Por @Alvy — 16 de Agosto de 2011

... 1487, 1489 ...

En @AlgebraFact mencionaron una conjetura respecto a los números primos que no conocía, y que además es un problema abierto porque no ha podido demostrarse ni invalidarse hata ahora. Por si alguien se anima, se llama Conjetura de Polignac y viene a decir que

Hay un número infinito de números primos (p, q) tales que p - q = k, siendo k un número par.

Para n = 2 lo que surge es la famosa conjetura de los números primos gemelos: que existen infinitas parejas de primos tales que la diferencia entre ellos es 2, como por ejemplo 11 y 13; 41 y 43, etcétera. Pero Polignac afirmó que lo mismo sucedía para los llamados primos sobrinos (p y p+4), los primos sexies (p y p+6) y en general cualquier número par.

Eso sí, quien se anime a intentar demostrar o invalidar la conjetura, que se arme de paciencia, porque el señor Polignac la enunció allá por 1849 y durante todos estos años se ha resistido a la comunidad matemática.

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18 comentarios

#1 — Alex

3 menos 2 seria 1, no?

#2 — alex3.0

Me parece que esa es la conjetura de Goldbach vista al revés.

#3 — Kike

A lo mejor no lo he entendido muy bien, pero no le veo tanto misterio. Si todos los números primos, excepto el 2, son impares. Cualquier resta entre dos números impares dará un impar, sean primos o no, ¿verdad?

#4 — Kike

Acabo de leer lo de la Wikipedia y no tiene mucho que ver con lo que había entendido a través de la entrada.

Muy interesante.

#5 — Curioso

Por mantener la coherencia de la notación utilizada en el enunciado de la conjetura, el segundo párrafo debería empezar así:

"Para k=2 [...]"

Un saludo.

#6 — Lu

Tengo otra Conjetura que pueden dedicarse a demostrar los que tengan tiempo.

Todos los números primos excepto el 2 y el 5 acaban en 1, 3, 7 o 9.

10-20 es la única decena en la que los cuatro números posibles son primos (11, 13, 17 y 19).

Demuéstralo

(No es la única decena con 4 primos porque 2, 3, 5 y 7 también lo son).

#7 — X-Pacer

Estimado Lu.

Lamento comunicarte que tus conjeturas son, en realidad, muy fáciles de corroborar o refutar. Por partes:

- Todo número terminado en 0, 2, 4, 6 u 8 es necesariamente par. Todo número terminado en 5 es necesariamente múltiplo de 5. Luego todo número primo ha de terminar necesariamente en 1, 3, 7 o 9 (salvo los mencionados 2 y 5, que son obviamente primos ellos mismos).

- Los números 101, 103, 107 y 109, por poner un ejemplo, son todos primos. Y pertenecen todos a la misma decena. Así que no es cierto lo que propones.

Gracias en cualquier caso por hacernos pensar un rato. :o)

#8 — Jakc

no estoy muy metido en el tema de los numeros primos pero, por que dicen que no se puede demostrar?

todo numero primo es impar (excepto el 2), ya que, si fuese par, se podria dividir entre 2.

al ser todos impares: impar - impar = par

que tiene de misterioso? ya esta demostrado, no?

#9 — Orkan

Jakc, el problema está en que el problema no afirma sólamente que haya un número infinito de pares de primos p, q que al restarlos den algún número par, sino que hay un número infinito de primos p, q para CADA número par. No sé si me explico. Al menos es lo que he entendido.

#10 — Orkan

Jakc, el problema está en que el problema no afirma sólamente que haya un número infinito de pares de primos p, q que al restarlos den algún número par, sino que hay un número infinito de primos p, q para CADA número par. No sé si me explico. Al menos es lo que he entendido.

Es decir hay infinitos p - q = 2, hay infinitos p - q= 4, hay infinitos p - q = 6, hay infinitos p - q = 8, y así hasta el infinito recorriendo todos los pares.

#11 — Jesús Gallinal

Oye creo que es fácil de probar!!!

Vamos a ver si cogemos dos números primos p y q cualesquiera y mayores que 2,
entonces necesariamente deben ser impares, y la suma o la diferencia de dos impares
es siempre un número par, en efecto:

Sean m y n números naturales tales que hagan que p y q sean primos mayores que 2,
entonces:
p = 2m + 1
q = 2n + 1
por tanto:
p + q = (2m + 1) + (2n + 1) = 2m + 2n + 2 = 2(m+n+1) = un número par
p - q = (2m + 1) - (2n + 1) = 2m - 2n = 2(m-n) = un número par

En el caso particular de que p=q=2 entonces p+q=4 (par) y p-q=0 (el cero se considera par)
En el caso de que uno de los primos sea 2 y el otro no, no es posible que p+q ó p-q sean pares...

:-)

#12 — Jesús Gallinal

Leyendo los comentarios previos, apunto lo que
dicen "alex3.0" y "Orkan"...
"alex3.0" comenta la relación que esta
conjetura tiene con la conjetura binaria (o fuerte) de Goldbach, por la que se establece
que todo par mayor que 2 puede expresarse como la suma de 2 primos...
Y por lo que dice "Orkan" la conjetura de Polignac debería expresarse así:
"todo par se puede expresar como la diferencia
de 2 primos", pero es que el enunciado que
se plantea no dice eso, sólo dice que la diferencia de 2 primos es un número par y obviamente eso es una trivialidad tal y como
he demostrado en mi comentario previo...

#13 — AlphaOrionis

Cierto, me temo que el enunciado no expresa bien la conjetura. Dice así:

For any positive even number n, (...) There are infinitely many cases of two consecutive prime numbers with difference n.

Es decir: para todo n par, existen infinitas parejas de primos consecutivos p,q distanciados n.

#14 — Buck

Como han dicho, el problema está enunciado de manera bastante ambigua. Lo que piden es demostrar que existen infinitos pares de números primos (p, q), excluyendo el 2, tal que p - q = n, para todo n perteneciente a los enteros pares.

Es fácilmente deducible que la diferencia de p y q siempre será par, pero me parece que para demostrar tal conjetura necesitariamos por lo menos un algoritmo seguro con el que hallar números primos, lo que por ahora no se ha descubierto.

#15 — Jakc

entendido, muchas gracias :)

#16 — Carlos Burgos

Lo que NO se ha dicho en la entrada es que ambos primos deben ser consecutivos, es decir, que entre ellos no debe haber ningún otro primo.

Y la conjetura sugiere que dada cualquier distancia par, pueden encontrarse infinitas parejas de primos consecutivos separados por esa distancia.

#17 — Orkan

#12 Precisamente p-q=par era una trivialidad, pensé que era lo otro. Y el enunciado de hecho se puede interpretar así, como dije antes, pero como dijo Buck es muy ambigüo.

#18 — jose

En mi opinión es ambiguo si uno se empeña en buscarle la ambigüedad, pero para cualquiera familiarizado no ya con las matemáticas, sino con este tipo de enunciados, es evidente que una vez elegido k, éste ha de ser siempre el mismo.