esos números (como con cualesquiera otros) es siempre ínfima. Se podría jugar toda una vida, o durante varias generaciones, sin que estos números aparecieran y por tanto no se podría afirmar con hechos concretos que «el sistema es correcto».

Sin embargo, existe una forma de comprobar colateralmente la eficacia del sistema, y esto fue lo que hice para comprobar si es correcto.

Esta comprobación consiste en lo siguiente: cuando comienza el sorteo, la ONLAE publica en su web [1] los números premiados y la recaudación del día. Pero desde que esta información se publica hasta que aparece el número de acertantes de cada categoría pasa cierto tiempo (normalmente entre treinta minutos y una hora). ¿Es posible predecir cuánta gente va a acertar y cuales serán los premios?

Sí.

Usando los datos estadísticos de sorteos anteriores, las tablas de «premio esperado» de cada número permiten extrapolar la «dificultad» de la combinación del día y por tanto los premios esperados realmente, número de acertantes, etc.

En varias comprobaciones empíricas he podido anticipar que en un día determinado la combinación ganadora fue «fácil» y habría más acertantes de 6 de lo esperado (por ejemplo 4 ó 5 en vez de 1 o ninguno) o que era «difícil» y que aunque hubiera muchas apuestas (ej. 40 millones) no aparecería ningún acertante o sólo uno de 6 (cuando lo normal serían 2 ó 3). Lo mismo sucede para los premios de 5+C, 5, 4 y 3, con idénticos resultados

Este sistema «adivina» realmente si los números que salen en un día determinado eran favoritos o no-favoritos de la gente.

Otra comprobación adicional consistió en generar una larga lista de números aleatorios como «números ganadores» y alimentar la base de datos de sorteos históricos con ellos, reemplazando los auténticos. De este modo se simulaba que habían sido otros números los ganadores en vez de los que de verdad salieron en los días de sorteo. En esta prueba, los patrones y la predictibilidad desaparecían: los premios entregados no se correspondían con los números ganadores, de modo que no aparecía ningún número como claramente favorito o no-favorito. El gráfico era totalmente plano.

La relación entre los números favoritos, no-favoritos y el reparto de premios es patente y comprobable.

Paradojas y debilidades de este sistema

Se produce una curiosa paradoja con este Sistema cuando es conocido (y llevado a cabo) por más de una persona.

Si el sistema es realmente válido (como parece que es, confirmado por estudios similares de expertos diferentes [2] [5]) de repente los «números no favoritos» se convierten como por arte de magia en favoritos de algunos jugadores, rompiéndose su propia definición de «no-favoritos». Cuando esto se produce, el juego vuelve poco a poco a sus cauces aleatorios normales.

La única forma de garantizar realmente jugar a números no-favoritos sería una búsqueda previo al sorteo oficial entre todas las apuestas realizadas, y poder incluir una o varias apuestas en esos momento: más concretamente, las apuestas no-jugadas por los otros jugadores (da igual cuáles sean los números, mientras nadie juegue a ellos, y da igual las razones). Esto por desgracia no es posible a priori dado que nadie excepto la ONLAE tiene acceso a dichas bases de datos, que se rellenan en tiempo real con las apuestas realizadas en todo el país.

Sin embargo, es muy difícil desarraigar los hábitos de la gente, y no todo el mundo ha realizado estudios como este sobre los datos reales de la Loto española (al igual que en tiempos nadie los había hecho sobre la Ruleta o el BlackJack [4] [3] hasta que a alguien se le ocurrió llevarlos a cabo y posteriormente publicarlos).

De modo que mientras la lista completa de números no-favoritos se mantenga en un círculo reducido este problema no tiene por qué ser importante. Aun así, podría llegar el caso del día en que, jugando a este sistema, los que usen estos números no-favoritos descubran que había más gente que había razonado y analizado igual que ellos los números, y que tienen que «repartir» el premio con más acertantes de lo que sería probabilísticamente normal.

Resumen

Las reglas generales para aprovecharse y matemáticamente y jugar «a favor» en la Lotería Primitiva española son pues:

1. No jugar excepto si la esperanza matemática es positiva (mayor que 1). Esto se produce sólo cuando hay botes enormes y cuando la suma de premios (incluido bote) más el porcentaje del dinero destinado a apuestas supera el inverso de la probabilidad de acertar (en el caso de la Loto: 1/14 millones).

