Por @Alvy — 23 de Diciembre de 2017

Fact05

Todos conocemos la función factorial de un entero y su simpática expresión con forma de exclamación (n!) que básicamente consiste en multiplicar todos los enteros entre 1 y el número en cuestión. El cálculo de factoriales suele producir valores enteros bastante grandes. Así por ejemplo 5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120. Si calculamos 50! es ya un número de 65 cifras.

Es sabido que suceden cosas raras con el factorial de cero (0!) que resulta ser igual a 1, algo que va un poco contra la intuición pero que resulta bastante conveniente y adecuado, aunque no deja de ser una convención. Digamos que es especialmente conveniente cuando se trata de combinatoria (que es una de las ramas en que más se utilizan los factoriales) pues cuando aparece viene a significar –más o menos– que «sólo hay una forma de reordenar o combinar cero cosas».

¿Qué sucede cuando se calcula el factorial de un número no entero, por ejemplo 0,5? Eso está un poco fuera de la definición más habitual, y el resultado es digno de un sorprendente WTF:

Efectivamente, la solución que dan las calculadoras es 0,8862269… que resulta ser la raíz cuadrada de π dividida por 2. Habría que preguntarse qué pinta pi en ese cálculo, por qué hay raíces cuadradas y por qué el resultado es tan poco intuitivo… pero es el que es.

La respuesta a todo esto la da el vídeo de Mind Your Decisions, aunque no es demasiado aclaratoria, todo hay que decirlo – más que nada porque intenta no entrar en demasiados técnicismos. Al menos habla sobre la representación gráfica de la función y la búsqueda de la «mejor forma de representarla», que son una buena pista. También ayuda a entender cómo la definición de una función –en este caso el factorial– puede variar según a qué números se aplique: enteros, naturales, reales, e incluso complejos.

En el caso de 0,5 lo aplicable es la fórmula del factorial generalizada para números reales, que es la llamada función gamma:

Funcion Gamma

Cuando se calcula para los números enteros los resultados se corresponden con los del factorial tradicional, pero cuando se calcula para números reales su gráfica muestra que no es tan directa y simple como se puede pensar a primera vista:

Gamma plot

Con los cálculos adecuados se puede obtener el valor de la función para 0,5, que efectivamente resulta ser la mitad de la raíz cuadrada de pi. Un hecho digamos raro pero matemática y maravillosamente cierto.

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