Por @Alvy — 9 de Noviembre de 2010

Un juego de números que nos envió Juan:

Se trata de encontrar el número natural más pequeño que cumpla las siguientes condiciones:

(1) que su mitad sea un cuadrado perfecto

(2) que su tercera parte sea un cubo perfecto

(3) que su cuarta parte sea un natural elevado a la quinta potencia

Dicho de manera más matemática, encontrar A tal que A/2=p2, A/3=q3 y A/4=r5, siendo A, p, q y r pertenecientes a los naturales { 1, 2 , 3, 4...}

{Importante: puedes dejar pistas e ideas al respecto en los comentarios, pero recuerda esperar 24 horas antes de hablar abiertamente de la solución, para que los demás puedan disfrutar buscándola. Quien no quiera recibir ninguna ayuda ni pista para dar con la respuesta tal vez prefiera no leer los comentarios.}

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52 comentarios

#1 — Carlos

Para que la gente no vaya probando de uno en uno, aviso de que el número que sale (si no me he equivocado) es bastante grande, supera las 10 cifras.

#2 — zhantyzgz

0.
(0/2)sqrt=0
(0/3)cbrt=0
(0/5)5rt=0
(se puede contar como numero natural)

#3 — maz

el 0 no pertenece a los numeros naturales. si fueran enteros entonces si, pero a los naturales no

#4 — Miquel

Como pista, a mi me ha ido bien expresar el número que buscamos "A" como producto de sus factores primos (deducibles a partir del enunciado) y ver qué condiciones tienen que cumplir los exponentes de estos factores.

#5 — An3

Por supuesto, resolverlo con un iPhone / iPod /iPad puntúa doble, no lo olvidéis!!

#6 — Luis

Y a los que lo hagais en java, recordad el micro error de los tipos double, que me ha costado un disgusto...

#7 — Luis

Graficarlo y ver en que punto se intersectan.

#8 — Carlos

#5, depende del sitio el 0 se considera natural o no. Si te das cuenta, en el enunciado que han puesto es que no.

#9, este problemilla se resuelve más rápido que lo que tardas en escribir el código!!! Por otro lado, con lo tocho que sale el número el ordenador se debe de tirar un ratillo, ¿no?

#9 — Numerín

maximino tiene razón.

Obsérvese que tiene únicamente dos factores primos, 2 y 3, esa es la clave. Es el menor número que cumple las condiciones del problema.

#10 — Alguno

#9 meeeeeeec! ERROR!
El número es múltiplo de 12!!!
Es múltiplo de 2, 3 y 4, por lo tanto es múltiplo de 12.
A mi me sale un número de 13 cifras

#11 — Asdrubal

Ya obtuve el numero, me llevo unos 15 minutos.

El numero es de 13 cifras tal como dice el numero #10

Pense.. que se iba a ser mas dificil! :D

#12 — no primo

A=2*p^2=3*q^3=2^2*r^5

A es múltiplo de 2 y 3, luego
... p y r son múltiplos de 3
... q es múltiplo de 2

A=2*(3*x)^2=3*(2*y)^3=2^2*(3*z)^5

A es múltiplo de 2*3^2, 3*2^3 y 2^2*3^5 luego ... x y z

...

#13 — Javi

En efecto, me sale 13 cifras y lo mejor es fijarse en que sólo tiene dos factores y fijarse en las condiciones que hay que poner en los exponentes de estos factores.

#14 — Miquel

#10 meeeeeeeeeeeeeeeeec! tendrás que volver a repasar el concepto de múltiplo y divisor porque #9 tiene toda la razón del mundo. (Fíjate que lo que dices tú y #9 es compatible)

#15 — Ri

¿No debería ser un numero de la forma (x*4)^5?

#16 — Sebas

Anoche crei haber mandado mi solución pero veo que no aparece

Para mi que es:
2^27*3^10

#17 — Carlos

Sebas, ese es el número. No lo habíamos puesto antes por lo de esperar 24 horas (que ya han pasado). Bueno, alguien lo puso pero su comentarios y relacionados desaparecieron.

#18 — Mmonchi

Como ya han pasado 24 horas... ;-)

La solución general es 2^27*3^10*n^30.

Con n=0 tenemos la solución trivial, descartada porque no es natural. Con n=1 tenemos 7925422620672, que es la solución mínima pedida. Y para los demás valores de n, las infinitas soluciones restantes.

#19 — Juanjo

Bueno creo que la solución general sería mas bien:
2^27 * 3^10 * n^(m*2*3*5)
con n y m naturales y m si que puede ser 0.

