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Un sencillo problema

He aquí dos números enteros. Grandes, pero números enteros:

A = 279641170620168673833

B = 350247984153525417450

¿Cuál de los dos números es mayor, A o B?

Desde luego no son iguales, porque A es par y B es impar.

{Importante: puedes dejar pistas e ideas al respecto en los comentarios, pero recuerda esperar 24 horas antes de hablar abiertamente de la solución, para que los demás puedan disfrutar buscándola. Quien no quiera recibir ninguna ayuda ni pista para dar con la respuesta tal vez prefiera no leer los comentarios. Nota: este juego se publicó anteriormente en Microsiervos allá por 2003. ¶ Solución oficial. }

104 comentarios

#1 ping Carlos

Sencillo si lo piensas un poco. Y sobre todo no hacer mas que un único cálculo sencillo.

Una pista: Usa las propiedades de las potencias.

La solución dentro de 24 horas.

#2 ping Jordi Nadal

Tengo una posible solución basada en el crecimiento de la longitud de dígitos que tendrian ambos numeros, pero no se si mi hipótesis es correcta o no ...

Os parece que presente mi planteamiento o me espero hasta dentro de 24 h? De hecho, del planteamiento se derivaria muy rápidamente la respuesta, asi que...

Supongo que habrá más de una manera de obtener la respuesta correcta, pero no se si la que propongo quedaría suficientemente bien demostrada.

#3 ping Carlos

Casi que mejor que me hubiese callado porque mi razonamiento es erroneo (aunque el consejo supongo que no).

Expongo mi razonamiento para que nadie caiga en el error.

Lo que hice fue dividir los exponentes, para así saber cuantos 2 corresponden a un 3, de tal forma que:

2^(division de exponentes) ?> 3^1

Cual ha sido mi sorpresa que la parte izquierda me da exactamente 1, lo que nos diría que ambos números son iguales, lo cual no es cierto.

Así que me toca seguir experimentando.

#4 ping Germán Ricoy

Yo creo que los números tan grandes son como gatos: difíciles de sujetar. Así que la mejor solución consiste en meter ambos números en una caja.

Mientras los dos números están en la caja, cada uno es mayor que el otro y, a la vez, inferior al otro. De este modo, mientras no saquemos ningún número de la caja, el problema está solucionado.

Y si sacamos alguno, siempre saldrá primero el A porque es obviamente mayor que el B, para determinados valores de realidad.

(No creo que nadie pueda considerar que he desvelado la solución ¿Verdad?)

#5 ping Chema

Quizás no entiendo el juego, pero si son dos números enteros, por muy grandes que sean, el más grande será "el más grande", digo yo.

Ej. A=3456 B=2987 Tienen las mismas cifras, luego A es mayor. Y si detrás de cada uno añadiéramos 10 cifras más, A seguiría siendo mayor.

En este caso, ambos números tienen 21 cifras pero B empieza por 3, luego debería ser el mayor... ¿no?

De todas formas, igual no lo he entendido porque no me parece un enigma en absoluto.

#6 ping Hawpic

#5- chema:

efectivamente, no entiendes el juego. si te fijas un poquito más se trata de dos potencias.

Un saludo

#7 ping Qwert.V0

No seran iguales ... pero son jodidamente parecidos :)

Suena a logaritmos y cambio de base ... luego lo miro

#8 ping Chema

Gracias, Hawpic.

En ese caso, ¿no está mal planteado? Digo, ¿no sería más justo preguntar cuál de las dos potencias es mayor? Porque, técnicamente y atendiendo a la pregunta tal cual está formulada, lo lógico es pensar que sólo se pide una comparación entre los números que vemos.

También podrían ser resultados de raíces cuadradas, sumas, restas...

#9 ping 6cR

Un método bastante seguro, aunque no del todo fiable sería tomar logaritmos en A y en B, de forma que si B > A, entonces ln(B) > ln(A).

De esta forma bajas los exponentes multiplicando a los logaritmos, y por series de Taylor calculas una aproximación suficientemente buena tal que no te bailen los enteros, haces la multiplicación del exponente por las aproximaciones y pista.

No sé si habría un método más fácil.

#10 ping José Miguel

Por logaritmos no lo he encontrado ya que:

1º exponente x log(A) = 2º exponente x log(B)

Curioso...

#11 ping sabbut

En efecto, repasemos las propiedades de los logaritmos:
log(a^b)=b·log(a)
log(ab)=log(a)+log(b)

Podemos hacer la comparación, si
A = 2^79641170620168673833
B = 3^50247984153525417450,
entonces
log(A)=79641170620168673833·log(2)
log(B)=50247984153525417450·log(3)

El problema es que mi calculadora los da como iguales, cuando obviamente no es que sean distintos, sino que ni siquiera tienen un factor primo común.

A ver si va a resultar que el cociente (79641170620168673833/50247984153525417450) es uno de los términos parciales de la expresión en fracción continua de log(3)/log(2), lo que explicaría tanta igualdad.

