Por @Alvy — 19 de Junio de 2009
X e Y son dos enteros mayores que 1 y distintos. Su suma es menor que 100.

S y P son dos matemáticos: a S se le enseña el resultado de la suma de X + Y y a P el producto X × Y. Entonces sucede la siguiente conversación entre ellos:

P dice: «No puedo saber cuáles son los números»

S dice: «Estaba seguro de que no podrías»

P dice: «Entonces ya se cuáles son»

S dice «Si tú puedes hallarlos, entonces yo también puedo»

Este problema se conoce como El problema imposible o El problema de los dos matemáticos; existe en múltiples variantes y se publicó por primera vez en 1969 en el Nieuw Archief Voor Wiskunde. El nombre lo acuñó posteriormente Martin Gardner.

Se trata de un problema en el que parece faltar información con la que hallar la solución, pero precisamente saber eso permite hallarla.

Pueden verse diversas versiones en The Impossible Puzzle y un análisis completo {incluida la solución} en The Impossible Puzzle: Sum-Product Problem. El Dr. Marth también trató el tema y lo explicó en Two Mathematicians Problem.

Realmente es complejo, no imposible pero si muy, muy difícil, y resulta muy entretenido encontrar la solución sin buscarla por ahí.

Hay otro similar, que nos recomendó Garincis (y que es a través del cual llegué a este) con cartas de la baraja: A Courious Conversation en el siempre recomendable blog Futility Closet.

{Importante: puedes dejar pistas e ideas al respecto en los comentarios, pero recuerda esperar 24 horas antes de hablar abiertamente de la solución, para que los demás puedan disfrutar buscándola. Quien no quiera recibir ninguna ayuda ni pista para dar con la respuesta tal vez prefiera no leer los comentarios.}

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23 comentarios

#1 — Cornelio

Y, además, uno de los matemáticos es calvo.

#2 — rafa

desde que existe la wikipedia ya ni pienso ni discuto, solo lo busco. soy un esclavo de la wikipedia, lo siento, lo reconozco, estoy volviendome inutil y asocial, pero es que da tanto gusto encontrarlo todo en la wiki

pd: es importante saber que uno de los matematicos es de cuenca

#3 — sherekan

Es mucho más fácil de lo que parece; solo hay que pensar un poco... ademas un de los matematicos es comunista xD

#4 — Franky

Supongo que la clave estara en buscar los factores primos del producto o algo asi...

#5 — Valgard

La gracia debe de estar en que el número que se dice a S es el resultado de dos sumas de dos números distintos (que dan el mismo valor), de aquí a que S no lo sepa de antemano, en cambio el producto sí tiene que ser inequívoco, ya que seguramente P ya lo sabe y puede deducirlo (y cuando descubre qué números son, sabe que S no puede ssaberlo de antemano).

Aunque le estoy dando vueltas y no estoy seguro del todo.

#6 — carlos

si que es difícil... sobre todo si además sabemos que uno de los matemáticos es daltónico...

=)

no son tantas las iteraciones a realizar, si sumados suman 100... con un lápiz y un papel, algo de tanteo, puede que no sea tan difícil.

sobre todo por el múltiple resultado esperado tanto en la suma como en el producto, como ha dicho Valgard.

/

#7 — Baro

#6 carlos, fijate bien, la suma es menor que 100. Nisiquiera sabemos cuanto es S.

Lo que tenemos es el sistema

x+y=S

x*y=P

Y no sabemos ninguno de estos numeros, pero tenemos las condiciones:

x>1

y>1

SY además. de la conversacion se deduce que:

La factorización de P no es única para dos factores (P no es producto de dos numeros primos).

Sabiendo S, no se puede saber x e y (aunque eso solo nos quita el caso x=2, y=3... que ya se descarta con la condición anterior)

Sabiendo S, se sabe que la factorización de P no es única. No sé qué quiere decir esto a nivel formal, ni como se puede saver tal cosa.

Aun no me he puesto a ello, pero supongo que se podría consegir alguna relacion entre S y P, y luego imponiendo las condiciones sacar poco a poco los números. Si se saca una incognita y S o P la otra incognita es trivial. Si sacamos S y P el problema se convierte en uno de averiguar dos numero naturales que sumen tanto y su producto sea cuanto.