#20 — Ignorante

¿Cómo llegáis al resultado? :)

#21 — Juanjo

No, pero tampoco es general, esta tambien vale:

2^2187 * 3^730 * n^(m*2*3*5)

y muchas más, si defines q=2^a * 3^b, cualquier numero natural 3*a que sea una potencia de 3 y termine en un 7 vale, y cualquier numero natural 3*b que sea una potengia de 3 y termine en 9 tambien vale, y se tienen que cumplir las dos.

#22 — Juanjo

pues pon A=2^a*3^b, p=A=2^c*3^d, ...
y de las ecuaciones que te dan, te salen relaciones entre los exponentes, lo de n*m^..., es porque tiene raiz cuadrada, cubica y quinta y es natural, con lo cual tambien se puede incluir, de las relaciones que te salgan, tienes que probar manualmente, por lo menos yo lo he hecho asi

#23 — Ignorante

#22 ¿por qué pones que A=p?

#24 — aficionado

¿Cómo sabéis que A es de la forma 2^x*3^y?

¿Por qué no podría ser también 2^x*3^y*7^z o con otros factores primos?

#25 — Carlos

A #20. Parto del enunciado:

Dicho de manera más matemática, encontrar A tal que A/2=p^2, A/3=q^3 y A/4=r^5, siendo A, p, q y r pertenecientes a los naturales { 1, 2 , 3, 4…}

Del enunciado se deduce que 2 divide a A y 3 también divide a A.

Sean x e y los mayores números tales que 2^x divide a N y 3^y divide a N.

Del dato A/2=p^2 se tiene que la mayor potencia de 2 que divide a A/2 tiene que ser par, por lo tanto la mayor potencia de 2 que divide a A es impar (por lo tanto x es impar). Además, la mayor potencia de 3 que divide A/2 es la misma que divide p^2 de donde se deduce que y es impar.

Haciendo lo mismo que en el párrafo anterior, del dato A/3=q^3 se tiene que la mayor potencia de 3 que divide a A/3 tiene que ser múltiplo de 3 y por tanto y es de la forma 3s+1. Y de aquí también se deduce que x es múltiplo de 3.

Por último, del dato A/4=r^5 razonando igual obtenemos que x es de la forma 5t+2 e y múltiplo de 5.

Por tanto, x es impar, de la forma 5t+2 y múltiplo de 3. El menor número que cumple esto es 27.

Por otro lado, y es par, múltiplo de 5 y de la forma 3s+1. El menor número que cumple esto es 10.

Por lo tanto tenemos que 2^27 x 3^10 tiene que dividir a A (y en particular es menor o igual que A), pero es que además este número cumple lo que se le pide a A así que tiene que ser A (puesto que al ser A el menor, no puede ser menor).

#26 — Juanjo

#23, ha sido un error, es solo p=, sin la A

#27 — Miquel

Como tengo un ratito, escribo el método que he utilizado por si a alguien le interesa:

Enunciado:
Encontrar el mínimo A tal que A/2 = p^2; A/3 = q^3; A/4 = r^5 con A, p, q y r naturales.

Primero expresamos A como su descomposición en factores primos:

A = (2^a)*(3^b)*(5^c)*...

Del enunciado tenemos que p = (A/2)^(1/2) con lo cual, a partir de la descomposición de A, tenemos que

p = (2^((a-1)/2))*(3^(b/2))*(5^(c/2))*...

(dividir por 2 resta 1 al exponente "a" y sacar la raiz cuadrada (elevar a 1/2) divide todos los exponentes por 2)

Como p también tiene que ser natural, tenemos que asegurarnos que todos los exponentes de su factorización en números primos sean también naturales. Ésto implica:

1a) (a-1)/2 es natural -> a es impar y mayor que 1.

2a) b es par.

3a) Todos los demás exponentes tienen que ser pares (o cero).

Ya tenemos algo. Sigamos con el siguiente dato del enunciado: A/3 = q^3. Vemos que:

q = (2^(a/3))*(3^((b-1)/3))*(5^(c/3))*...

(dividir por 3 resta 1 al exponente "b" y sacar la raiz cúbica (elevar a 1/3) divide todos los exponentes por 3)

Razonando igual que antes, podemos deducir:

1b) a es múltiplo de 3.

2b) b-1 es múltiplo de 3 (y por lo tanto b tiene que ser igual o mayor que 1)

3b) Todos los demás exponentes tienen que ser múltiplos de 3 (o cero).

A partir de lo que tenemos, ya sabemos seguro que A tiene que tener como mínimo los factores 2 y 3 (de las condiciones 1a y 2b).

Finalmente, del último dato A/4 = r^5, obtenemos:

r = (2^((a-2)/5))*(3^(b/5))*(5^(c/5))*...

