Por @Alvy — 18 de Abril de 2020

Tal y como explica Greg Egan (sí, el autor de novelas de ciencia-ficción, que además de ser informático también sabe mucho de matemáticas) es sabido que en una elipse una trayectoria recta que pase por uno de los focos y «rebote» en la curva acaba pasando por el otro foco. Este curioso hecho geométrico da lugar, por ejemplo, a la legendaria mesa de billar elíptica en la que se puede meter una bola en el agujero de uno de los focos con gran facilidad: tan sólo hay que tener habilidad para hacerla pasar por el otro foco; el rebote geométrico hace el resto.

Lo interesante es que sobre el papel se puede calcular una curva en la que suceda lo mismo si el punto que describe la trayectoria es un objeto que responde a la atracción gravitatoria del segundo foco. Egan estuvo dibujando algunas y son realmente curiosas. Hay quien lo ha llamado gravábola, una especie de «parábola gravitatoria». El aspecto es más o menos este:

En esta construcción imaginaria el objeto describe una parábola gravitatoria e incluso el rebote en la curva lo dirige también al otro foco. Quizá algún día sirva para algo.

A Egan lo inspiró este vídeo de Stuff Made Here que muestra un curioso invento basado en ideas similares aunque su geometría es distinta: un tablero de canasta que permite «encestar siempre». Con las típicas salvedades: el «siempre» es casi siempre y para encestar hay que lanzar más o menos un tiro digamos que «dentro de normal», eso sí: apuntando a cualquier lugar del tablero. El resto es física y geometría.

Se podría pensar que la curva del tablero en cuestión es un paraboloiode pero eso sólo funcionaría si la trayectoria fuera recta –perpendicular a la directriz– como en las antenas de televisión y los radiotelescopios, donde inciden las ondas de radio para concentrarse en el foco. Aquí las trayectorias se ven afectadas por la gravedad, porque describen parábolas pero respecto al centro de la Tierra. ¿Cómo resolver eso y calcular entonces esa curva?

La solución a este problema es brillante: utilizar una simulación de Monte Carlo para imitar el lanzamiento incidente en diversos puntos del tablero para calcular cómo debería ser entonces el ángulo con que rebotara el balón para que acabara dentro del aro. Naturalmente esto se sale de la matemática y tiene límites físicos: depende de la fuerza/velocidad del lanzamiento y del arco exacto que describa el balón, por lo que su creador decidió guiarse por lo que él llama un «lanzamiento promedio» con un ángulo más o menos cercano a los 52 grados óptimos que es lo que la gente suele hacer.

En otras palabras: realizó millones de lanzamientos simulados cercanos a un «lanzamiento promedio» sobre cada punto del tablero calculando ese ángulo mágico que acabaría siempre en canasta. Sumando todos esos ángulos ideales y promediando se obtiene la forma geométrica de la superficie del tablero «mágico».

Entre los detalles que ayudan a que el invento funcione están que en este montaje el balón es bastante más pequeño que el aro, así que no requiere pasar exactamente por el centro. También sucede que el tablero (que naturalmente es a donde hay que apuntar, no directo al aro) puede hacerse bastante grande y anguloso. De hecho como se ve en el vídeo incluso en los puntos más extremos de los laterales el balón acabando rebotando y acabando en canasta.

La última complicación fue convertir la superficie matemáticamente calculada mediante las simulaciones en un objeto real 3D de madera de pino, lo cual requirió un software de modelado y luego una máquina de corte CNC para dividirlo en unos cuantos trozos que luego montar meticulosamente en los ángulos adecuados. Un poco de lija, pintura y tablero completado.

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