Por @Alvy — 5 de Septiembre de 2010
A continuación hay cinco afirmaciones verdaderas y cinco falsas sobre un número secreto. En cada pareja de afirmaciones una es verdadera y la otra es falsa. Adivina las que son ciertas, las que son falsas y cuál es el número:

1a. Tengo 2 dígitos
1b. Soy par

2a. Contengo un «7»
2b. Soy primo

3a. Soy el producto de dos impares consecutivos
3b. Soy uno más que un cuadrado perfecto

4a. Soy divisible por 11
4b. Soy uno más más que un cubo perfecto

5a. Soy un cuadrado perfecto
5b. Tengo tres dígitos

Es un problema que plantearon en JD2718.

(¡Gracias Cgredan!)

{Importante: puedes dejar pistas e ideas al respecto en los comentarios, pero recuerda esperar 24 horas antes de hablar abiertamente de la solución, para que los demás puedan disfrutar buscándola. Quien no quiera recibir ninguna ayuda ni pista para dar con la respuesta tal vez prefiera no leer los comentarios.}

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37 comentarios

#1 — pablo

Muy bueno, lo saque de pura casualidad cuando se me paso el numero por la cabeza. No voy a dar pistas por el momento porque parecen demasiado esclarecedoras las que se me pasan por la mente. No se rebusquen al buscar la respuesta.

#2 — Roberh

Lo he conseguido, despues de su buen cuarto de hora. Esto es lo que pasa por esperarme poco de mí mismo y apuntar bajo xD

#3 — Roberto

Yo lo sé, profe, yo lo sé!!!!

(a base de combinar todas las opciones y comprobar la imposibilidad de todas ellas... salvo una. Un ratillo, vamos).

#4 — Luis

La hice !! y el numero solicitado es ..


al dia siguiente te digo.

#5 — Diego

por fin lo saqué! gracias por las correcciones de traducción

#6 — Alfonso

Como no tengo idea de lo que es un cuadrado perfecto o un un cubo perfecto, prefiero esperarme a que llegue el resultado correcto mañana :P

#7 — a

|30|\|170 TEOrema

#8 — Mork

Muchas opciones b...

#9 — Alvy

Gracias a todos por las correcciones (las quito de aquí para evitar confusiones…)

#10 — Cubo

¡Muy bueno! Aunque lo hice un poco gracias a la "cuenta de la vieja" lo saqué tras media hora.
Está muy bien que haya varias formas de hallarlo, aunque el lenguaje de matemáticas asuste un poco, luego hay muchas opciones descartables fácilmente...

#11 — marisa

Lo tengo lo tengo lo tengo!!! Es bastante facilillo, a comparación de otros.

#12 — Jb

Alfonso, un cuadrado perfecto es un número cuya raíz cuadrada es un número entero, y un cubo perfecto es uno cuya raíz cúbica es entera también.

Yo tengo uno, pero lo he sacado bajo la suposición de que era menor que 1000, por lo que me quedaría buscar por encima. A partir de esa suposición, eliminar opciones imposibles, y con la pareja de opciones más exigente, unas pequeñas cuentas que dejaban al único ganador.

#13 — Sandryu

tras estar un par de minutillos descartando opciones me quedan 2 teorías
la que pienso que es y otra

pero no tengo tiempo
a la tarde la saco y mañana la expongo, y vemos si he acertao o no


(es facil)

#14 — Grow

Soy par . . . contengo un "7" - Soy uno más que un cuadrado perfecto (el cuadrado de dos numeros impares) y tengo tres dígitos.
[1b.+2a.+3b.+?+5b.]
Voy mal?

#15 — Héctor

Chavales, usando la calculadora y un poco de lógica (como que si es primo difícilmente será par y otras, como las apuntadas por Grow) lo he resuelto en cinco minutos.

Es bastante fácil... aún sin calculadora.

#16 — tahoes

Lo más fácil es lo que dice #15; hay opciones que excluyen otras, así que descartanto poco a poco se puede sacar relativamente rápido...
Con una calculadora y 5 minutillos se puede sacar.

#17 — JesusADS

A mi hay 6 números que me satisfacen :S mañana los coloco para que vean a ver si fue que me pele xD

#18 — Carlos

#17, acabo de hacerlo deduciendo qué afirmaciones tienen que ser ciertas y cuales no y te puedo asegurar que solo hay una solución.

Una cosilla, ¿has tenido en cuenta que además de cumplir una cosa de cada pareja no cumpla la otra?

Por ejemplo, si 1b fuese cierta, 1a tendrá que ser falsa. así que si por ejemplo tu número es primo, no podrá ser un número de 2 cifras.

#19 — Fernando

Lo Tengo!!!!