2. Cuando se juegue, apostar a los números no-favoritos de la gente.

3. Cuando se juegue bajo estas condiciones favorables, apostar todo el dinero posible para aprovechar dicha anomalía, dado que no se produce nada más que una vez cada mucho tiempo (una o dos veces al año según las reglas actuales).

IMPORTANTE: Este sistema NO AFIRMA QUE GARANTIZA GANAR CON MAYOR FACILIDAD, dado que en la Loto NINGÚN sistema puede hacerlo. Simplemente garantiza que si se eligen los mejores números (los no-favoritos) EN CASO DE ACERTAR, LOS PREMIOS SERAN MAYORES DE LO ESPERADO.

Algunas curiosidades

Hay muchos más factores que influyen en los juegos, como son la capacidad económica del jugador (para evitar la denominada ruina del jugador), cuestiones fiscales (en España, favorablemente, los premios de azar oficiales están exentos de impuestos), cuestiones económicas (inflacción), etcétera.

Todo esto no invalida en ningún caso el Sistema anteriormente descrito, pero produce algunas curiosidades. Por ejemplo: si se pueden invertir 600.000 euros en la Loto con esperanza matemática igual o mayor que 1 es mejor hacerlo ahí que en bolsa, porque el resultado ¡no paga impuestos! Pero así, debe tenerse en cuenta el límite de «ruina del jugador» porque la esperanza matemática solo garantiza resultados «a la larga».

Para terminar, algunos casos reales extraídos de los análisis de este Sistema que (probablemente) no son sólo anécdotas sino que demuestran su validez como herramienta analítica de la realidad que sucede en un juego de Loto, en especial la elección no aleatoria de los números por los jugadores.