#8 — Jack Ryder

A ver. Yo soy de letras, así que no lo voy a intentar demasiado y no me voy a sentir inútil si no lo saco, ¿os parece? :P

Veamos. Lo que sabemos es que P no sabe cuáles son los números hasta que descubre que S tampoco lo sabe... y que S no los descubre hasta que lo hace P. No sé a vosotros... pero a mí eso me sugiere que cada matemático estaba trabajando en el problema del otro.

Es decir: supongamos, yo esto lo lanzo al aire y alguien que sepa más de matemáticas que vea si se puede aprovechar, supongamos que P tiene unas cuantas opciones, pero que no puede determinar cuál de todas es. Por poner un ejemplo, si el resultado es 40 podría ser tanto 8*5 como 4*10 como 2*20. Sin embargo, al saber que S no puede saber cuáles son sus números, descarta alguna opción.

¿Cómo? Tenemos otro dato... La suma de ambos números es menor que 100. Por volver al ejemplo de antes, si el resultado fuese 400 en lugar de 40 los números podrían ser 80*5, 8*50, 4*100, 40*10, 2*200 o 20*20. Ahora bien, si los sumamos obtendríamos 85, 58, 104, 50, 202 y 40. Ya podéis ver que hay dos resultados que quedarían inmediatamente descartados porque su suma es mayor que 100.

Me parece que así es como P descubre sus números. Sospecho que tiene unas cuantas opciones, pero que algunas de ellas quedarían anuladas por la regla de que la suma de ambos números es menor que 100. Lo que no se me ocurre es cómo descubre S sus números...

... a ver, los que sepáis de matemáticas. ¿Qué me decís? ¿Creéis que voy demasiado desencaminado? No lo voy a resolver, SÉ que yo no lo voy a resolver, pero ¿creéis que puedo haber empezado a seguir el razonamiento correcto? Dicho de otra forma... ¿he ayudado en algo?

#9 — RedWar

#8 ¿Crees que A.K. estará detrás de este enigma?

#10 — Qwert.V0

Por ahi van los tiros Jack ... A ver si puedo explicarlo facil.

La suma S de los dos numeros debe ser tal que de todas las posibilidades X+Y=S en ninguna de ellas sean X e Y primos, puesto que en ese caso S no podria estar seguro de que P no acertaria.

Por ejemplo S=16 ¿seria posible? ... NO ... puesto que una de las posibles sumas seria 11+5 y S no podria estar seguro de que P no iba a acertar al estar viendo 55 como producto.

Supongo que de entre todas las posibles sumas de 6 a 99 solo habra una en la que se cumpla lo anterior.

Asi descubre P la suma y pro lo tanto los numeros.

Luego miro como lo descubre S.

#11 — Qwert.V0

Continuo con lo que explicaba en #10

Suponia que solo habria una S que cumpliera la condicion (de todas las posibles X+Y en ninguna son los dos primos) y en ese caso P lo tenia resuelto. Pero no. He hecho un tanteo con excel y hay unas cuantas ...

S=11 (2+9)(3+8)(4+7)(5+6) cumple ... no hay pareja de primos

S=17 (2+15)(3+14)(4+13)(5+12)(6+11)(7+10)(8+9)

Tambien cumple S=23 etc ... un primo si y otro no :)

En ese caso ... ¿Como descubre P la tostada? se preguntara S

P esta viendo el producto si ve que encaja con una sola pareja ya lo tiene, sabe la suma. Pero si ve que encaja con mas de una pareja que estan en series distintas no podria estar seguro de que suma utilizar para despejar. Como P esta seguro, S no tiene mas que hacer los productos de las parejas y eliminar las que le salga lo mismo en mas de una serie.

Por ejemplo ... P no podria tener 30 como producto, por que entonces no sabria si

S=11 (5+6) ... 5*6=30

ó

S=17 (2+15) ... 2*15= 30

Supongo (otra vez) ... que cuando se eliminen los productos repetidos de las parejas quedara solo uno que es el que tiene P.