(dividir por 4 resta 2 al exponente "a" -- ya que es equivalente a dividir por 2 dos veces -- y sacar la raiz quinta (elevar a 1/5) divide todos los exponentes por 5)

Se sigue que:

1c) a-2 es múltiplo de 5 (y, por lo tanto, a tiene que ser mayor que 2)

2c) b es múltiplo de 5

3c) Todos los demás exponentes tienen que ser múltiplos de 5 (o cero).

Ahora ya podemos ver que, a parte del 2 y del 3, no necesitamos más factores primos en A ya que si los ponemos todos a cero (c = 0, d= 0, e= 0, ...) se cumplen todas las condiciones que hemos ido obteniendo hasta ahora y además tendremos un número más pequeño como pide el enunciado.

Entonces, hemos reducido el problema inicial a encontrar dos números a y b tales que:

1) a sea impar, múltiplo de 3 y al restarle 2 obtengamos un múltiplo de 5.

2) b sea par, múltiplo de 5 y al restarle 1 obtengamos un múltiplo de 3.

Ahora, para no liarlo más, es cuestión de ir haciendo el cuento de la vieja hasta encontrar los dos números que buscamos:

a = 2, ko: no es impar
a = 3, ko: al restarle 2 no obtenemos un múltiplo de 5
a = 4, ko: no es impar
a = 5, ko: al restarle 2 no obtenemos un múltiplo de 5
...
a = 7, ko: no es múltiplo de 3
...
a = 27 ok!


b = 1, ko: no es par
...
b = 10, ok!

Espero que os haya gustado!

#28 — Juanjo

Congratulations Miguel, yo estaba tan obsesionado que no he caido en que sólo pedía el más pequeño. Jol

#29 — Sebas

Perdon por lo de las 24 h
Paso a esponer mi razonamiento:
A=2*p^2=3*q^3=2^2*r^5
Por lo espuesto A debe tener como minimo los factores 2 y 3
El factor 2, por la 1ª parte estará elevado a un multiplo de 2, más 1, por la segunda parte debera estar elevado a un multiplo de 3 y finalmente debera estar elevado a un multiplo de 5, más 2. El primero que lo cumple es 27
de la misma forma, el 3 primeramrnte deberá estar elevado a un multiplo de 2, por la 2ª elevado a multiplo de 3, más 1 y finalmente a un multiplo de 5, el primero que lo cumple es 10.
A=2*((2^13)*(3^5))^2=2^27*3^10
A=3*((3^3)*(2^9))^3=2^27*3^10
A=4*((2^5)*(3^2))^5=2^27*3^10

#30 — Julio Playsguitar

Mola! Tras solucionarlo, veo que mi método no era tan complicado como pensaba, es el que ha utilizado todo el mundo.

#31 — Juan Carlos

Es curioso. He perdido como cuarto de hora mirando tutoriales de bc para meter raíces cúbicas en un shell script, y haciendo pruebas, y tal. Luego, harto, he cogido un papel y un boli. He resuelto el problema en un minuto. A veces pienso que estos cacharros nos hacen tontos (y soy informático).

#32 — Asdrubal

increible! pero nadie hizo el mismo procedimiento que yo.

Es agradable ver varias formas de hacer lo mismo...

#33 — Ignorante II

Impresionantes vuestras explicaciones.

Me pierdo mucho, muchísimo diría yo, pero me gusta ver que hay gente que lo resuelve así de fácil.

Saludetes.

#34 — Ri

¿alguien me puede explicar por qué no funciona esto?

for j=1:1000
i=(j^5)*4;

if mod((i/2)^(1/2),1)==0
if mod((i/3)^(1/3),1)==0
display('numero encontrado');
i
break
end
end
end

#35 — Carlos

#34, creo recordar que los números con los que trabajaba un ordenador por defecto eran de 32 bits, es decir, la mayor precisión que puede tener es de unas 10 cifras. Por tanto no puedes estudiar congruencias (la función mod) para números de más de 10 cifras y el número que se pide tiene más. Por eso te falla.

Para poder hacerlo así tendrías que hacer primero que la precisión con la que trabajes es mayor. Si lo programases por ejemplo con el programa mathematica funcionaría (o eso creo).

#36 — Juanjo

#34
1/2 al menos en c es cero creo, porque hace la division entera 1.0/2.0 si que da 0.5.