#12 ping Joel

Con una calculadora (o excel) y 6 simples operaciones se puede sacar una respuesta 99,9% correcta, :P

#13 ping 6cR

Ya, si mi amigo Maple 12 ya me ha dado la respuesta hace tiempo, pero así no tiene gracia xD

#14 ping Vaw

Es mas facil ver el número mayor mediante sucesiones de potencias que a través de logaritmos.

#15 ping Miguelón

Me juego el cuello a que A y B sólo se diferencian en una unidad.
Vamos, que: |A-B| = 1

#16 ping leicarut

Con ayuda de una propiedad de los logaritmos sale que B>A

#17 ping Valgard

Es muy fácil coger la calculadora más potente que tengáis y mirarlo.

Pero es más divertido demostrarlo con meros desarrollos matemáticos. ^_^

#18 ping leicarut

Me sale que se diferencian en 2 elevado a 16384

#19 ping poe

No es muy exacto, pero si a/b1 pues a>b.
Usando esto, expresando los exponentes en notacion cientifica y aplicando las propiedades de las potencias se podria saber cual es mayor.

Ahora bien, este es un metodo que utiliza aproximaciones, para ver la diferencia exacta entre ellos, la cosa creo que seria mucho más complicada.

#20 ping urzgar

Son nº

#21 ping 6pi

No hay duda de que son números, #20 XD

#22 ping Carlos Solís

Bueno, lo que hice fue, primero, contar el número de dígitos que tenía cada uno. El resto es pura lógica.

#23 ping alex

Vale, no soy muy diestro en esto de las matemáticas, pero siguiendo la aplastante lógica de chema yo digo: que es mas grande ¿2 elevado a 7 ó 3 elevado a 5?

El resto de las cifras de la potencia da igual (siempre y cuando sean la misma cantidad de cifras, claro)


¿O me equivoco?

#24 ping Ricardo

Si mahoma no va a la montaña... la montaña ira a mahoma...

Es decir... Si 2 y 3 son diferentes y eso lo hace dificil... por que no hacerlos iguales??

Luego de eso es simple ;)

#25 ping Salva

Diría que basta con demostrar únicamente la veracidad (o falta de contradicción) de una simplísima desigualdad obtenida a partir de transformaciones logarítmicas y tener en consideración la continuidad creciente de dichas funciones.

Vamos, que al final se reduce a saber si 2/3 es menor que 0 ó no.

#26 ping Trenck

Debe ser la respuesta A, sino no sería un juego.

#27 ping MeRo

Ctrl+, Ctrl+, Ctrl+... y siempre la misma solución.

#28 ping green

Pues a mi me parece que es mayor B ya que:

log(A)=79641170620168673833·log(2)
log(B)=50247984153525417450·log(3)

log(2) ~ 0.3
log(3) ~ 0.48

y que es mayor el 30% de 79641170620168673833

ó el 48% de 50247984153525417450 ?

Pues la segunda.

#29 ping pafate

son iguales:

1) A=2^n

B=3^m

2) B=3^(n/k) donde k = n/m

3) B=[3^(1/k)]^n

4) [3^1/k] = 2 (exacto)

5) A = 2^n = [3^1/k]^n = B

A=B

#30 ping Robert

EL A ES MAYOR QUE EL B ^^

#31 ping GuSs

Emm, primero que nada les pido disculpas a todos los cientificos locos que andan por acá... pero creo que la forma más fácil de averiguar esto es viendo la cantidad de dígitos que tienen A y B, de ahí ya se imaginaran el resto.

Aclarenme si me estoy pasando algo pero en el enunciado solamente pregunta ¿Cuál es más grande?.

Por otro lado estoy en duda con mi respuesta porque no puede ser tan sencilla.

#32 ping Light_neO

#22 Carlos Solís

No son números "enteros sin más" son potencias. Lee primero todos los comentarios y después responde...

Y estoy deacuerdo (a medias) con #26 Trenck que dice que debe ser la A sino no sería un juego. Sin embargo solo estoy de acuerdo a medias por que... si efectuamos tal afirmación estamos invalidando el caracter principal de este tipo de juegos: entretener. Por esta misma lógica la solución debe ser resultado de un reflexionado estudio. Esto se contradice con el método usado por #26 Trenck. Por tanto, si el juego estuviera hecho para que reflexionemos sobre su naturaleza, (ser un juego) la respuesta debería ser la A. Sin embargo, puede ocurrir que el juego este hecho para que reflexionemos sobre su naturaleza y la respuesta correcta sea la B, con lo que la reflexión sería que todos los juegos no se responden con la logica de #26 Trenck.

Y ahora os pido disculpas por esta parrafasada. Lo que en realidad quería decir es que no tengo ni idea de la solución y que me aburro mucho. xDD

#33 ping Francisco

Pafate, tienes un error en el punto 4, y además en el enunciado hay una ayuda señalando que uno es par y el otro es impar, por lo que no pueden ser iguales.

Una ayuda es hacer un cambio de base.

x^y=z^(log(x;base z)*y)

log(x;base z)=log(x)/log(z)

(usando cualquier base logarítmica)

Lo hice por excel, y señala una diferencia importante, pero para mi que es un error de la cantidad de decimales que usa.

