Por @Alvy — 25 de Agosto de 2018

En este vídeo de las Infinite Series (serie que por degracia ya terminó) Kelsey Houston-Edwards explica algunas cosas sobre las supertareas que son una forma un tanto filosófica –más que nada porque son imposibles en la práctica– de presentar una solución a un problema resolviendo una secuencia infinita de pasos en un tiempo finito.

Es algo parecido a lo de la paradoja de Zenón con Aquiles y la tortuga: el problema se puede ver desde muchos ángulos pero la presencia de los infinitesimales y los infinitos desafía a nuestra intuición: lo que parece una paradoja no es tal –en la práctica– y las cosas son más simples de lo que parecen y se pueden calcular.

Un excelente ejemplo al respecto a mi parecer es el de la paradójica lámpara de Thompson:

Tenemos una lámpara encendida. Al cabo de una hora la apagamos, media hora después la encendemos, un cuarto de hora más tarde la apagamos de nuevo, un octavo de hora después la encendemos otra vez, y así sucesivamente. Alternamos la lámpara encendida y apagada en intervalos cada uno la mitad de largo que el anterior. Todo el proceso acabará en dos horas:

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... = 2

La pregunta inquietante viene ahora. Al cabo de esas dos horas, ¿la lámpara estará encendida o apagada?

En los ejemplos que utiliza Houston-Edwards se utiliza una urna en la que introducen y sacan bolas en unos momentos muy determinados: un minuto antes del medio día, medio minuto antes, un cuarto de minuto antes… produciéndose cosas un tanto «raras» como que:

  • Si metes 10 bolas numeradas de 1 al 10 y quitas la del número más bajo, luego metes otras 10 del 11 al 20 y vuelves a quitar la del número más bajo, etcétera al completarse la tarea no quedan bolas (aunque estás metiendo 10 bolas por cada una que quitas).
  • Sin embargo si metes 10 bolas del 1 al 10 y quitas el 10, y sucesivamente sólo los múltiplos de 10, al completar la tarea el número de bolas que quedan es infinito.
  • El caso más complicado de analizar es cuando se meten las 10 bolas cada vez y se quita una al azar, pero con cálculos probabilísticos se puede ver que el resultado también es cero.

En otras palabras: cuando se hacen cosas con objetos en el infinito suceden cosas muy raras, y a veces incluso el orden en que se hagan influye en el resultado.

Como explica la presentadora sucede un poco como cuando se lanza un dardo a una diana al azar: la probabilidad de acertar en un punto infinitesimal concreto es cero (porque su tamaño es cero), pero como el dardo acaba clavado en algún lugar y dentro de la diana se puede calcular que –por ejemplo– con el 50% de probabilidad estará en la mitad superior y con el otro 50% en la mitad inferior.

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