#31
Te entiendo, yo empecé a hacerlo en mathematica

#37 — Angel

que alguien ponga el numero por dios, que tengo curiosidad

#38 — Sebas

2^27*3^10=7925422620672

#39 — Luis

A=972
p=486
q=324
r=3 (3^5=972/4)

#40 — Predicador

#3 maz yo tenía entendido que el 0 sí pertenece a los naturales ya que se acordó por convenio, a el conjunto de naturales sin el 0 se le denota como N^+

#41 — Rodion Romanov

Lo hice con fuerza bruta... errr y una hoja de cálculo. Me sale un bonito número de tres cifras y, efectivamente, múltiplo de doce

#42 — Sebas

#39 Luis.- Cuando he visto un número de 3 cifras he quedado sorprendido, el mínimo que he encontrado tiene 13
Ni 486 es cuadrado perfecto (casi) ni 324 es cubo perfecto

#43 — Juanjo

#39 según lo que has puesto, si r=3 y si que da 4*r^5 = 972 pero...

2*p^2 no lo es y
3*q^3 tampoco

#41 ¿cual es el bonito numero de tres cifras?

#44 — Juanjo

Vamos, en definitiva, que es el que hemos encontrado todos, salvo el que no lo ha encontrado y el que se lo ha inventado

#45 — Luis

Ya veo mi error, solo que pensé que p y q debian de ser naturales y no miré sus raices.
Lo siento

#46 — Poyo

a=2.p^2
a=3.q^3
A=2^2.r^5

a tiene un 2^2 y un 3..

eso significa:
A=12t => Busquemos minimizar el t para minimizar A

12t=2p^2 6t=p^2
12t=3q^3 4t=q^3
12t=4r^5 3t=r^5

Ahora viendo que 6.t es un cuadrado perfecto 4.t es un cubo perfecto y 3.t un quinto perfecto, podemos decir que los exponentes de t:
-en 2, es impar
-en 3, es impar
-en 2, es congruente a 1 modulo 3
-en 3, es congruente a 0 modulo 3
-en 2, es congruente a 0 modulo 5
-en 3, es congruente a 4 modulo 5

asi obtenemos que t=2^n.3^m.j
como queremos minimizarlo decimos j=1 ya que para el no hay condicion.
y traducimos estas 6 condiciones:
n=1 (2)
m=1 (2)

n=1 (3)
m=0 (3)

n=0 (5)
m=4 (5)
por el teorema chino del resto, este sistema tiene soluciones n y m cada 30 valores pues 2,3 y 5 son coprimos y 30=2.3.5
y las soluciones se obtienen
2.3.j=j=0 (5)
2.5.k=k=1 (3)
3.5.l=l=1 (2)
n=2.3.j+2.5.k+3.5.l=10+15=25+30w para todos los w en Z
2.3.j=j=4 (5)
2.5.k=k=0 (3)
3.5.l=l=1 (2)
m=2.3.j+2.5.k+3.5.l=24+15=39+30w para todos los w en Z

si queremos que n y m esten sean naturales los minimos w a elegir son 0 y -1 respectivamente y tendremos n=25 m=9

2^25=33554432
3^9=19683
A=7,92542E+12
A=2.3,96271E+12=2.(1990656^2)
A=3.2,64181E+12=3.(13824^3)
A=4.1,98136E+12=4.(288^5)

#47 — Juanjo

#45 Jeje, Luis, no hay por que disculparse, saludos

#48 — luis

por pereza, lo he hecho con excel (en 1 minuto) :

1ª columna: números naturales
2ª columna: A^5 * 4
3ª columna: (B * 3)^(1/3)
4ª columna: (C * 2)^(1/2)

primera fila en la que la 3ª y la 4ª columnas son enteros: 288

Por tanto el número es 288^5 * 4

#49 — Edu

#48
correcto pero las fórmulas en excel creo que son:

En B1: =A1^5*4

En C1: =(B1/ 3)^(1/3)

En D1: =(B1/ 2)^(1/2)

Que efectivamente da 288 como primera fila con valor exacto simultáneo para las columnas C y D

#50 — Sebas

Han pasado mas de 2 semanas y no ha aparecido ningun problema de números para dicutir, y hay bastante afición.
Propongo que olvideis el Excel y quiteis las pilas de las calculadoras, para discutir del problema que se planteó en las Olimpiadas de Matemáticas: ¿Que es mayor e^PI o PI^e?

#51 — Alvarez

Creo que tomando neperianos el problema se convierte en conocer el signo de el(pi)-(pi). Estudiando la funcion f(x)=elx-x se observa que hay un mínimo en x=e y que la expresion anterior es mayor que cero. Se concluye e^pi>pi^e

#52 — Sebas

#Alvarez: Me ha gustado tu razonamiento, antes de exponer el mio propongo lo siguiente (tambien de las Olimpiadas):
Ordenar de forma creciente o decreciente 1^(1/1), 2^(1/2), 3^(1/3), 4^(1/4), 5^(1/5)...