¿Será posible resolverlo a mano?

#34 ping carlos covarrubias


Sin calcular mucho y mirando los numeros tenemos que
El 2 esta elevado a un numero de 20 cifras que comienza con 79...
El 3 esta elevado a un numero de 20 cifras que comienza con 50...


el exponente del 2 , es mas de un 50% mas grande que el exponente del 3.

Puede ser que mi razonamiento es muy basico, pero es lo primero que me vino.

#35 ping ¿Nohaysoluciónelegante?

El meollo de la cuestión es saber si el cociente (79641170620168673833/50247984153525417450) es mayor o menor que (log3/log2).

Si es mayor, entonces A es mayor que B, ya que el exponente de A es lo suficientemente grande en relación al exponente de B como para compensar el hecho de que la base de A (el dos) es menor que la base de B (el tres).

Para comprobarlo he factorizado 79641170620168673833 y 50247984153525417450 con ayuda de esta página: http://www.alpertron.com.ar/ECMC.HTM

Luego he sacado logaritmos y según mi tabla de excel:
ln(79641170620168673833/50247984153525417450)=0,460560748198368

y

ln(ln(3)/ln(2))=0,460560748198363

Entonces, si no he metido la pata y si el excel tiene suficiente precisión, A>B.

Lo cual es gracioso porque buscando la solución por Internet me he encontrado con una página que afirma que B es mayor que A... :) :)

#36 ping ¿Nohaysoluciónelegante?

Jo, jo, jo, tomando en la tabla de excel logaritmos en base 10 en vez de logaritmos neperianos me sale lo contrario, es decir, que B>A.

Excel rules.

#37 ping ouvigna

Yo he cogido la regla y más o menos miden lo mismo. Quizás un poquito más B...

#38 ping ouvigna

Dejando las coñas fuera y si no me equivoco, dejando también los logaritmos fuera (usando la pista de #1 Carlos), B debería ser el mayor.

#39 ping ouvigna

Corrijo. Me equivocaba. No sé cómo se resuelve..... pero lo sabre.....

#40 ping cletus

Siguiendo el razonamiento de #34, he estado calculando el cociente entre la potencia de 2 que hace que el número sea más grande que la potencia de 3, y parece que el resultado tiende a 1,6. Al dividir las potencia de A y B sale como resultado 1,58..., por lo que B es mayor que A.
Seguramente estaré equivocado pero por intentarlo.

#41 ping fx

como no se de matematicas yo no me complique para resolver el problema, como ya se dieron cuenta, el numero de digitos en cada cifra son los mismos, entonces B es mayor que A, por el simple hecho de que empieza con el numero 3 y el 3 siembre va a ser mayor que 2. Pero pensando enque si la respuesta fuera esa esto seria un juego... pues sume los digitos de cada cifra y la A me dio a 90 y la B me dio a 84, entonces aqui gana la B. En fin he llegado a la conclusión de puedo tomar la respuesta que sea, total las 2 son correctas, y no dudo que las suyas tambien.

#42 ping Héctor

A ver, a ver, a ver. Yo pienso que la clave del problema está en igualar el 2 al 3.

Quiero decir, como estamos trabajando con potencias podemos calcular el logaritmo de tres en base dos (log(3,2) = 1.584), lo que significa que 3 = 2^1.584.
Con eso podemos decir que:
B = 3^50247984153525417450 =
= (2^1.584)^50247984153525417450 =
= 2^(1.584 * 50247984153525417450) =
= 2^79592806899184261240,8 B.

#43 ping Jorge

#29 deberias ser mas cuidadoso en tus demonstraciones! De estar en lo correcto, habrias demonstrado que 2^n = 3^m para todos n, m XD

La respuesta es sencilla: B > A por una cantidad MUUUUUUUUUUUY pequeña. El chiste es el método de llegar a la respuesta, yo use logaritmos pero no me gusto mi solucion porque necesite la ayuda de una calculadora para probar que m*ln3/ln2 > n en

2^n = 3^m

#44 ping Jorge

Otra forma de demonstrar que B > A es expandiendo la exponencia:

2^n = 2*2*2*...*2 n numero de veces

y llevando el cociente de esta forma:

(2*2*2*...*n)/(3*3*3*...*m)

Ahora cada 6 factores de 2 se 'eliminan' con cada 4 factores de 3, de modo que:

79641170620168673833 Mod 6 = 1
50247984153525417450 Mod 4 = 2

lo cual al final nos da:

2/3*3 A

#45 ping paucazorla

Yo, como me encantan y me quedo flipado con vuestros comentarios en este tipo de problemas, sólo diré que apuesto por la A jajaja y si dijera algo, pues porque la diferencia entre las dos potencias es "suficientemente" grande como para superar a B, aunque sea un 2 vs un 3... enfins, mañana sabremos!

#46 ping Mauricior

Como carezco de noción matemática para resolverlo como corresponde, elevé 2 a la 8 (redondeando el 79) y el 3 a la 5,5 y así A me dio ligeramente mayor que B.

