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El burro y la alfalfa

El burro y la alfalfa es un gran problema que recuperaron en Gaussianos (donde también puede leerse la solución), que es todo un clásico de la geometría, con nombres como el problema de la cabra, el toro o la vaca:

Dos amigos tienen un terreno circular de alfalfa y uno de ellos tiene un burro encadenado a un punto fijo del perímetro (circunferencia). ¿Cuál deberá ser el radio de la cuerda para que el burro sólo tenga acceso a la mitad de la alfalfa?

{Importante: puedes dejar pistas e ideas al respecto en los comentarios, pero recuerda esperar 24 horas antes de hablar abiertamente de la solución, para que los demás puedan disfrutar buscándola. Quien no quiera recibir ninguna ayuda ni pista para dar con la respuesta tal vez prefiera no leer los comentarios.}

70 comentarios

#1 ping Guascast

He entrado en la página y en los comentarios he visto muchas cosas raras, tío... ¿Qué me haces, que tengo 13 años?

#2 ping ObisL

Tiene tela... jajaja, problema de mi primer examen de matemáticas en 1º ing. Que tiempos... que recuerdos...

#3 ping Alex Paz

Una simple regla de tres, ni radios ni nada...


Pondría medio burro y la cuerda da igual que sobre, total, solo se podrá comer la mitad..

#4 ping Pepe

No es difícil. Si no me equivoco, el problema va de un simple cálculo de áreas.

#5 ping Warp

¿Tiene truco? ¿No es simplemente una cuestión de usar la fórmula de la superficie de un círculo y despejar un poco?

#6 ping RenaticO

Lo hice mentalmente en 20 seg si mal no he calculado.
Una pista: Cuerda,hipopotamo,45kilos
XD
Desde que dejé la carrera de ing mecánico por diseñador gráfico no hacía esto, gracias.

#7 ping Asturianuco

No es por nada pero como yo sea el amigo que tiene la otra mitad del prado, le diría que quiero un semicirculo exacto no la forma irregular que me iba a dejar el burro.
Jaja

#8 ping RenaticO

Tengo dudas ahora que estoy haciendo mis gráficos. La alfalfa está solo en el perímetro o en toda el área (claro al decir terreno, me doy cuenta que es toda un área, algo que no lo había meditado en mis 20 seg.).
De ser así, me va a dar una vergüenza 2.0
Ven como si tuve razón en dejar la carrera :S

#9 ping Ala

Es un cálculo de áreas, yo no le veo más. Graciosillo eso si.

Saludos

#10 ping Rafa

A mi me sale esto

R=radio total
r=radio del burro

pi·R^2 = 2·pi·r^2
R^2 = 2·r^2
R=raiz(2)·r
r=R/raiz(2)

Que si no me equivoco es irracional. Parece que tiene sentido.

#11 ping a

Yo tengo otro problema.

¿Contratariais a la gente que dice que lo resolvió facilmente?

#12 ping Errasti

El problema tiene más tela de lo que parece a simple vista, aunque tampoco es complicado del todo.

Una integral en polares y a correr.

#13 ping wachino

el burro no esta en el centro.. si no en un punto de la circunferencia..

#14 ping Filiberto

Parece fácil pero dista, y mucho, de ser trivial.

Por áreas no es posible hacerlo, ya que hay que calcular el área del sector que describe el burro.

Integrales por coordenadas polares tomando 2 intervalos.

Y no digo mas que hay que respetar las 24h.

Un saludo!

#15 ping Simple

Coges la cortacesped, cortas la mitad t se la hechas al burro.

#16 ping Jefe Ryback

Estoy con #14, el problema de sencillo tiene poco (entendiendo sencillo a matemática básica, trigonometría i demás).

Hay que tirar de integrales para hallar la solución y para eso antes se ha de saber plantear esa integral. Porque si se plantea mal, por muco que las ecuaciones deel círculo sean básicas, el resultado es un churro.

#17 ping Gokuh

Habria que ir calculando una parte de la superficie, para llegar a la total.

#18 ping Risk

Yo al principio pensé lo mismo que Rafa, pero viendo que la gente habla de integrales, y que las integrales se me dieron muy mal en su momento y después hice Artes, pues... me espero a la respuesta.