Lo he sacado por fuerza Bruta... jejeje, me ha llevado mi cuarto de hora, pero lo encontré...

Al principio probé con la lógica, pero me lié y al final lo hice a martillazos!!

Saludos

#20 — JesusADS

Aja, aquí esta mi respuesta :D

1b, 2a, 3b, 4b y 5b :D el numero es el 730 xD

también me dio con 5 dígitos mas con esta respuesta, no se si es que hice algo mal:

1b,2a,3a,4a y 5b --> 176,572,704,748 y 792 :)


Saludos

#21 — felipe n.

#14, te falta el 4b

Con todo esto el número es 730.

#22 — patixe578

SOLUCIÓN
-------------


Hola a todos... aquí el procedimiento que yo he seguido.

Supongamos que el número tiene 2 dígitos (1a), entonces no es par (1b falsa) y no puede tener 3 dígitos (5b falsa), así que es un cuadrado perfecto (5a). Por ser un cuadrado perfecto, no es primo (2b falsa), así que contiene un 7 (2a). Pero la lista de cuadrados perfectos de dos cifras (16, 25, 36, 49, 64, 81) no hay ninguno que tenga 7, así que la suposición es falsa.

Por tanto, nuestro número tiene 3 dígitos (5b) y no es un cuadrado perfecto (5a falsa). Evidentemente, no tiene 2 dígitos (1a falsa) y entonces es par (1b). Por ser par, no puede ser primo* (2b falsa), así que contiene un 7 (2a).

Llegados a este punto, supongamos que nuestro número es uno más que un cuadrado perfecto (3b). Los cuadrados perfectos pares más uno, de 3 dígitos y que contienen un 7 son el 170 (13^2 + 1) y el 730 (27^2 + 1). Podemos comprobar que ninguno de ellos es producto de dos impares consecutivos (3a falsa) y que ninguno es divisible por 11 (4a falsa), así que es uno más que un cubo perfecto (4b).

Los cubos perfectos de 3 cifras son: 125, 216, 343, 512 y 729. De ellos, si les sumas 1, el único que es par, tiene un 7, no es divisible por 11 y es uno más que un cuadrado perfecto es el 730, que es nuestra solución.


* Vale, salvo el 2, pero tiene que ser de 3 dígitos.


Saludos.

#23 — criverod2003

#20

El producto de 2 números impares consecutivos siempre es impar. 176,572,704,748 y 792 no cumplen ni 3a, ni 3b.

Al menos hasta 1.000 estoy bastante seguro de que 730 es la única solución

#24 — Otro Fernando

Siiiiiiiiiii,
Un poco triste esto de tener que echar la cuenta de la vieja...mi cuarto de hora fue bien bien bien largo y eso que me valí de sucias argucias en el terminal.
Apoyo el 730 de los que no esperan ni un segundo mas de los 86400 q se dan....

#25 — Nacho V.

Pues yo lo he calculado tb a fuerza bruta.


He considerado la solución como un valor binario. es decir 1a=0 1b=1; 2a=0 2b=1; ... la solución es un número binario de 5 cifras.


Salen 32 posibles combinaciones, desde el 00000, 00001, 00010, .... al 11111.


Después he descartado incompatibilidades. p.e. 1b, "tengo 2 dígitos", no puede ser compatible con 5b, "tengo 3 dígitos". Por lo tanto he eliminado todas las soluciones 1xxx1.


El resultado del descarte ha sido 10111, es decir 1b;2a;3b;4b;5b, siendo el 730 el único número que cumplía las condiciones


Seguramente he ido más lento que el resto, pero ha sido divertido hacerlo así!

think binary!











#26 — Julio

#22 no puedes suponer que como no tiene 2 dígitos entonces tiene 3.

#23 De todas formas se puede comprobar que no tiene más de 3 dígitos asi:

Para tener mas de 4 dígitos 1a y 5b falsas, por lo que tiene que ser par y cuadrado perfecto. Como es par no puede ser producto de dos impares consecutivos 3a falsa, entonces tendría que ser uno más que un cuadrado perfecto 3b. Como 5a y 3b son incompatible, implica que la suposición es falsa.

#27 — marisa

El número es el 172!

#28 — JesusADS

#23

Mira esto, mi segunda respuesta fue:

1b,2a,3a,4a y 5b

176 -> 176/2 = 88 (1b) ; 87+89 = 176 (3a) ; 176/11 = 16 (4a) ; el 2a y 5b son bastante obvios.

Fíjate que esto también se cumple para 572,704,748 y 792...

Saludos :)

#29 — Jose A

Exactamente el mismo razonamiento que #22.

#26 Julio, no tienes razón. Por 1 y 5, o tiene 2 dígitos y es un cuadrado perfecto (con lo cual ya no cumple ni 2a ni 2b), o es par y tiene tres dígitos.