#12 — kbziya

esto no es justo. estos problemas debeis ponerlos después de examenes que si no pierdo el tiempo en intentar resolverlos jejeje... ¿Quién dijo que es necesario los videojuegos estos que hay de moda hoy en dia para darle al coco? Esto es mucho mejor y sólo necesitas darte un garbeo por la red!!!XD

#13 — Lord of Winter

No entendí nada.
Me cabe por ser nw.
Estoy muy al pedo.
Watashi wa Hitsugaya Toushirou desu.
Jesho (Headshot).
Menos mal que Augusto no tiene internet.
Me gusta la leche con chocolate.

#14 — kkab

Pues he mirado la solución, y me imaginaba algo así, aunque no lo he pillado kjakjakjkaja

#15 — Angel

Buenas,

Ya han pasado practicamente las 24 horas, asi que dejo la respuesta. Es un problema que ya resolví hace bastante tiempo.

La respuesta es 13 y 4.

Pistas para resolverlo: si el de la suma YA SABIA que el del producto NO PODIA saber los numeros, es evidente que el de la suma no puede tener un numero que, potencialmente, pueda ser la suma de dos primos. Por ejemplo, si S hubiera tenido el numero 20 entre las manos, podría suceder que los números fueran 13 y 7, que ambos son primos. Si os fijáis, 13+4=17. Si intentáis cualquier combinación, os daréis cuenta que no hay ninguna pareja de primos que sume 17.

Con razonamientos similares, de eliminación, se saca el resultado final.

#16 — Omar

Antes que nada comentarles que soy fanático de este tipo de problemas (matemáticos, lógica, etc) y me emboto buscando las solcuiones y para este problema en particular y para empezar quisiera saber de donde sacan que son numeros primos ó cosas cosas por el estilo, el problema solo menciona "que son numeros enteros mayores que 1, distintos entre si y cuya suma es menor a 100"...

Con estas premisas hay bastantes combinaciones posibles...

Que pasa si a P le dicen que el producto es 80 las combinaciones pueden ser: 2x40, 4x20, 8x10, 16x5 cada uno de estos 8 numeros cumplen con la sentencia inicial "que son numeros enteros mayores que 1, distintos entre si y cuya suma es menor a 100" y con estas posibilidades no puede definir cuales son...

Por eso P dice que no sabe cuales son los números...

Y S sabe que no podría pues hay varias combinaciones...

Por otro lado S tiene la suma de ellos suponiendo que la suma es 21 (16+5) entonces si P le dice el producto sabrá que de la combinación de numeros que suman 21 (2y19, 3y18, 4y17, 5y16, 6y15, 7y14, 8y13, 9y12, 10y11) 6y7) y multiplicados entre si dan 80 que son 5 y 16...

De donde sacan información de numeros primos y esas cosas, en la versión en inglés tampoco menciona nada al respecto...

Las combinaciones son muchas...

O en que estoy mal?

Saludos...

#17 — Qwert.V0

Hola Omar,

Se trata de encontrar los numeros con los que es posible que P y S digan lo que dicen. Si a P le dan 80 como producto, alguno no podria decir lo que dice.

#18 — Roberto

Después de un rato con él acabé sacándolo. Aunque eso sí, con ayuda del excel, porque he utilizado algo de "fuerza bruta" para obtener la solución.
Efectivamente como dice Angel es el 4 y 13. Si alguien tiene curiosidad le puedo mandar el archivo, viene con una miniexplicación del proceso de obtención.

Un saludo.

#19 — Qwert.V0

Hola Roberto,

Yo tambien utilice excel para sacarlo. Me gustaria ver tu archivo y si quieres te mando el mio.

Qwert.V0@gmail.com

#20 — Carlos

La solución es 4 y 13. Pongo aquí la explicación completa con todo detalle:

S sabe que P no puede saberlo porque 17 no es la suma de 2 primos. P entonces descubre que la suma que tiene S no es la suma de 2 primos. Como el dato de P es 52 sabe que las posibles soluciones son 2 y 26 o 4 y 13. Sin embargo 2 y 26 no puede ser ya que la suma es 28=5+23 por lo que deduce que es 4 y 13. ¿Cómo sabe S la solución ahora? Pues él tenía que la suma era 17. Le basta coger todas las soluciones posibles (2 y 15, 3 y 14, 4 y 13, 5 y 12, 6 y 11, 7 y 10, 8 y 9) y ver con los productos de cada par ver cuantos les permitiría a P hacer un razonamiento similar al expuesto antes y el único caso es 4 y 13.