Voy a tener que retomar las matemáticas sólo por diversión XD

#19 ping Xosema

#10 Rafa, eso estaría bien si la circunferencia del burro estuviese dentro de la circunferencia de la alfalfa. Pero si el centro de la circunferencia del burro está justo sobre la otra, entonces por narices una parte del círculo (a.k.a. superficie) del burro estará dentro y otra fuera del círculo de alfalfa, por tanto no es válido tu razonamiento, aunque la intuición así lo diga en un primer momento.

...Qué poquitas ganas tengo de integrar, estoy en modo e^x

#20 ping Alt+126

La solucion ni idea porque ahora no estoy por pensar demasiado pero no sería mas "fácil" calcular el radio teniendo en cuenta que:

El burro al crear el arco dentro de la circunferencia acaba creando un triangulo bordeado por tres areas en arco (dos de ellas iguales)

El proceso es largo de coj*** (porque son varias las ecuaciones que hay que ir mezclando/reduciendo) y por eso ahora no me puedo poner a ello, pero sería la forma que los que no controlamos mas allá de multiplicaciones, divisiones, cosenos y tangentes demos con la solución, no?

#21 ping killerrex

Por suerte no hace falta plantear integrales para resolver el problema, basta con trigonometría de la de toda la vida... con conocer el área de un sector circular, el área de un triángulo y el ángulo inscrito en una circunferencia vale

Como pista, es más sencillo medir el área que deja el burro sin comer, que la que se come...

#22 ping David

La solucion practicamente es la #10 Rafa, da lo mismo donde este el burro, siempre y cuando el circulo formado por la comida del area del burro este entro de la otra.

#23 ping Carlos

#11, yo desde luego que no los contrataría.

Y eso que considero que no es un problema complicado, pero tienes que pararte y echar unas cuantas cuentas, con integrales.

Por ejemplo #10 dice que tiene que coger una cuerda más corta que el radio del círculo. Pues lo primero que se ve en este problema si piensas un poquito y te lees bien el enunciado, es que la cuerda tiene que ser más larga que el radio del círculo.

#24 ping Mero

Miles de veces me he encadenado yo con cuerdas.

#25 ping Kent Mentolado

En mi opinión creo que mucha gente lo está planteando mal. A ver si puedo ayudar:

La alfalfa está rodeada por una valla circular. En un poste cualquiera *de esa valla* está atado un burro. Por tanto, el área por la que puede moverse el burro es otro *círculo*, en parte solapado con el círculo de comida. Lo que se pide es el tamaño de cuerda que hace que la parte solapada mida la mitad de área que la parte con comida.

Es como si en el logo de Mastercard quisiéramos que la intersección del centro tuviera la mitad de área que uno de los círculos laterales :)

#26 ping Cristina

"¿Cuál deberá ser el radio de la cuerda..."

Muy gordo, para que no se rompa y el burro no se coma toda la alfalfa.

Ah, que quería decir "la longitud de la cuerda". :)

#27 ping Draconk

y digo yo al ser una circumferencia perfecta no seria mas facil coger la mitad del radio y listos? mas que na porque el burro haria de "compas" y formaria una circumferencia dentro de la circumferencia que seria exacamente la mitad de la circumerencia (huy que lioso pero con un dibujito se aclara uno xD)

#28 ping Javi

Me hace mucha gracia leer los comentarios de aqui. Seguro que si nos pasamos por gaussianos nadie dice que lo ha hecho de cabeza.
Pero vamos, yo creo que el que no tenga ni idea de integrales, que ni lo intente...

#29 ping Carles

#27 ping Draconk


No te ha leído el problema. Estás pensando que el burro está atado en el centro de la circumferencia, y no es así, está atado en el borde (perímetro) de esta. Aún así, el radio no sería la mitad, sinó, como ya han dicho antes, sería r=R/raíz(2). El resultado de la hierba que ha dejado el burro sería una luna (Creciente o decreciente).

#30 ping Javier

Supongamos un burro esférico de radio igual a 1....

Feliz año a todos!!! (incluido el &..$.%.$&!! que generó este problemilla).

#31 ping Kseso?