#30 — sabbut

Yo lo hice en forma de árbol.

1a) 2 dígitos
-2a) Tiene un 7
--3a) Producto de 2 impares consecutivos, es decir, (2n-1)(2n+1) con n entero, es decir, 4n²-1. Hago una tablita con valores de n y los correspondientes a f(n)=4n²-1 que cumplan 1a): f(2)=15, f(3)=35, f(4)=63, f(5)=99. Ninguno tiene 7, así que se descarta.
--3b) Cuadrado más 1, es decir, n²+1. Hago algo análogo a lo anterior: f(n)=n²+1, y los únicos candidatos son 17 y 37.
---4a) Divisible entre 11. Ni 17 ni 37 lo son.
---4b) Cubo más 1. Ni 17 ni 37 lo cumplen. (Nótese que si un número es a la vez cuadrado más uno y cubo más uno es que es sexta potencia más uno. Los primeros números que cumplen esto son 2, 65, 730, 4097...)
-2b) Primo
--3a) De la forma (2n-1)(2n+1), imposible si es primo salvo que 2n-1=1. Pero entonces el número que resulta es 3, que no tiene 2 dígitos.
--3b) n²+1. De nuevo, 17 y 37, que como hemos visto antes no pueden ser la solución.

1b) Par
-2a) Tiene un 7
--3a) Producto de dos impares consecutivos... pero el producto de dos impares no puede ser par.
--3b) n²+1 (Nótese que n debe ser impar)
---4a) Divisible por 11
----5a) m²... pero no puede ser a la vez cuadrado perfecto y uno más que un cuadrado perfecto.
----5b) 3 dígitos. Veamos todos los candidatos que sean pares, de la forma n²+1 y tengan 3 dígitos: f(n)=n²+1 → f(11)=122, f(13)=170, f(15)=226, f(17)=290... bueno, mejor abrevio para no cansarme. El único que contiene un 7 (2a) es 170, pero no es divisible por 11.
---4b) Cubo más 1 → Sexta potencia más 1 por 3b, como dije antes.
----5a) n² imposible por 3b.
----5b) 3 dígitos. 730 cumple todas las condiciones: es par, tiene un 7, es igual a 27²+1, es igual a 9³+1 y tiene 3 dígitos.
-2b) Primo... si es par la única posibilidad es que sea 2.
--3a) Producto de 2 impares consecutivos... no, 2 no lo cumple.
--3b) n²+1... sí, 1²+1=2.
---4a) Divisible entre 11... no lo cumple.
---4b) n³+1... sí, 1³+1=2.
----5a) n²... no lo cumple.
----5b) 3 dígitos... tampoco lo cumple.

Así que la única solución es 730.

#31 — Adrián

#27

No puede ser el 172 porque no cumple ni 3a ni 3b.

Es, efectivamente el 730.

La verdad es que si empiezas asumiendo ciertas 3b y 4b, se saca en un pispás, porque sólo hay un número de 2 cifras y otro de 3 que reúnan las dos condiciones. Y el 65 se descarta fácil.

#32 — sabbut

En 1b, 2a, 3b, 4a, 5b se me olvidó mencionar que 730 también es par, contiene un 7, es de la forma n²+1 y tiene 3 dígitos. Sin embargo, al igual que 170, tampoco es divisible entre 11.

#33 — JesusADS

Ya vi mi error con mi segunda respuesta :$ Sorry :S jeje :$

#34 — Julio

#29 porque dices eso?

Podría ser par (1b) y cuadrado perfecto (5a), por lo que (1a) y (5b) serían falsas y tendría que tener mas de 3 dígitos.

Saludos.

#35 — Alvaro

Hola, yo tambien llegue al numero 730 y es ademas la unica respuesta posible; porque he leido gente que dicen que es la respuesta que satisface las 5 afirmaciones "por lo menos hasta 1000".

Pero no puede 4 o mas cifras:
Asumamos que si, de esa forma No tendria 2 digitos y no tendria 3 digitos; de esa forma sería par y seria un cuadrado perfecto.

Si es un cuadrado perfecto, obviamente no puede ser un cuadrado perfecto mas uno ; por lo tanto debe ser el producto de dos impares; si es el producto de impares el numero debe ser impar, y ahi entraría en contradicción.

Seguramente mucha gente tambien lo pensó, pero hasta ahora nadie lo habia escrito

#36 — Julio

#35 Alvaro lo comento yo en el comentario #26 y justo en el comentario anterior al tuyo hago la suposición con la que comienzas para comprobar que no puede ser mas de 3 digitos, muy parecida a la que tu dices. XD

Saludos.

#37 — alvaro

Julio, tu respuesta no es muy parecida a la mia, es identica xD

No la había leido