Por @Alvy — 19 de Octubre de 2016

Por aquí ya hemos hablado alguna vez de Persi Diaconis, un matemático de Stanford más conocido por sus trabajos sobre el azar y la aleatoriedad en objetos comunes, tales como las monedas, los dados o las barajas de naipes. Dos de sus descubrimientos más conocidos: que las probabilidades en las monedas no son siempre 50/50 (más bien 51/49) y que 7 mezclas de naipes son suficientes para obtener una baraja completamente aleatoria. En ocasiones se diría que el buen hombre se debate entre entender el azar o domeñar la aleatoriedad.

Leí por primera vez sobre el trabajo de Diaconis –como de Conway, Kim y tantos otros– a través de Martin Gardner hace ya décadas. Y cada vez que he ido descubriendo más sobre él me ha ido pareciendo un personaje más interesante, divertido y en muchas ocasiones profundo.

El caso es que estuve repasando todos los vídeos que en ese pozo de sabiduría y divulgación llamado Numberphile publicaron entrevistando a Diaconis. Eso incluía los «extras», normalmente fragmentos sobrantes de entrevistas que no encajan en la dinámica de los clips de «diez minutos por episodio» pero que suelen incluir perlas de sabiduría igualmente interesantes. En todos ellos hay jugosas anécdotas, métodos matemáticos y en ocasiones hasta te encuentras con problemas abiertos de esos «fáciles de entender, difíciles de resolver» a los que nadie ha encontrado solución todavía. Son estos:

Persi Diaconis: entrevistas en Numberphile

Sobre las barajas de naipes

Si se mezcla un gran vaso de leche con un poco de café removiendo la mezcla al principio el vaso está más bien blanco, luego se vuelve marrón y llega un momento en que el «desorden» no aumenta más, por mucho que sigas removiendo. ¿Sucede igual en una baraja de naipes?

Mezcla por hojeo (CC) Johnny Blood / Wikimedia / Flickr https://www.flickr.com/photos/latitudes/66424863/in/set-1442169/

La respuesta es que sí: en las mezclas de una baraja sucede exactamente igual: mezclar los naipes una vez (en una mezcla americana o por hojeo) no los desordena gran cosa; dos mezclas son mejores, luego 3, 4… Pero mezclar 40 o 41 veces sería casi irrelevante. ¿Cuál es el valor óptimo? Diaconis junto con Bayer analizaron el problema (en su mítico trabajo Trailing the dovetail shuffle to its lair [1992], PDF) y concluyeron que en una baraja francesa de 52 cartas matemáticamente bastan entre 6 y 7 mezclas «buenas» para que el resultado sea completamente aleatorio, de modo que 7 mezclas son suficientes. Seguir el razonamiento en el vídeo de Diaconis explicando cómo la probabilidad de que cada naipe esté en una posición determinada llega a ser de 1/52 es todo un lujo.

El descubrimiento de Diaconis obligó a cambiar la normativa de los casinos de Las Vegas (que hasta entonces requerían tan solo 4 mezclas). El método más efectivo de barajar es el hojeo / americano (riffle) y el peor la mezcla hindú (por montones o cortes), con los demás a medio camino. Los expertos que dominan la mezcla faro pueden intercalar perfectamente la mitad de los naipes con la otra mitad, a modo de «cremallera». Si esto se repite ocho veces con gran habilidad y de forma perfecta tras esas ocho mezclas ¡la baraja queda perfectamente ordenada como al principio!

Más perlas:

  • Las máquinas automáticas de mezclar son bastante mediocres y no muy recomendables; las mejores son extremadamente caras (varias decenas de miles de dólares/euros) y las de andar por casa simplemente no mezclan bien. «Para un casino, es como elegir el mejor cirujano: aunque sea caro, que sea el mejor en su especialidad».
  • Los jugadores de bridge tienen cierto «instinto» que les hace preferir las mezclas humanas a las de ordenador, porque las segundas les parecen «menos aleatorias» (cuando en realidad es al revés). Esto tiene que ver con lo «interesantes» que pueden ser para el juego las diversas manos: una mezcla humana no muy aleatoria favorece un juego más entretenido.
  • Ha habido tramposos que con ayuda de un micrófono grababan a alta velocidad el sonido de las mezclas de los crupieres para analizarlas al instante con un ordenador en miniatura y calcular el orden resultante de esas mezclas (partiendo de barajas nuevas). En algunos juegos aunque la predicción no sea perfecta se gana algo de ventaja sobre la banca. (Naturalmente, utilizar ordenadores en los casinos está prohibidísimo).

Sobre los dados justos

¿Qué es un dado? Un objeto para generar números aleatorios, generalmente equiprobables. Pero, ¿qué es un «dado justo»? Depende del punto de vista. Diaconis lo explica comenzando por un repaso a los sólidos que geométricamente producen dados de forma bastante natural: además de los más básicos de 4, 6, 8, 12 y 20 caras (correspondientes a los sólidos platónicos) también explica el curioso D30 o triacontaedro rómbico que tiene 30 rombos por caras.