Vale, y al burro ¿pon donde lo atamos?
Si es por una pata trasera, falta la "longitud" del animal.
Si es por el hocico, no se necesita porque las patas no comen, pero sí pisan la alfalfa y el amigo dirá que eso también cuenta.
Así que... problema matemáticos/labriegos añadido habemus.

#32 ping Angel

En mi opinión el radio de la cuerda da igual, lo que importa es la longitud.
jaja

#33 ping Lupus

Según está formulado, el problema no es de geometría sino de física. #26 tiene toda la razón, antes de sacar a pasear el Derive, hay que leer.

Este nos lo pusieron en la ingeniería y reformulado puede iterarse una solución a las bravas. Nunca he sido de soluciones elegantes.

#11, no.

#34 ping orayo

No es inmediato. Como han dicho por ahi arriba, integral en polares. Voy a ver si lo saco.

salu2!

#35 ping Peter

Bueno, creo que la solución es facilisima.
Ponemos una valla de un punto de la circunferencia a otro atravesando la mitad y listo. Ah, y la cuerda es para que el burro no salte la valla.

PD: también se pueden utilizar verjas electrificadas, si no te gustan los burros, claro. XD

#36 ping àcrata

Hay que integrar, desde luego, ya que el sector que se come el burro no es para nada definido con una fórmula de superfície conocida. No se trata de un sector circular sin más.

Integrar -> pereza

#37 ping javix19

Estoy con #21, si te fijas en lo que se deja sin comer el burro, sale una luna, de la cual podemos calcular el área en función de R (longitud de la cuerda), la igualamos a (pi·r2)/2, y listo...creo...
y si no tiramos de integrales que es bien facil(si las sabes manejar, claro)

#38 ping Roberh

Yo no se nada de integrales, y hay mucha pereza, pero creo que podria calcularlo probando distintos valores de la longitud de la cuerda y calculando areas, ya que el area de lo que come el burro es igual a 2*el area de lo comprendido entre cuerda y arco(no recuerdo el nombre) siendo la longitud de la cuerda el valor que se le asigno antes a la longitud de la cuerda. No me parece complicado, aunque creo que para hacerlo necesitaria recuperar mi libro de 3º de ESO

#39 ping Roberh

Hum, creo que me he confundido, la longitud de la cuerda* no es igual a la de la cuerda**


*=la del burro
**=la del circulo

#40 ping Mangarran

La solución elegante seria hacer una integral en polares, la solución burra seria decomponer un croquis en integrales más sencillas para hacerlas una a una. Pero si c0ontemplamos que una circunferencia no deja de ser una ecuación de orden 2, cuya area en una zona es muy simple, pues en un ti-ta me planteado en un sobre de eso que te envia el banco para cosas nunca buenas, un sistema sencillo de varias ecuaciones.
A tener en cuenta que la longitud de la cuerda debera ser obligatoriamente mayor que el radio del prado, tambien que justo medio circulo tiene la mitad del area de un circulo. Conforme a la teoria "las gallinas que entran por las que van saliendo" lo que el burro coma de una mitad de un circulo sera lo mismo que lo que no pueda comer de la mitad del circulo en la que esta, y ya es dar muchos datos :P

#41 ping gabi

#37 el area de la zona no comida depende de la cuerda, pero tambien del radio del circulo que traza el burro, el cual no sabemos ¿no?

#42 ping Fran^^

Yo creo que es la mitad del perímetro, menos la distancia del Burro más las ganas de comer del Burro.

Como segunda opción creo que el Burro está fuera del vallado.

#43 ping Camilo

Yo saque esta cuenta muy facil y si bien no me puse a demostrarlo creo que es bastante logico... ahi va
si:

S = Pi * r²

y nosotros necesitamos la mitad de esa superficie la formula seria:

S = (Pi * r²) / 2

Reemplazando nos queda:

raiz²(2S / Pi) = r

Ese radio que nos da es la longitud de la cuerda para que abarque la mitad de la superficie de la circunferencia si el burro esta atado al perimetro

#44 ping José

Ok la solución es un poco complicada pero aqui esta bastante bien explicada:

http://mathworld.wolfram.com/GoatProblem.html

#45 ping orayo

Ayer al leer el planteamiento vi la dificultad del problema, pero al ir a hacerlo vi que todavia era mas dificil!
Me quede atascado al principio mismo porque no sabia donde se cortaban las cincunferencias y por tanto no tenia limites que ponerle a la integral. Ahora que veo la solucion que José ha linkeado en #44 veo que habia que resolver primero ese problema para luego poder atacar al segundo.

