Por @Alvy — 24 de Octubre de 2017

49capicuas

He aquí un hecho curioso de la teoría de números; algo aparentemente trivial y con título autoexplicativo: todo número natural es la suma de 49 números capicúas. (Incluyendo el 0). [Actualización: ver la nota final.]

Pero demostrarlo no es tan trivial como parece, a pesar de que tiene que ver con números digamos, «normales y corrientes» y cuya demostración requiere unas pocas páginas. Cuando digo que no es trivial es porque la demostración sólo es válida para la base 10, no es una solución generalizada a todas las bases.

Además de que no hay el autor dice que si bien para bases mayores que 10 es relativamente fácil encontrar un equivalente para las bases menores que 10 pueden aparecer «dificultades inesperadas», principalmente en números binarios (base 2). Así que ahí queda el reto para los matemáticos.

La demostración completa es obra de William D. Banks, quien la publicó en 2015 y puede leerse en arXiv: Every Natural Number is the sum of forty‑nine palindromes.

(Vía Cliff Pickover.)

Actualización – Tal y como nos contó José Ángel el profesor Javier Cilleruelo desarrolló posteriormente otra demostración de que Todo entero positivo es la suma de tres capicúas [PDF]. Esta demostración es válida tanto para base 10 como para cualquier base > 4 y además es constructiva, porque desarrolla el algoritmo que proporciona los tres números en cuestión para cualquier valor (aunque un mismo número puede tener varias soluciones). Puede leerse en castellano en Gaussianos: Todo entero positivo es suma de tres capicúas.

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