#47 ping jordi

facil :

El exponente de dos es algo menor que 82elevado a este monton de números es algo menor que 8*10^20

el denominador es algo menor a 6*10^20

ahora : 2^(8*10^20) = 2^8* 2^10^20

el mismo ejercicio con el denominador da :

3^(6*10^20)

Pues bien, si dividimos ambos números resulta :

(2^8/3^6) *x

donde x es menor que 1

En tanto que 2^8 es menor a 3^6. resulta el segundo valor mayor que el primero

#48 ping Yomismo

No se si sera la forma correcta pero si dividimos los exponentes, el mayor entre el menor, y luego hacemos 2 elevado a lo que nos salga, si eso es mayor que 3, el primero es el mas grande y si es mas pequeño que 3 lo segundo seria lo mas rande no?

El problema es que me sale

2,9999999999999999999999999999983

Sin exagerar en el numero de 9s :p

asi que no descarto que el numero de decimales usados en la división no fuera suficiente :p


Y en cuanto al que dice que la diferencia entre ambos es de una unidad no estoy de acuerdo, casi seguro que A acaba en 2 y B acaba en 9

#49 ping Guillermo

pues yo no se mucho de calculos matematicos pero lo que e visto es que los dos son numeros enteros de 21 cifras cada uno y el mayor es el que tenga el primer numero mas grande que en este caso el del A es 2 y el de B es 3 no seria una de las formas esa.

#50 ping Héctor

Vale, antes me he colado, pero ha sido por no redondear lo suficiente el resultado del logaritmo. Ocurre que el logaritmo de tres en base 2 es 1.5849625007211563... y no 1.584 como lo había ajustado al principio. Y ahí está la clave.Tenemos que:

log (2, 3) = 1.5849625007211563... = x

B = 2^50247984153525417450

3 = 2^1.5849625007211563 = 2^x

con lo que B quedaría:

B = (2^x)^50247984153525417450

que es como decir:

B = 2^(x*50247984153525417450)=

lo que resulta:

B = 2^79641170620168679789,7

que es mayor por los pelos que:

A = 2^79641170620168673833

#51 ping otro

#44 «Ahora cada 6 factores de 2 se 'eliminan' con cada 4 factores de 3, de modo que:»

¿Locuálo? Eso querría decir que 2^6=3^4, y eso es falso, 2^6=64 no es igual a 3^4=81.

#46 «Como carezco de noción matemática para resolverlo como corresponde, elevé 2 a la 8 (redondeando el 79) y el 3 a la 5,5 y así A me dio ligeramente mayor que B.»

Así hicieron los redondeos cuando llegó el euro. ¿100 pesetas? Pos un euro. Total, son unos centimillos de náaaaa...
Vamos, lo que dices no está mal del todo, pero si utilizas más precisión verás que la diferencia es mucho más pequeña, de hecho, la mayor parte de calculadoras darán los dos números como iguales, cuando B es algo mayor que A.

#48 «pues yo no se mucho de calculos matematicos pero lo que e visto es que los dos son numeros enteros de 21 cifras cada uno»

Tienen unos cuantos milloncejos de cifras más, porque se trata de potencias. ¿O el hecho de que la primera cifra salga más grande no te dice nada?

#52 ping Francisco

Siguiendo la comprobación de la diferencia de 1 entre A y B.

Tomando unicamente las unidades,

la serie de 2 es 2-4-8-6-2-.....
la serie de 3 es 3-9-7-1-3-....

ambas series se repiten cada 4.

Tomando unicamente las decenas y las unidades, ya que del ciento para arriba es siempre divisible por 4.

A: 33 modulo 4 = 1 -> la unidad es 2
B: 50 modulo 4 = 2 - > la unidad es 9

entonces como mínimo la diferencia entre ambos números es 3 (tomando 9 y 12)

#53 ping diegodd

yo usé el mismo razonamiento que el #23, alex, y digo que, al tener los exponentes un numero igual de cifras, podemos reducirlo a simplemente:

2^7 contra 3^5, en cuyo caso, B seria mayor.

aunque claro, tal vez no se pueda truncar el exponente de 2 a solo 7, ya que sigue un 9, siendo mas adecuado aproximar el 2^79... a 2^80... y truncarlo a 2^8 y mantener el 3^5, en cuyo caso, ahora A es mas grande... mmm

pero si en vez de truncarlos a una cifra, los dejo en 2 cifras (2^79 vs 3^50), de nuevo da B mas grande ;)

supongo que la solucion ha de hacer uso de logaritmos y leyes de exponentes, pero ando oxidado en eso, asi que prefiero esperar la respuesta, y sobre todo EL METODO correcto para obtenerla.

de todos modos seguramente la diferencia entre A y B sea minima y de ahi la dificultad de demostrarlo "intuitivamente"

#54 ping Alberto***

Yo e encontrado la solucion sin mas que dividir el log2*(lo que hay encima del 2)/log3*(lo que hay encima de 3), esta division es muy proxima a uno por lo que yo la he resuelto con un programa matematico(fortran..c++) utilizando doble precision para realizar la operacion, si la division es mayor que uno sera mas grande A y si es menor que uno sera mas grande B, yo ya e obtenido mi solucion si eso la pondre mas tarde

#55 ping Jorge

#51:

Estaba pensando en sumas en vez de factores XD

#56 ping F

yo creo que el mayor es "A" porque aunque sea mayor el 3 que el 2, el 2 esta elevado a una potencia mas alta que la potencia a la que esta elevado el 3.