Este problema es muy dificil de plantear si no manejas con soltura las matemáticas.

salu2

#46 ping montador

pi*R^2*(1-n/90)=-2*cos(n/2)*sen(n/2)

Ahora es sólo cuestión de dar con el ángulo n formado por el centro de la circunferencia y los dos cortes del burro con la misma.

#47 ping montador

Se me olvidó decir que la longitud de la cuerda del burro es la correspondiente a la mitad del ángulo calculado.

#48 ping killerrex

Bueno, como ya ha pasado el día de plazo, pongo la solución, que no necesita ni integrales ni nada similar:

El campo de alfalfa es un círculo de centro O y radio R, el burro está atado a un punto A de la circunferencia exterior con una cuerda de longitud r.
Como el problema es simétrico respecto a la recta AO, nos quedamos sólo con la mitad superior.
La intersección entre las dos circunferencias es el punto C, el punto B es el simétrico de A respecto a O y la intersección entre la circunferencia A-r y la recta AO es el punto D.
Para terminar de definir cosas alfa es el ángulo OBC y beta es el ángulo ADC.

Aquí el fichero de CARmetal que he usado y un png:
http://rapidshare.com/files/330613037/Burro.zip


La zona a la que el burro no llega a comer es la diferencia del sector circular OBC más el triángulo AOC menos el sector ADC que ha de ser igual a un cuarto del área del círculo de alfalfa
área OBC = alfa/2*R^2
área AOC = R*altura/2 = R*R*sin(alfa)/2
r^2 = (R+R*cos(alfa))^2 + (R*sin(alfa))^2
r = R * sqrt(2*(1+cos(alfa)))
beta = alfa/2 (ángulo inscrito a una circunferencia)
área ADC = beta/2*r^2= alfa/2*(1+cos(alfa))*R^2
Finalmente:
área OBC + área AOC - área ADC = pi/4*R^2
alfa/2 + sin(alfa)/2 - alfa/2*(1+cos(alfa)) = pi/4
sin(alfa) - alfa*cos(alfa) = pi/2
Esta es una equación transcendente que se puede resolver fácilmente con el openoffice.
Sale:
alfa = 109.19 grados
r/R = sqrt(2*(1+cos(alfa))) = 1,158728476

Sin necesidad de integrales complicadas...

#49 ping Carlos

killerrex, ¿quién ha dicho que había que hacer integrales complicadas? Desde luego que son más sencillas que resolver una ecuación trascendente y si puedes usar un ordenador para resolver la ecuación trascendente desde luego que lo puedes resolver para resolver las integrales (y ni hace falta, que no son difíciles de resolver a mano).

No consigo seguir tu razonamiento del todo porque el archivo adjunto no va, aunque me imagino cómo va pero tal como me lo imagino yo tendría que ser donde dices triángulo debería de ser 2 veces el triángulo, donde dices un cuarto la mitad y B=D (lo mismo te refieres a otra cosa).

Bien, lo que yo digo es si 0 es el centro del círculo, A donde está atado el burro y B y C son las intersecciones de la circunferencia original con la circunferencia que puede trazar el burro, pues el área que queda sin comer sería:

La sección circular 0BC+el cuadrilatero AC0B-la sección circular ABC.

#50 ping killerrex

Carlos, la solución al problema es única, ya la hagas integrando a pedal o aplicando trigonometría (que en el fondo no es más que dividir el problema en integrales conocidas)
La solución que planteas es la misma que la que yo pongo, pero yo me he quedado sólo con la mitad del problema, ya que es simétrico respecto a la línea AO. Esto hace que el área de tu cuadrilátero ACOB se reduzca a calcular el área del triángulo ACO, de base el radio del campo de alfalfa y altura fácil de obtener.
El verdadero truco geométrico del problema es obtener el ángulo (en tu notación) ABC en función del OBC, para lo que se aplica el teorema del ángulo inscrito http://mathworld.wolfram.com/InscribedAngle.html

El archivo que he puesto contiene un png con el dibujo y el fichero del CARmetal que he usado para generarlo (http://db-maths.nuxit.net/CaRMetal/index_en.html)

#51 ping Carlos

Ya sé que la solución es única, pero lo que pasaba es que no se podía descargar tu dibujo en ese momento, por eso he intentado explicar algo similar a lo que suponía que habías puesto.