Si el problema tiene solución única tiene que ser la anterior. Veamos ahora que tiene solución única (que los matemáticos conociendo un dato la sepan no significa que nosotros tengamos que ser capaces de saberla).

La suma no puede ponerse como suma de 2 primos por lo que dice S así que se descartan todos los pares (conjetura de Goldbach que no se sabe si es cierta pero desde luego que para números tan pequeños lo es). Así que la suma tiene que ser de la forma un número impar no primo más 2. Los casos que hay son:

11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 51, 53, 57, 59, 65, 67, 71, 77, 79, 83, 87, 93, 95, 97.

Además la suma no puede ser mayor que 55 ya que en tal caso, S no podría asegurar que uno de los 2 números no fuese el 53 y en caso de ser así P habría sabido la solución así que nos descartamos unos cuantos casos más y nos quedamos sólo con

11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 51, 53.

Tenemos que descartar todos los números anteriores salvo el 17 y con eso terminaríamos. Caso por caso:

11. Si la suma fuese 11, P podría haber sacado la solución en el caso de ser esta 2 y 9 o 3 y 8 y por lo tanto S no podría saberla.

23. P podría haber sacado la solución si es 4 y 19 o 7 y 16.

27. P podría haber sacado la solución si es 4 y 23 o 8 y 19.

29. P podría haber sacado la solución si es 2 y 27 o 16 y 13.

Con el mismo razonamiento:

35.... 31 y 4 o 19 y 16.
37.... 29 y 4 o 32 y 5.
41.... 4 y 37 o 25 y 16
47.... 4 y 43 o 16 y 31.
51.... 4 y 47 o 8 y 43.
53.... 16 y 37 o 4 y 49.

Con esto termina todo el razonamiento.

Nota: si un número se puede poner como potencia de 2 más un primo de dos formas distintas se descarta y eso es lo que nos ha pasado con todos salvo el 29, el 41 y el 53 y en estos casos hemos buscado potencias de 2 más potencias de primo.

#21 — trompao

Me perdí hacia la mitad de #20, pero antes de mirarlo creí dar con una solución: 3 y 8.

A P le dicen 24, que puede ser producto de 12x2, 8x3 y 6x4, lo que explica la primera linea de la conversación.

A S le dicen 11, que puede ser resultado de 2+9, 3+8, 4+7 y 5+6. Si multiplicamos cada pareja de números nos da un número que puede ser producto, a su vez, de mas de una pareja que cumple las condiciones: 18 (2x9, 6x3), 24 (12x2, 8x3, 6x4), 28 (14x2, 7x4), 30 (15x2, 10x3, 6x5). Lo que justifica la contestación de S a P.

Si S sabía que la solución de P no trivial es por que las todas las posibles parejas que baraja para su número proporcionan, al multiplicarlas, soluciones que podrían ser el producto de mas de una combinación de números que cumplan las condiciones.

P se plantea 3 opciones, que la suma sea 14 (12+2), 11 (8+3) o 10 (4+6):

S=14 (=2+12, =3+11...) 3x11=33, que no puede ser producto de otra pareja de números, por lo que la solución de P sería trivial. S no puede ser 14.

S=10 (=2+8, =3+7...) 3x7=21, que no puede ser producto de otra pareja... S no puede ser 10

S=11 (=2+9, =3+8, =4+7,=5+6)

2x9=18 (=2x9, =3x6)

3x8=24 (=2x12, =3x8, =4x6)

4x7=28 (=2x14, =4x7)

5x6=30 (=2x15, =3x10, =5x6)

por lo que S sabe que para P no habrá solución inmediata. Así sabe P que el número que le dan a S es 11, y la única combinación posible es 3 y 8.

Q. E. D. No sé si me explico.

#22 — Maq

Yo he estado unas cuantas horas con el excel... algo así como 15 en 3 sesiones... y cuando he acabado me he dado cuenta de que la mitad del trabajo era superfluo. Pero aún así, me parece que sacarlo con papel y lápiz ¡es de chinos! No lo recomiendo.

#23 — Ignacio

La verdad es que yo tengo una solución "informática" que es fácil de entender.

Si queda alguien leyendo este hilo que lo diga y la expongo.

Eso sí, aviso de que requiere conocimientos de SQL.

Saludos.