• El 19/11/87 se hicieron 78 millones de apuestas, pero en vez de 5 acertantes (lo esperado para este volumen de apuestas) sólo apareció un acertante [2-21-30-33-35-41, c:14]. Algo parecido sucedió con las combinaciones [12-14-16-32-41-48, c:29] y [1-6-32-33-46-47, c:8] (70 y 65 millones de apuestas respectivamente, pero solo un acertante).
• El 20/10/88 se hicieron 34 millones de apuestas; lo normal hubieran sido 2 ó 3 acertantes de 6, pero aparecieron ni más ni menos que ¡114 acertantes de 6! La combinación: [5-15-25-26-36-46, c:44]. Se repartieron 10 millones de pesetas cada uno, cuando lo normal hubieran sido unos 475 millones (y un solo acertante se hubiera llevado 1.200 millones).
• El 24/06/90, con solo 6 millones de apuestas aparecieron 9 acertantes de 6 (unas 22 veces más de lo que sería normal). La combinación, [17-27-37-45-46-47, c:10]
• El día 14/01/88 aparecieron más del doble de acertantes de 3 de lo que sería normal. La combinación, [3-5-10-14-36-41, c:20]. Algo parecido sucedió con [13-16-17-22-25-34, c:38, r:2], [15-25-31-35-36-43, c:46] y [5-6-7-9-19-26, c:34].
• El día 01/03/88 acertaron 3 números poco más de la mitad de lo que cabría esperar (134.000 frente a 200.000). La combinación, [8-20-21-29-48-49, c:41]. Se hicieron más de 12 millones de apuestas.
• El 30/11/89, con 26 millones de apuestas, sucedió algo curioso. Con la combinación [18-20-21-27-46-47, c:14] apareció un único acertante de 6 (lo normal hubieran sido 2) pero también apareció un único acertante de 5+C (lo normal hubieran sido 11, dado que es seis veces más fácil acertar 5+C que 6). El de 6 se llevó 350 millones y el de 5+C (algo que es seis veces más fácil), 130 millones. Ha habido dos sorteos en los que aparecieron dos [6-9-18-21-37-47, c:20] o tres [9-26-28-45-46-49, c:31, r:3] acertantes de 6 pero sólo un acertante de 5+C. Incluso uno con 4 acertantes de 6 y solo 1 de 5+C. En este último por ejemplo, los de 6 cobraron 66 millones y el de 5+C, 54 millones [13-16-39-43-45-47, c:2], casi lo mismo por algo que es ¡teóricamente 6 veces más difícil! (las normas del juego se cambiaron posteriormente, y esto ya no puede suceder. Si sucede, los premios se reparten por igual entre todos ellos).
• ¿Demasiado fácil? El 12/11/96, en un sorteo con 5 millones de apuestas, en el que deberían haber aparecido unos 90 acertantes de 5, aparecieron en realidad 3.948, unas 44 veces más de lo esperado. En vez de 100.000 pesetas cada uno, cobraron 2.300 pesetas. La combinación: [7-14-21-28-41-42, c:46, r:4] Observación: son cinco múltiplos del 7, excepto el 41. ¿Casualidad? Algo parecido sucedió con [31-44-45-46-47-49, c:39] 4.300 acertantes de 5 en vez de los 270 esperados para un sorteo de 14 millones de apuestas. Observación: Todos los números del 43 en adelante están en la misma columna vertical, a la derecha del boleto.
• El 18/11/2006 se produjo una extraordinaria rareza que relaté con todo lujo de detalles, en Euromillones (incluyendo una predicción entre la salida de los números y el escrutinio, relativo a cuánta gente acertaría). Debido a la acumulación de botes y botes resultó que había 180 millones de euros de bote en Euromillones. En enero de 2006 se cambiaron las reglas para que no se pueda acumular durante más de 12 semanas un bote tan monstruoso. La combinación ganadora fue [12-22-32-33-36 e:2-6] (seis pares de siete, muchos números por encima de 31). El análisis final fue que con 135 millones de apuestas deberían haber salido 1,8 (redondeando: 2) acertantes de 5+2, pero no salió ninguno. Y deberían haber salido unos 25 acertantes de 5+1... Pero salieron sólo 20. Esos se llevaron 9,6 millones de euros cada uno. Normalmente habrían cobrado unos 300.000 ó 400.000 euros cada uno, como en semanas anteriores. Debido al efecto bote y a que los números eran de los no-favoritos de la gente se quedaron con el dinero de 5+2 y fueron menos a repartir: se llevaron unas 25 veces más que en otros sorteos. Prácticamente jugaban un juego justo (tendrían que haberles tocado 10,8 millones para que así fuera, pero prácticamente era un juego justo).
• El 19/4/07 se hicieron en La Primitiva 18 millones de apuestas; lo normal hubieran sido 1 ó 2 acertantes de 6 (una probabilidad entre 14 millones), pero aparecieron ni más ni menos que 14. La combinación: [1-2-4-8-9-24, c:48, r:4]. Casi todos números bajos menores de 10, apropiados para la gente que elige fechas. Se repartieron 177.000 euros cada uno, cuando lo normal hubieran sido unos 2,5 millones para un único acertante.

Eduardo Losilla y la Primipeña

[Añadido: 2017] El mítico Eduardo Losilla, personaje donde los haya en el mundo de las quinielas y las loterías en España, es el promotor de La Primipeña, una peña donde un grupo de gente juega en grupo a combinaciones de números seleccionados por los organizadores. Su teoría es básicamente la misma que describe este Sistema, algo que describen así: por qué nos gustan los números «feos»:

En La Primitiva todos los números tienen las mismas probabilidades de aparecer, pero unos gustan más que otros. Cuando salen los números que más gustan a la gente los premios cobran menos, y viceversa. Con nuestro sistema hemos analizado todos los sorteos desde que existe el premio de 6 + reintegro (8 de noviembre de 2011), y tomando como referencia lo que cobran los premios de 5 aciertos vemos las siguientes datos:

Cuando menos cobran, siempre salen números bonitos como el 7, 13, 15, 25, o números bajos, ya que se juegan muchas “fechas” que incluyen meses (1 al 12) o días (1 al 31) (…) Cuando más cobran siempre salgan números feos como el 30, 38, 43, o números altos que se escapan al "efecto fecha" (32 al 49).

Con esto, la razón por la que un premio de 5 puede cobrar 463 euros o 5.517 euros resulta evidente.

