La metamatemática es el estudio de las matemáticas usando herramientas matemáticas, pero «desde fuera del sistema». También estudia la teoría lógica formal de las demostraciones matemáticas. Si alguien hizo famosa la metamatemática fue Kurt Gödel –quién más apropiado– que, entre otras cosas, desarrolló los teoremas de incompletitud, a saber:
1. Ninguna teoría matemática formal capaz de describir los números naturales y la aritmética con suficiente expresividad es a la vez consistente y completa.
2. Si el sistema de axiomas en cuestión es consistente, no es posible demostrarlo mediante dichos axiomas. (O, visto de otro modo, si es consistente, no puede demostrar su propia consistencia).
La metamatemática no estudia los objetos matemáticos en sí mismos, sino las teorías que estudian a dichos objetos y sus propiedades. Si todo esto parece un poco lioso es porque está encerrado en un eterno y grácil bucle.
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