Por @Alvy — 19 de Agosto de 2010

Pastel de Cumpleaños (CC) Theresa Thompson¿Cuánta gente hace falta en un grupo para que la probabilidad de que dos de ellas tengan la misma fecha de cumpleaños (día y mes) sea mayor que el 50 por ciento?

La sorprendente respuesta es 23. Un número tan reducido que se antoja casi paradójico respecto a todas las fechas posibles que hay en un año. Es algo que en cierto modo desafía a la intuición, que a simple vista lleva a pensar que haría falta más gente.

La clave del asunto es que pueden coincidir las fechas de dos personas cualesquiera del grupo, no necesariamente la tuya o la de alguien en concreto, y que las combinaciones de parejas posibles aumentan más rápido de lo que parece cuanta más gente participe en el problema. El valor exacto de 23 no es demasiado complicado de calcular.

Otra forma de verlo es que en una clase con 30 ó 40 personas es más probable que dos de ellas compartan cumpleaños a que todas tengan fechas diferentes.

Esto se conoce como La paradoja del cumpleaños o El problema del cumpleaños y ya hace tiempo que en Gaussianos le dedicaron una anotación completa y con mucho detalle que los interesados en esas curiosidades probabilísticas apreciarán. Técnicamente no es una paradoja, pues no hay una contradicción lógica, aunque se le suele llamar así porque el resultado resulta chocantemente alejado de lo que indica la intuición a la mayor parte de la gente.

Una idea interesante al respecto es hacer la prueba en la próxima reunión de gente a la que vayas: no siempre funciona, pero es más probable que aciertes a que te equivoques.

{ Foto (CC) Theresa Thompson. Publicado originalmente en Microsiervos en enero de 2008.}

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18 comentarios

#1 — Carlos

Cuando hice 4º de ESO (unas 30 personas en clase) había un día del año en el que 3 personas celebraban su aniversario y al día siguiente, otra persona también celebraba el suyo.

Es altamente curioso el post.

#2 — Carlos

Para ver que no es tan intuitivo yo lo plantearía así. Si tú eres uno de los 23, tienes una probabilidad cerca de un 6% de que alguien más cumpla años el mismo día que tú. Ese 6% lo tienen todos así que siendo 23 no es tan anti-intuitivo que entre los 23 se lleve al 50% ya que 23x6%>100% aunque claro, las probabilidades no se suman así que esta última cuenta no sería correcta (pero muestra al menos que no es raro el resultado).

La cuenta exacta es fácil de hacer. Vamos a ver el número de casos posibles que hay en el que todos cumplan años en días distintos. Numeremos las 23 personas (y pasemos de los años bisiestos).

La primera podría cumplir años cualquiera de los 365 días del año.
La segunda en los 364 restantes.
La tercera los 363 restantes.
...
La 23 los 365-22 días restantes.

Así que tendríamos todas estas posibilidades:

365x(365-1)x(365-2)x...x(365-22)

¿Y los casos totales? Pues todos podrían cumplir años cualquier día, independientemente de los demás así que sería 365^23.

Así que la probabilidad de que nadie cumpla años el mismo día será

365x(365-1)x(365-2)x...x(365-22)/365^23

y la probabilidad de que alguien coincida será 1-lo anterior = 0.507297...

Con 22 habría dado 0.47475...

Si hubiese considerado 366 días en vez de 365 habría sido similar, para las cuentas anteriores habría salido también que 23 es justo el número. Eso sí, para hacerlo bien tendríamos que tener en cuenta que el 29 de Febrero es un día menos probable que el resto, pero aún así, el resultado sería similar.

#3 — unoquepasaba

no hay mejor manera de comprobar que con el facebook... yo tengo 43 amigos y NINGUNO cumple en mi mismo dia.. 1 solo, lo hace al dia siguiente...

#4 — Alvy

«unoquepasaba»: vuelve a leerlo porque no lo has entendido. El error que has cometido es precisamente el típico que produce el paradójico efecto.

La probabilidad de que alguien cumpla el mismo día que tú es de 1/365, así que entre 43 amigos es del solo 43/365 = 12%.

Sin embargo si les preguntas a los 43 si hay algún cumpleaños común *entre cualquiera de ellos* la probabilidad es mucho más alta, en este caso es del ~92%.

Compruébalo con tus 43 amigos y nos cuentas.

#5 — Duncavero

Este año hice este problema en clase de estadística aplicada y me chocó mucho...
El profesor, que es un crack, nos enseñó el estudio llevado a la práctica con coincidencias de dos y tres cumpleaños con las fechas de nacimiento en los partidos de fútbol de una jornada de la liga inglesa. Tienes 23 personas al azar (11 jugadores del equipo A, 11 del B y 1 árbitro) y unos 10 partidos. Los datos entre casos esperados y los que se cumplían se ajustaban mucho.