Y ahora que me doy cuenta, veo que al leer tu explicación me salté un trozo no sé como, que es donde explicas lo que es cada punto. Así que ahora me doy cuenta de que mi respuesta sí que sobraba.

#52 ping manutenfruits

Mecaguntó, siempre me equivoco y pongo la fórmula de la longitud de la circunferencia (2PiR) ¬¬

#53 ping killerrex

Por eso puse el dibujo, con la explicación en texto de los problemas geométricos siempre me pierdo.
Perdón Carlos, cuando digo que es única no me refiero al número (que también, claro), si no a la dificultad: puedes encontrar expresiones más o menos fáciles para resolver alfa, pero lo que nunca vas a lograr es una expresión explícita (p.ej. las integrales tendrán que ser numéricas)
Algo así como el coeficiente mínimo de chunguez del problema, siempre te puedes complicar la vida más, pero si llegas a una ecuación transcendente, no te la puedes complicar menos... el caso más famoso es la ecuación de Kepler (por cierto, bastante parecida :D)

#54 ping Carlos

Es lo que pasa con los números trascendentes :D

#55 ping Draugur

Pues yo pienso que es mucho mas facil calcularlo con integrales en polares. Dividiendo el problema en dos (y calculando solo la mitad superior), delimitado por el punto de interseccion. Calculamos el sector circular que va desde theta = 0 hasta theta = alfa (que deberemos encontrar haciendo que el area al que llega el burro es (PI*R^2)/4) y la otra zona que va desde theta = alfa hasta theta = PI/2 en la que la integral en polares que habra que hacer, sus limites estan entre r = 0 hasta r = 2*R*cos(theta) para cada theta.

Haciendo las dos (sencillas) integrales de areas llegamos la ecuación en alfa que deberemos resolver numéricamente que es:
2*alfa*(cos(alfa))^2 - alfa - sen(2*alfa) - PI/4 = 0
y sabiendo que r=2*R*cos(alfa) ya esta la solucion que es la misma

#56 ping Leiva

El método para el cálculo creo que es muy similar al que seguí para determinar un método para estimar el valor de pi.

El método se basa en aproximar el área de una serie de circunferencias superpuestas de idéntico diámetro con sus centros alineados en una misma línea recta, al área del rectángulo que los circunscribe. El primer paso es calcular el área sobresaliente en dos circunferencias solapadas


http://leiva.espacioblog.com/post/2007/08/10/metodo-el-calculo-pi

#57 ping David

Jajaja, el problema no es el calculo del area, es leer bien, jaja a la primera leida el burro se me habia arrancado. jaja

#58 ping Paco

Vamos a ver.............................
El problema dice

"Dos amigos tienen un terreno circular de alfalfa y uno de ellos tiene un burro encadenado a un punto fijo del perímetro (circunferencia). ¿Cuál deberá ser el radio de la cuerda para que el burro sólo tenga acceso a la mitad de la alfalfa?"

Es decir, se da a entender que cada uno de ellos tiene un terreno circular de alfalfa. Supongamos que estos terrenos están bastante lejos uno de otro (para que no se complique demasiado el problema). Bien, si la longitud de la cuerda es de el diametro del círculo, el burro come toda la alfalfa que hay en ese círculo, que es la mitad del alfalfa total (la otra mitad la tiene el otro amigo).

¿Qué decís de integrales polares???

#59 ping Carlos

Paco, si yo digo "mis padres tienen una casa" ¿tú que entiendes? ¿Que tienen una casa cada uno? No sé tú, pero cualquiera entendería que hablamos de una sola casa. Lo mismo pasa aquí.

#60 ping Tzarowskih

Carlos, si te digo: "Todos mis amigos tienen dos piernas". ¿Cuantas piernas tienen mis amigos en total?