Dados de rol (CC) Diacritica / Wikimedia https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Dice_(typical_role_playing_game_dice).jpg

La realidad es que se pueden construir dados con cualquier número de caras: basta utilizar un prisma con una base poligonal cualquiera (3, 5, 7, 11) y anotar los valores en cada lado, ignorando las bases (o «sacándoles punta» como un lápiz, de modo que su probabilidad al caer sea cero).

Un problema curioso es intentar crear un dado de tres caras partiendo de un cilindro: supuestamente bastaría con encontrar el tamaño adecuado de modo que la superficie de cada base circular fuera igual que la del contorno, algo así como hacer crear un D3 partiendo de un D2 –una moneda– «haciendo la moneda muy gorda». Esos objetos son calculables. Pero el problema probabilístico no es tan fácil: ese dado no se comportaría «físicamente» igual que un «verdadero» D3, porque sería fácilmente manipulable (tirándolo «rodando»). Se puede imaginar envuelto en una esfera y rebotando – incluso se podrían calcular las simulaciones físicas de esos rebotes… pero nadie ha hecho el cálculo exacto.

Y esa es la diferencia entre la aleatoriedad «real» de los dados y la aleatoriedad «matemática». Diaconis divaga e incluso filosofa sobre esta diferencia entre lo real «en la práctica» y lo numéricamente calculable como «algo inmutable». Porque ni siquiera los dados de 6 caras se libran: los normales suelen tener agujeros y eso afecta al peso de cada cara – y en análisis con miles de lanzamientos automáticos se ha observado ese sesgo. Incluso con mejores dados (como los de los casinos) los lanzadores profesionales pueden manipularlos de modo que salgan casi planos de la mano, con rotación horizontal, de modo que tiendan a caer en la misma cara por la que salieron (esta idea está detrás de muchos de esos «sistemas para ganar en los dados en los casinos»). Por eso los casinos obligan a que reboten en la pared de la mesa de juego, mesa que además está decorada con texturas rugosas e imperfectas.

Diaconis demostró que, analizando todos los factores y simetrías, hay unos dados más «justos» que otros, que aunque sean teóricamente equiprobables pues algunos son más dependientes de la realidad física (condiciones iniciales, rebotes, etcétera) y por tanto más «difíciles de controlar». El ejemplo típico es un cubo frente a una dipirámide regular triangular (dos tetraedros «pegados»). Ambos tienen 6 caras idénticas, pero las simetrías hacen que controlar el cubo sea más difícil que controlar la dipirámide, por lo tanto se puede decir que matemáticamente «el cubo es más justo» como generador de valores aleatorios.

Sobre las monedas

En las monedas también tenemos esa dualidad entre lo matemático y la realidad física, donde –ignorando que puedan caer de canto, que a veces sucede– la probabilidad no es tanto 50/50 sino más bien 49/51, como ya revisamos en ¿Cuán aleatorio es lanzar una moneda?. Allí Diaconis explicó que se pueden encontrar con relativa facilidad monedas sesgadas (por desgaste o manipulación) que caen más hacia un lado que al otro, llevando el 50/50 esperado a algo como 80/20. Y que es mucho más justo agitar un poco la moneda en la mano, lanzarla al aire y recogerla también con la mano que dejarla caer al suelo – donde la dureza del material pondrá en marcha la maquinaria de la física para actuar sobre los posibles sesgos que tengan.

Hand Coin (CC) Code52 @ Flickr http://www.flickr.com/photos/30358635@N07/4883198447 / Photopin.com

En los extras de este vídeo Diaconis y su entrevistador hablan también de cómo, si existe un sesgo, y por pequeño que sea, un jugador hábil podría intentar aprovecharlo. Como ejemplo ponen la ventaja de la elección –a veces crítica– al principio de un partido de cricket o de fútbol americano (especialmente si se trata de una prórroga con muerte súbita o «gol de oro»). Los jugadores podrían intentar ver la moneda antes de que salga de la mano del árbitro o algo parecido, sabiendo que algo más del 50% de las veces acertarían en su elección, una ventaja pequeña pero interesante. (Más todavía porque no suelen ser monedas normales sino especiales, más grandes y probablemente más sesgadas).

Pero claro: esto no parece gran cosa sabiendo que a pesar de que sabemos que en el fútbol la estadística dice que el equipo que lanza primero los penaltis gana más veces (un 21%, según datos analizados por un profesor de la London School of Economics) los jugadores actúan irracionalmente. Quien acierta con la moneda elige si lanzar primero o esperar al segundo turno. Y pese a lo anterior muchos eligen todavía el segundo turno (?!) Una elección a todas luces anumérica y desastrosa, pero que sigue embutida en la cabeza de muchos jugadores. Como para andar con sutilezas sobre la elección al principio del partido.

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