Yo este verano gané una cena con mi hermano que no se lo creía ni de coña. Tenía la guía Marca del mundial (en cada selección había 23 seleccionados)... sólo contando las 5 primeras selecciones ya había 3 casos. Desistió y me gané un delicioso chuletón de buey!

#6 — gt7h1

No se me había ocurrido lo de probar en el Facebook a ver si se cumple o no. En mi caso, de 31 contactos que ponen su fecha de nacimiento... ninguno de ellos coincide con el de nadie.

Aunque alguien tiene la misma fecha que mi hermano y mi primo (que no tienen cuentas en FB), así que casi.

#7 — Carlos

Alvy un detalle en lo que dices en #4 (el contenido general del comentario es correcto).

Lo que dices de que la probabilidad de que él coincida con alguno de sus amigos es 43/365 no es correcto, es algo menor ya que no tienes en cuenta que 43 amigos no implican 43 fechas de cumpleaños distintas. El porcentaje si no me he equivocado al calcularlo sería

11.13%

que lo he calculado teniendo en cuenta de que la probabilidad de que ningún amigo cumpliese con él sería 364^43/365^43.

Un saludo.

#8 — jacz

vaya, yo ya había leído esto en Naufragio en el mar selenita, de Clarke. Pero en la novela no le dan explicación alguna, sólo queda como anécdota.

#9 — Rancor

Raymond Smullyan o Martin Gardner (no recuerdo cuál de los dos) contaba en uno de sus libros que solía ponerles como reto esta "paradoja" a los alumnos de las clases que daba, tomando la misma clase como la población del problema y creando la normal disensión entre ellos antes de que se aclarase todo con la solución. Sin embargo, en una de sus clases no hubo ninguna discusión, y todos parecían estar de acuerdo en que era muy probable que entre ellos dos tuvieran el mismo cumpleaños. Ésto le extraño, hasta que se dio cuenta de que en la clase había gemelos.

#10 — Nuria

Bueno, yo ni el facebook necesito, en mi propia familia hay varios casos de gente que cumplen años el mismo día.

#11 — Alvy

#7 Carlos: correcto, gracias por corregir ese detalle.

Precisamente he visto que hoy en el blog Números están tratando esa misma situación.

#12 — gonzalo

Primero, yo también estoy sorprendido
Pero hay un par de cosas que no tenéis en cuenta queridos matemáticos calenturientos...

Uno: A lo largo del año hay fechas con mucha más densidad de cumpleaños. Abril y Mayo por razones veraniego-vacacionales obvias

Dos: En cuanto a la comprobación entre futbolistas...No sé donde leí que es muy común que éstos hayan nacido en los primeros meses del año porque desde pequeños eran los más grandes y se acostumbraron a ser los que más jugaban.

Teniendo esto en cuenta de 23 se reduce a...necesito un matemático.

#13 — Carlos

#12, habría que saber cómo están repartidas las probabilidades exactamente.

Lo que dices de los futbolistas es cierto, pero dependiendo del país. En Canadá los jugadores de hockey sobre hielo se concentran en septiembre porque en el colegio van por años cumplidos, no por año de nacimiento (así que cumplir antes o después del verano te lleva a un curso u otro).

#14 — lu

#12

jajajajaja cierto! la primera razón se la tengo comentado a mucha gente, conozco a varias personas nacidas mi mismo día (mediados de abril) y muchas en días siguientes/posteriores.

que tal una encuesta de "en qué mes naciste?" para tener algo de datos "científicos"?

#15 — SandMan

¿Y qué tres primos nazcan el mismo año y el mismo día pero de diferentes meses y con justamente 6 y 3 meses de diferencia?

Los tres nacimos un día 14, en el año '78, pero en febrero, agosto y noviembre...

Y sí, yo he coincidido con un amigo en grupo mucho menor de 23 personas que cumple días el mismo día y mes, pero con cuatro años de diferencia ;)

#16 — Ángel

Yo cumplo el mismo día que mi madre y somos 4 en casa xDDD

#17 — Ángel

Yo cumplo el mismo día que mi madre y somos 4 en casa xDDD Y tengo 2 primos que nacieron al mismo tiempo (de diferentes madres, está claro)

#18 — Gerardo

No sólo es que la lógica te diga lo contrario de lo que dice la matemática. Es que la realidad también.
Cuando iba al colegio, todos teníamos una hoja con los cumpleaños de toda la clase. Las clases nunca eran de menos de 40 alumnos. Y no recuerdo ningún año desde EGB a COU (qué mayor soy) en la que hubiera dos cumpleaños coincidentes.
Además, no siempre estábamos los mismos alumnos en la clase. Se iba rotando y cada año se iban alumnos y entraban al colegio otros.