Además cuenta con los datos de las apuestas validadas en su administración de loterías a través de su página web:

Si miramos todas las apuestas simples que se han validado en Quinielista.es desde el año 2007, comprobamos que, efectivamente, no todos los números se han jugado igual. El número 7 es el que más se juega (15,73% de las apuestas) y el número 40 es el que menos se juega (9,92% de las apuestas). En definitiva: aunque todos los números tienen las mismas probabilidades de aparecer, es evidente que conviene jugar con los números que ofrecen mejores premios en igualdad de probabilidades. Luego está el premio gordo, o el superbote. Cazarlo es cuestión de suerte, pero cuántas más apuestas se juegan siempre hay más probabilidades.

Aunque la última frase resulta un tanto falaz (aunque »aumentan las probabilidades» se pasa por algo que también «aumenta el gasto» y general esto va en contra del jugador) en el resto concordamos punto por punto. Y es interesante que esos números que detalla sean los mismos que se pueden obtener analizando cientos y cientos de sorteos y premios. Una validación del sistema de la mano de una figura clásica de este tipo de juegos. ¡No se puede pedir más!

Referencias y enlaces

• [1] SELAE (Sociedad Estatal de Loterías y Apuestas del Estado).
• [2] Richard H. Thaler, The Winner's Curse: Paradoxes and Anomalies of Economic Life (1994).
• [3] Edward O. Thorp, Beat the Dealer (1966).
• [4] Thomas A. Bass, The Eudaemonic Pie (1979).Reseña del libro The Eudaemonic Pie en Microsiervos. Web de los Eudaemons en la UCSC.
• [5] William T. Ziemba, ‘Dr. Z's 6/49 Lotto Guidebook’, 1986.
• [6] Nonrandom Risk: The 1970 Draft Lottery.
• [7] ¡Qué difícil es la aleatoriedad! [PDF, 392 KB], un trabajo de F. Montes y A. Corberán de la Universidad de Valencia.
• [8] La Fabulosa Historia de Los Pelayos. Iván y Gonzalo García-Pelayo (Plaza y Janés, octubre 2003).

Actualizaciones de este documento

• v1.0 - Enero de 2002, primera versión
• v1.1 - Septiembre 2002, segunda versión. Correcciones de estilo. Algunos añadidos. Notas sobre por qué los «Números-No Favoritos» no están publicados en el documento, y breve historia de este documento desde la versión 1.0. Conversión a HTML e incorporación en los archivos de Hiperespacio (el weblog precursor de Microsiervos).
• v1.11 - Mayo 2003. Correcciones de estilo.
• v1.12 - Agosto 2003. Rediseño HTML.
• v1.13 - Junio 2004. Corregido un error en el cálculo sobre la probabilidad de acertar los premios de 3 y 4 aciertos (Agradecimientos a Ana). ¡Qué difícil es la aleatoriedad! [PDF, 392 KB].
• v1.15 - Mayo 2005. Actualización del texto, reconvertido desde el formato original. Nueva introducción. Pequeñas correcciones. Añadido de enlaces en el cuerpo del texto.
• v1.17 - Noviembre 2006. Añadida referencia al bote de 180 millones de euros en Euromillones del 18/11/2006.
• v1.18 - Abril 2006. Añadida referencia al 1-2-4-8-9-24, otro caso de «números fáciles» (14 acertantes cuando se esperaba uno), sorteo del 20/4/2007.
• v1.2 - Julio 2017. Arreglados enlaces, añadida foto de apertura, pequeños retoques de estilo. Añadida referencia final a la Lotopeña del mítico Eduardo Losilla.

Relacionado,

• Euromillones: 180 millones de euros de super mega bote, caso único.
• Curiosidad en la Bonoloto, otro caso atípico.
• Botes en la Loto, cifras millonarias.
• Euromillones, presentación del juego.
• Euromillones: Ni en un millón de años, cálculo de probabilidades.
• 20,6 millones de euros en Euromillones, gran bote.
• El Gordo Más Gordo, presentación y probabilidades.
• Un par de notas sobre la Loto, afinando cálculos.
• Anomalía en un sorteo de la Loto, otro caso de «números fáciles»
• Los números de la Loto, como una estrella, imágenes del azar.