Por @Alvy — 10 de Agosto de 2019

La conjetura de Beal es una de esas pequeñas maravillas fáciles de entender pero muy difíciles de resolver. Viene a decir respecto a

Ax + By = Cz

que si A, B, C, x, y y z son números enteros positivos, siendo x, y, z mayores que 2, entonces A, B y C tienen al menos un factor primo común. Un ejemplo sería que 36 + 183 = 38 siendo el 3 el factor común (aunque no tiene por qué ser el mismo número).

Se trata de una conjetura matemática, es decir, una afirmación que no está demostrada formalmente (ni refutada). Cuando Andrew Beal –un matemático aficionado– la enunció en 1993 apostó 5.000 dólares a que nadie encontraría un contraejemplo. Luego aumentó el premio a 50.000 dólares al cabo de diez años, y ahora ofrece un millón de dólares.

Aunque la conjetura de Beal se parece mucho a la del último teorema Fermat no son exactamente lo mismo. El caso de Fermat se podría entender cómo que x = y = z. Y si existiera una solución, A, B y C serían coprimos, de modo que la conjetura de Fermat puede considerarse como un «caso especial» de la conjetura de Beal, que sería en cierto modo más «genérica». Desde la demostración de la conjetura de Fermat sabemos que no existe esa solución, pero eso no implica que pudiera haber otras cuando x, y y z son distintos.

En las últimas dos décadas ha habido muchos intentos por completar la demostración o por encontrar el contraejemplo. De hecho se conocen demostraciones para ciertos valores de A, B, C según estén relacionados con x, y, z porque ejemplo por ser múltiplos o potencias; en otros casos como x=2, y=3, y=15 se encontraron demostraciones específicas. Pero ningún contraejemplo.

El conocido investigador de Google Peter Norvig dedicó también cierto tiempo a buscar contraejemplos de forma exhaustiva. Según contó en su blog llegó hasta el punto de excluir todas las posibles soluciones cuando x, y, z ≤ 7 y cuando A, B, C ≤ 250,000, lo cual implica que de existir un contraejemplo serían números relativamente grandes. También eliminó todas las posibles soluciones para x, y, z ≤ 100 con A, B, C ≤ 10,000. Así que si alguien quiere entretenerse, al menos se puede ahorrar ese trabajo previo.

La búsqueda continúa.

(Vía Fermat’s Library.)

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