#57 ping ku

Yo estoy de acuerdo con #23 alex. He hecho ese calculo para imaginar como evolucionarían exponencialmente ambos números. No se si quieren que hagamos cálculos tan gordos, pero yo no voy a hacerlos, gracias al cielo la palabra logaritmo desapareció de mi vida hace años...

#58 ping Qwert.V0

Al final se me ha liado el dia y no he podido mirarlo hasta ahora. Tras leer los comentarios veo que el problemo sigue vivo y aunque en el #7 pensaba en los logaritmos, ahora no lo tengo tan claro. Mas que nada por que, excepto que con un cambio de base encontremos algo elegante, vamos a acabar muriendo en las calculadoras y esta claro que este problema ha sido pensado para no poder resolverse con calculadora.

Voy a mirar otra cosa ...

#59 ping pedrolo

Haciendo algo más que una (y recalco lo de UNA) simple operación matemática en una calculadora o Excel sin ir más lejos, aplicando más bien métodos lógicos y de comparación, pero sin poder demostrar nada, todo indica que el cociente entre ambos números tiene (casi)siempre a ser 1 hasta por lo menos 10 decimales, por lo que yo me aventuraría a decir que son iguales, pero prácticamente sin ningún fundamento científico más que, como ya decía, la pura lógica.

PD: En el 95% de los casos estos problemas tienen una solución muchísimo más fácil de la que nosotros buscamos. O, dicho de otra forma, yo me olvidaría de logaritmos y movidas de esas chungas.

Un saludo. (me doy por vencido por ahora)

#60 ping pafate

#33

que yo vea el punto 4 esta perfecto en mi post (#29)

no digo que k=n/m sea entero, ni mucho menos,

es =1,5849625007211561814537389439478

y su inverso (1/k)= 0,63092975357145743709952711434309

que es justo el exponente que se encesita para que 3^eso = 2 (exacto)

chao!

#61 ping Qwert.V0

Por si le sirve a alguien, lo que estaba mirando ahora daba vueltas a los numeros primos de Mersenne, numeros perfectos etc.

Iba por ahi, por que uno de los exponentes el que empieza en 7 es claramente el producto de primos muy grandes ... criptografia y tal ... en fin mañana mas :)

#62 ping adnil♫

Estoy de acuerdo con algunos usando una propiedad logaritmica se obtien que a>b pero no se si este en lo correcto...

#63 ping Jorge

Alguien encontro un solucion mas elegante que con logaritmos?

#64 ping Pablo Zaldívar

Bueno yo no se si lo que he hecho está bien, pero al ser números tan sumamente grandes, lo que he hecho ha sido ver el límite cuando el exponente tiende a infinito de la división de ambos números, cada uno elevado a 7n y 5n respectivamente para ver cuál tiende más rápidamente.
lim A/B=lim (2^7n)/(3^5n)= (2/3)*Nº grande=0.0000000000 (quiero decir que es muy pequeño casi cero)
He hecho esto porque son números muy grandes y al usar L'Hôpital en el límite me da 2/3 multiplicado por algo muy grande, entonces da un número aún menor que 2/3 por tanto crece más rápidamente la parte inferior de la fracción que es el número B. La verdad no estoy muy convencido de todo esto si alguien me puede ayudar lo agradecería. Entonces digo que el número que crece más rápidamente y por estar tratando con cifras tan grandes el mayor es el número B.

#65 ping Paladín de la Horrible Verdad

¿Lo queréis elegante? Dejadme reescribir el enunciado:

Tenemos dos números, 2^X y 3^Y. ¿Es 2^(X/Y) mayor o menor que 3?

Y os dejo, que la calculadora del windows me redondea demasiado como para dar una respuesta, y tengo el ábaco al rojo vivo!

#66 ping otro

Es más, A acaba en 92 y B acaba en 49, se puede ver fácilmente con aritmética modular.

#67 ping Martín

El problema se puede resolver facilmente con dos operaciones con la calculadora de windows.

Creo que no se puede hacer de manera más sencilla.

La manera es la que se dice en #48.

B>A

#68 ping sabbut

Yo hice lo mismo que #48, en mi calculadora del Ubuntu salía 3, pero bastaba con restarle 3 para que se viera un resultado que dice mucho:
-0
Es decir, cero por la izquierda. Por lo que B>A.

#69 ping Miguel

Yo he sido de los de a*log(2) < b*log(3), y obtengo que B es mayor que A.

