Por @Alvy — 4 de Diciembre de 2018

Integral de Borwein

Encontré en Futility Closet una referencia a la integral de Borwein, que había visto mencionar alguna en otros sitios. Se trata de una integral (o serie de integrales) muy curiosa y con una propiedad un tanto desconcertante: cuando se van añadiendo términos, de repente su perfecto, limpio y «redondo» resultado (π/2) se transforma en un chirrirar de uñas sobre una pizarra.

El horror tiene forma de un 0,9999999999752… que no es 1 exacto como en las integrales anteriores. Se podría pensar que es un problema de cálculo, redondeo o precisión… Pero no: el resultado de las primeras series es tan exacto como π/2 pero al llegar añadir el octavo término que hace referencia a x/15 todo se escacharra. Es matemáticamente así.

Por ahí han definido esa propiedad como «desconcertante», «sucia» y «descorazonazodora». La verdad es que muy bonita no queda.

¿Qué es lo que sucede exactamente? Hay un artículo completo, incluyendo una representación gráfica de cada integral aquí: Two curious integrals and a graphic proof [PDF], en la que Hanspeter Schmid explica cómo se resuelve y se representa gráficamente esta integral y otras similares.

Hay otras series similares con las que se producen efectos parecidos; en general el «efecto» tiene que ver con que la suma de los recíprocos de los primeros términos (1/3+1/5+1/7+1/9+1/11+1/13 = 0,955…) es menor que 1 pero a partir del punto clave (cuando se añade +1/15) pasa a ser mayor que 1 (1,021…) por lo que el resto se despifostia. (Vale, seguro que ese no es el término técnico, pero es que tampoco soy matemático.)

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