#61 ping Carlos

¿Cómo quieres que te conteste si no me has dicho cuantos amigos tienes? :D

La diferencia entre tu afirmación y la mía es que las piernas son algo que no se comparten (en el sentido que todos hemos entendido de tener en su cuerpo y tal) y las casas (o terrenos de alfalfa) sí pueden pertenecer a varios.

Si me dices "Todos mis amigos tienen una casa donde vivir" y me preguntas que cuantas casas tienen en total, pues no sabría decirte si una por amigo o algunos de ellos comparten la casa donde viven.

Y dejo ya de discutir tonterías de estas, que el enunciado del problema está bastante claro (incluso donde pone radio de la cuerda, todos sabemos que es una errata y debería de poner longitud, y que nadie venga con que habrá que tener en cuenta la longitud que se pierde al atar el burro :D ).

#62 ping cuninawa

los dos amigos tienen un terreno circular, pero quien nos dice que sea el mismo terrreno. Puestos a ser dioses decido que ambos tienen un terreno del mismo tamaño. Entonces basta con que el burro tenga la cuerda del tamaño del radio de uno de los terrenos y comera la mitad exacta

#63 ping Tony

Tal y como esta planteado el enunciado, las soluciones son incorrectas. En este caso, la solución dependería de la fuerza del burro, puesto que se pregunta: "Cuál deberá ser el radio de la cuerda" El radio de la cuerda, o lo que es lo mismo, la mitad del grosor que ha de tener la cuerda.

Un saludo

#64 ping Javier

Las soluciones expuestas hasta acá están mal planteadas, excepto #63 (Tony), quien da con el punto central ... el radio de la cuerda ... por supuesto, para contener al burro ... ya sabemos que los burros aparte de fuertes son tercos, así que la cuerda debe ser bastante gruesa ... le sumo a la respuesta de #63, el tiempo, pues el burro no se comerá la alfalfa de un tirón.

#65 ping QuizasYo

Cielos!... ¿de verdad considerais que cosas como que hablar del grosor de la cuerda (¿Cómo demonios resuelves eso sin datos como el material de la misma?) o de que haya dos campos de alfalfa (¡seriedad, hombre, que no es una adivinanza infantil, es un problema matemático!) y cosas parecidas avanzan hacia alguna solución?.

El camino está claro y os lo han marcado desde el primer momento. Es un tema de áreas y el dibujito os lo pintan aquí http://www.microsiervos.com/images/burro-alfalfa.jpg por si aún no os queda claro. ¿Sois capaces de encontrar la longitud del radio pintado sobre la superficie azul para que ésta sea igual que la verde?. Pues de eso se trata.

#66 ping Mariano

hay otra solución...
un hachazo al burro y listo, no come nada!

#67 ping AntonioSastre

La solución del problema es bastante sencilla. Al leer el enunciado vemos que el burro está encadenado a un punto del perímetro, esto es, con una cadena.

Supongamos entonces que la longitud de la cadena que apresa al burro es suficiente larga como para permitir que este se coma más de la mitad de la alfalfa, si no, no tendría sentido el problema por que si el burro con su cadena no se puede comer la mitad, ¿Para qué quiere una cuerda? La cuerda se usará para delimitar el terreno.

Y yo diría que esta sería exactamente de un diámetro de longitud. Sería una cuerda de longitud un diámetro colocada formando un diámetro en dos puntos del perímetro del terreno circular. La cuerda entonces haría de cerca para que el burro no pasase a la otra mitad del terreno.

#68 ping tevendonline

Es un problema de superficies:
r=R/raiz(2)

#69 ping Gerard

Con que el problemilla de gaussianos.com eh?
No es tan sencillo como parece. El problema básico es que haces los calculillos y te queda una ecuación que no se puede despejar (de hecho, no lo he demostrado, pero así parece).

Sin embargo, siempre nos quedan las aproximaciones numéricas para ecuaciones implícitas...

#70 ping SkyWatcher

Yo estoy con #67 , para q comerse tanto el tarro. yo colocaría una valla en línea recta q cruzase por el centro del terreno, la cual delimitaría dos mitades perfectas del mismo. impidiendo asi al burro comerse la mita de la alfalfa y sólo dándole acceso a su mitad delimitada siempre y cuando la longitud de la cadena se lo permitiese, q poniéndonos en el peor de los casos debería medir 2r.