Me ha parecido ver por ahí arriba algún enlace, pero los pongo en todo caso para el que le interese:

Factorizador: http://www.alpertron.com.ar/ECMC.HTM

Calculadora de números grandes: http://www.alpertron.com.ar/BIGCALC.HTM

Estos applets de alpertron.com me han ayudado más de una vez

#70 ping trompao

He venido esta mañana para ver la solución, pero sólo he encontrado el sitio.

Lo primero que se me ocurrió al verlo fue lo siguiente: Conté las cifras de los exponentes, ambos tienen 20. Como el de A empieza por 7 y el de B por 5, el de A es bastante mayor. Por otro lado, A es igual a 4 elevado al exponente de A menos 1. Este número sigue teniendo un exponente bastante mayor que el de B, y además tiene una base mayor, por lo que estoy convencido que A>B.

En mi cabeza todo estaba muy claro, pero se ha complicado al pasarlo a texto.

Un saludo a todos.

#71 ping Pablo Zaldívar

Es un buen razonamiento el #70 pero lo que pasa esque esa propiedad no se puede aplicar: no es lo mismo 2^n que 4^(n-1), por ejemplo: no es lo mismo 2^5 que 4^4. 2^n se puede poner de la forma 2^(n-1)*2, pero esos 2 que estan de base no se pueden multiplicar uno a otro y usar el exponente del primero. Por esto que no se puede decir que la base y el exponente de A son mayores y por tanto A mayor (El exponente es mayor eso esta claro, pero tendríamos que estar seguros de que su base también lo es). Espero haber ayudado un saludo.

#72 ping Samuel

voy a dar mi solución personal.

2 es el único número primo par, por eso el B, en caso de estar elevado a la X potencia par, solo podría ser 2

Eso si, podría ser cualquier número primo entero impar elevado a Y potencia par. Pero tomemos que es una potencia de 2.

por tanto, el otro número, A, solo puede ser una potencia de un número primo entero impar (3, 5, 7...) [se exceptua el uno por ser en todas sus potencias el resultado 1 (excepto en el infinito)]

Así, la solución real sería que A'>B'

#73 ping Alvy

La solución correcta al problema es que B > A.

Está explicada en la excelente página de Robert Munafo que es de donde saqué el problema: Large Numbers, Class 3.

La gracia del problema como cualquiera puede ver es que se trata de números enormes, de los que denomina «Clase 3». No se pueden calcular todos sus dígitos con precisión excepto si se usa software especializado (ej. Mathematica), pero utilizando diversos «trucos» con los logaritmos se pueden calcular al menos 20 ó 30 dígitos; a partir del dígito 20 se ve que son distintos y que B > A.

Existe un hilo original de comentarios de la primera vez que publiqué este problema en Microsiervos, allá por 2003, con algunas aportaciones más.

#74 ping el_karls

Asumiendo: A=B y aplicando logaritmos: Ln(A)= Ln(B). Al sustituir A:=2^n y B:=3^m;

--> n·Ln(2)=m·Ln(3); n=1,585·m

O con una calculadora potente o aplicando el teorema de redondeo 100pts=1euro, se confirma que A=B

#75 ping Claudio

A = 5.0760252191 × 1023974381246463762439

B = 5.0760252191 × 1023974381246463762439

Pero con más decimales se ve que B es ligeramente más grande.

A termina en 2 y B en 3

#76 ping knacho

Si se restan a -b en Excel da un numero negativo, pero si se resta b - a da un positivo, yo digo que b es mayor que a

Otra solución

Los 2 números tienen 21 dígitos y el primer numero de a es 2 y le primer numero de b es 3

No se si sean validas, pero funcionan

#77 ping Gorka

El problema aquí viene de la precisión en las distintas operaciones. Por eso es importante el enlace que encontramos en el comentario #69.

Sabemos que

A=2^x

B=3^y

Utilizando una calculadora con la suficiente precisión, podemos realizar la raiz y de las 2 expresiones, de tal forma que compararemos

2^(x/y) vs 3^(y/y) o lo que es lo mismo 2^(x/y) vs 3

Si utilizamos las calculadoras que por defecto vienen con windows o mac osx, el resultado que nos da es que 2^(x/y) es igual a 3. Pero es por falta de precisión.

Si utilizamos la calculadora que nos proporcionan en el enlace, y teniendo en cuenta todos los decimales que obtenemos, tenemos que

2^(x/y)=2.999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 598 797 598 127 077 010 468 074 410 447 175 654 027 207 461 183 214 744 679 517 323 498 269 023 754 687 066 972 840 895 225 031 071 100 978 754 813 992 849 147 961 982 667 084 140 446 060 925 743 789 635 905 194 734 574 329 477 986 110 347 232 443 495 163 930 529 514 093 588 099 952 880 996 760 408 470 223 271 596 584 995 218 893 978 229 909 639 678 054 024 402 504 562 492 936 326 841 047 139 606 271 190 855 353 594 017 671 234 428 037 989 868 883 166 037 508 271 910 521 826 669 960 866 998 443 395 270 488 385 962 182 890 066 956 116 599 757 073 658 308 779 106 185 615 501 029 955 618 321 294 306 527 220 6

Es decir A

#78 ping Gorka

Parece que en mi anterior comentario no ha salido la solución (técnicamente ya han pasado 24 horas y no debería de importar).

Al hacer la operación, como 2^(x/y)

#79 ping Francisco

Encuentro que se da una vuelta innecesaria al volver a la notación científica, hubiera sido mas simple únicamente comparar los exponentes.

#75 Claudio

Para poder saber exactamente cual es el último número de A y B de la manera que señalas, necesitarías tener 23974381246463762439 decimales.

En el #52 demostré que

A: la unidad es 2

B: la unidad es 9

Siguiendo la misma metodología usada

A: termina en 6912

B: termina en 2249

se puede seguir, hasta que empiece a encontrar una serie de numeros que se empiecen a repetir aunque eso no asegura que haya encontrado la diferencia exacta, ya que termina siendo un tema de probabilidades, por ejemplo si la serie continua de esta manera:

A: termina en 11111111116912

B: termina en 11111111112249

existe una probabilidad de 10^(-10) de encontrar 10 numeros repetidos en A y B, puede parecer una probabilidad bastante aceptable, pero si pensamos que estamos hablando de que su tamaño tiene 23974381246463762439 numeros, entonces la esperanza de encontrar 10 numeros repetidos es:

E(10)=(23974381246463762439-10)*10^(-10)

E(10)=2397438124,6463762429

Lo cual es muuuuuuy alto.

Si encontramos una serie de 30 números repetidos. La esperanza cambia a

E(30)=0,000000000023974381246463762409

Lo cual parece poco, pero termina siendo un tema de probabilidades.

NOTA: en el uso de las probabilidades anteriores use un supuesto errado, lo use por simplificación de la demostración, realmente la probabilidad es mayor a la señalada.

Ahora explicaré la probabilidad real, solo para usuarios avanzados:

P(n=n numeros repetidos en A y B numeros de tamaño x)

B(k)=P(k)= probabilidad de que dos serie de k numeros sean iguales

B(k=n)=1-0,9^n

P(n=n, x=x)=1-B(n)^(x-n)

#80 ping Francisco

#78 Gorka,

buena tu demostración, pero las conclusiones de esta están equivocadas, lo que realmente demostraste es que B>A

A=2^x

#81 ping Francisco

En el #79 me equivoque al decir que estaba haciendo una simplificacion en las probabilidades.

Las probabilidades que hice después son pensando en que ningún numero sea igual al otro, me explico, no estaba considerando la posibilidad de que exista esta combinación de números 1234 y 1235.

#82 ping Gorka

Buenas Francisco,

No se muy bien lo que entendiste, pero esa era mi contestación B>A. El caso es que en los 2 comentarios, esa parte se borraba, seguramente porque lo que ponía era A menor que B, y el símbolo meno me hacía desaparecer todo lo que venía después.

Es lo lógico, ya que he demostrado que 2^(x/y) es mas pequeño que 3, que al fin y a la postre era el quid de la cuestión.

Pero es lo mismo, ya que la conclusión es la que es. Demostrado que con la suficiente precisión B>A.

#83 ping frankgel

Una explicacion que sale con una calculadora mas normal (por ejemplo la de windows)

A = 2 ^ 79641170620168673833

B = 3 ^ 50247984153525417450

Se aplica logaritmo en ambas partes de cada igualdad

log A = log 2 ^ 79641170620168673833

log B = log 3 ^ 50247984153525417450

Por propiedades de los logaritmos: log X ^ Y = Y log X

log A = 79641170620168673833 X log 2

log B = 50247984153525417450 X log 3

(log A/log B) = (79641170620168673833/50247984153525417450) X (log 2/log 3)

(log A/log B) = 1,58496250072115618145373894394780 X 0,63092975357145743709952711434276

(log A/log B) = 0,99999999999999999999999999999828

(log A/log B)

#84 ping frankgel

Mi comentario anterior se vio truncado,

luego de
(log A/log B) = 0,99999999999999999999999999999828
viene

(log A/log B) es menor que 1

log A es menor que log B

A es menor que B

Quiere decir que la respuesta es: B es mayor

#85 ping Juan

Pues creo que son iguales

Por lo menos en mi OpenOffice 3.1

A^n = n * Log A

B^n = n * Log B


n *Log A / n * Log B = 1

#86 ping Jose

Y vuelta con que son iguales. ¿Es que ni siquiera leéis el enunciado completo?
El primero, como potencia de 2, acaba en 2, 4, 8 ó 6, y el segundo, como potencia de 3, acaba en 3, 9, 7 ó 1.
NO PUEDEN ser iguales.

Que ese cociente te salga 1 es sólo por falta de decimales. La diferencia es del orden de 10^(-19)

#87 ping Miquel

En este link se puede encontrar una explicación alternativa a la solución al problema (B>A) bastante interesante basada en "reverse engineering", es decir, tratando de entender cómo se han podido encontrar los exponentes de 2 y de 3 para que los números resultantes se parezcan tanto.

Aunque al final para obtener la solución también se requiere una calculadora con más precisión de lo normal, la explicación tiene más carga teórica que las explicaciones dadas hasta el momento y está basada en aproximar el cociente de los exponentes de A y B, digamos X, a través de fracciones continuas. Este tipo de aproximaciones tienden hacia su valor límite de forma oscilante, con lo cual sabiendo el número de iteraciones necesarias para encontrar el valor de X se puede saber si X va a ser una aproximación "por arriba" o "por abajo".

#88 ping miguel

suponiendo A>B, entonces

(79...)log2-(50..)log3>0

luego
(79..)/(50..)>log3/log2

como log3/2B

es sencillo, ¿no?

#89 ping miguel

beuno, me acabo de equivocar bastante

#90 ping Claudio

Francisco tienes razón con respecto a las ùltimas cifras de A y B. A termina en 2 y B en 9

#91 ping yael

la A por que tiene mas numeros

#92 ping leicarut

logaritmo en base 2 de 3 es 1,5849625007211561814537389439478
con lo que B = 3^50247984153525417450 = (2^1,5849625007211561814537389439478)^50247984153525417450 = 2^79641170620168673833 = A

#93 ping Pablo

# bc -l
bc 1.06
Copyright 1991-1994, 1997, 1998, 2000 Free Software Foundation, Inc.
This is free software with ABSOLUTELY NO WARRANTY.
For details type `warranty'.
>scale=40
>79641170620168673833*l(2)
55203052871863467316.9446652148049787903640127327380800183915
>50247984153525417450*l(3)
55203052871863467316.9446652148049787903661929559474900571300

#94 ping Nicolás

A = 279641170620168673833
B = 350247984153525417450
Ln(A)=Ln(2)* 79641170620168673833

Ln(B)=Ln(3)* 50247984153525417450

Ln(A)=5.520305287x10^19
Ln(B)= 5.520305287x10^19


Si hacemos las cuentas en el exel con maximos decimales
Ln(a)= 5,520305287186340000000000000000E+19
Ln(b)= 5,520305287186350000000000000000E+19


Como el logaritmo es una funcion monotona creciente
Entonces si Ln(b)>Ln(a) --> b>a

#95 ping Nicolás

Nota: aca se ve como exel redondea

mirando lo que publico pablo..

Ln(a)=.....36401....lo redondea a 34
Ln(b)=.....36619... lo redondea a 35

#96 ping mondriani

El problema se reduce cogiendo logaritmos base 2 a comprobar si 2^(exponente mayor/exponente menor)>2^3 . Dado que el exponente mayor no es tres veces el menor (tienen el mismo número de cifras) concluimos que 3^beta>2^alfa

#97 ping Dr. Maturin

¿Puede alguien sacar de la oscuridad a este hombre de letras, con una calculadora obsoleta?


2^7 = 128

3^5 = 243

luego...

2^7xxxx será

#98 ping Dr. Maturin

El código me ha jugado una mala pasada.

Quería decir que, en ese caso,

2^7xxxx será siempre menor que 3^5xxxx

Teniendo los exponentes el mismo nº de dígitos, (20 en este caso).

Gracias.

#99 ping Carxofa

Pos si me dais un poco mas de tiempo, estoy con el boli y un papel haciendo calculos. Yo creo que en 27 años tengo a A calculado...

#100 ping sakito

2^7 = 128

3^5 = 243
Pero 2^8 = 256 ... supongo que son cosas del redondeo del euro 7,9 almost 8

#101 ping Bio12

Efectivamente, el valor mas grande es A.
Solo hay que hacer una resta.
Probablemente este equivocado pero hay va mi resultado, a ver que opinais.

2^2 3 y el resultado es muchiiiiisimo mayor a 2.

En resumen A > B.

#102 ping Bio12

Ok, olvidar lo que he dicho, cae por su propio peso.

#103 ping Francisco

#99 Carxofa

Pos si me dais un poco mas de tiempo, estoy con el boli y un papel haciendo calculos. Yo creo que en 27 años tengo a A calculado...
----------------------

Comunmente las personas pierden el sentido cuando se trata de números grandes.

Si te demoraras 1 segundo por cada multiplicación, saquemos las cuentas.

79.641.170.620.168.673.833 segundos
1.327.352.843.669.477.897 minutos
22.122.547.394.491.298 horas
942.303.606.438.975 días
2.581.653.716.271 años

4.600.000.000 años es la edad de la tierra
5.000.000.000 años es la edad del sol
13.700.000.000 años fue el Big Bang

#104 ping Francisco

Otra pregunta, ¿cuantos dígitos tendría A?

Haciendo una simplificación simple, tenemos que

A=5.0760252191 × 10^23974381246463762439

son 23974381246463762439 dígitos

¿esto a que equivale?

Si escribimos el resultado en el computador, usaríamos 1 byte por dígito el tamaño seria de 21.804.572 TB

Si lo imprimimos en hoja de papel normal de tamaño carta por los dos lados y lo apilamos. Nos alcanzaría para llegar al sol y sobraría para ir a la luna unas 500 veces.

Si colocamos una hoja al lado de la otra podemos cubrir la tierra dos veces.