Por @Alvy — 9 de Mayo de 2018

Esta elegante Máquina de Galton de Grand Illusions es una versión bastante simple y bien diseñada del experimento de Francis Galton con el que se puede enseñar cómo de las colisiones al azar de unas bolitas que caen alrededor de unos clavos sobre unos casilleros forman lo que en estadística se conoce como distribución normal o también como campana de Gauss.

A diferencia de la versión coloreada mediante efectos especiales que lleva un tiempo circulando por las redes dejando bocas abiertas y que se «vende» como ejemplo de algún rollo de energía cuántica, esto es matemáticas, señoras y señores – más apasionante todavía porque es verdad.

Quinx

Esta versión tiene 3.000 bolitas que caen sobre 28 casilleros verticales cuando se da la vuelta a la placa. Los clavos de plástico que hay en el camino están uniformemente repartidos, lo que hace que al rebotar contra ellos las bolitas puedan tomar dos caminos: izquierda o derecha, completamente al azar siempre que se mantenga equilibrada. Lo que sucede es que hay más maneras de llegar al centro que de llegar a los lados –lo cual no es difícil de enumerar o calcular– y en vez de una distribución uniforme surge la peculiar forma acampanada: muchas bolitas en el centro y muy pocas en los extremos. El resultado es una curva de distribución normal que ¡tachán! encaja con las predicciones matemáticas cada vez que se hace la prueba.

Los números que hay impresos en hexágonos el exterior coinciden con algunos clavos y son un triángulo de Pascal (cada número es la suma de los dos que tiene encima) y su valor coincide con el número de esas trayectorias distintas posibles que puede seguir una bolita hasta llegar allí. Si se rebusca un poco, como explica el profesor en el vídeo, se pueden encontrar hasta la sucesión de Fibonacci y el número áureo en esos valores.

Esta máquina de Galton es un auténtico clásico en los museos de ciencia –a todos los tamaños– y también en muchas aulas. La versión del vídeo se puede comprar en la propia web de Grand Illusions por unos 45€: Galton Board.

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Por @Alvy — 8 de Mayo de 2018


Charlando sobre la Aleatoriedad a partir de 64:00

En este episodio del podcast Los Crononautas #S02E23 estuvimos charlando sobre la aleatoriedad, algo a lo que en este blog le dedicamos una categoría temática completa, cosa que no hacemos con muchos temas. Puede escucharse a través de iVoox, de iTunes o directamente con el reproductor web, como de costumbre.

Durante un rato analizamos lo complicado que resulta para los ordenadores producir aleatoriedad, algo que sólo está presente en la física –en procesos como la radioactividad, el ruido electrónico o ciertos fenómenos cuánticos– pero no en ordenadores que funcionan puramente de forma matemática y donde un algoritmo a la larga genera siempre la misma secuencia. Imaginemos el problema que esto supone cuando hay que programar una simulación en el ordenador, mezclar canciones al azar de una lista o las cartas de una máquina de vídeo-póker.

También están los sistemas caóticos impredecibles: desde murales de lámparas de lava a dobles péndulos caóticos grabados en vídeo y otros métodos como los autómatas celulares o incluso los dígitos decimales de π, que no se sabe seguro si son normales o no (es decir: distribuidas uniformemente, aunque sea de forma predecible y siempre igual). Pi tiene todas las papeletas para ser normal, pero tampoco es el mejor generador de números aleatorios posibles del mundo precisamente.

Recientemente hablábamos también de que se ha experimentado con un nuevo generador cuántico de números aleatorios que si bien no es muy eficiente (se requieren 55 millones de pruebas con partículas entrelazadas para producir un par de bits aleatorios) garantiza un azar genuino capaz de superar cualquier prueba: para que no lo fuera la única explicación serían las señales superlumínicas, algo imposible en un universo como el nuestro en el que se respetan las leyes de la relatividad.

Al respecto encontré hace poco este curioso «generador de números aleatorios vintage», un aparato del año 1978 llamado Nu Spin que se usaba en un cuando había que elegir un número al azar para alguna rifa o sorteo.

Para hacerlo funcionar primero se seleccionaban los números mínimo y máximo (al máximo había que sumarle 1; por ejemplo para obtener del 0 al 99 había que marcar 00000 y 00100) y luego se pulsaba el botón. Al pulsar el botón máquina se ponía a contar muy rápidamente –se puede ver a cámara lenta– y tras un periodo de tiempo «aleatorio» se detenía. Ese era el número elegido.

La máquina es rústica y bonita, y aunque además utiliza elegantes tubos Nixie a modo de dígitos no está muy claro que el valor del temporizador (que parece se obtenía con la carga de un condensador combinada con algo más) fuera muy aleatoria, especialmente si se elegían números grandes y en relación a los de mayor peso (decenas de millar y millar). Pero bueno, el Nu Spin no deja de ser una máquina realmente simpática y curiosa.

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Por @Alvy — 12 de Abril de 2018

Bell NIST

Con el sugerente título de Experimentally generated randomness certified by the impossibility of superluminal signals un artículo publicado en Nature ($) describe un nuevo sistema que utiliza mediciones cuánticas para generar números aleatorios «certificados». En otras palabras: tienen la garantía de aleatoriedad máxima que proviene de la imposibilidad de la existencia de señales superlumínicas (que teóricamente tendrían una velocidad mayor que la de la luz – algo imposible si en este universo se respetan las leyes de la relatividad).

Como los metodos matemáticos para generar números aleatorios no dejan de ser pseudo-aleatorios cuando se requiere azar de verdad hay que recurrir a la física: radioactividad, ruido electrónico o fenómenos cuánticos.

Lo que han logrado estos investigadores es utilizar una serie de tests experimentales del teorema de Bell para aprovecharse del fenómeno de no-localidad y de este modo garantizar que el fenómeno es genuinamente imprevisible. La idea es que lo sea incluso para un «adversario teórico» que intente encontrar algún resquicio en el proceso, cosa que no podrá hacer –garantizado– siempre que esté obligado a respetar las leyes de la relatividad. O sea, todo quisqui.

El sistema todavía no parece excesivamente eficiente pues requiere una serie de unos 55 millones de pruebas para producir un par de bits. Los autores del trabajo consiguieron de este modo extraer 1024 bits aleatorios que comprobaron que eran verdaderamente aleatorios, «perfectamente uniformes», cual moneda con cara y cruz perfectamente pulidas. Su precisión: una parte entre una billón.

{Foto: NIST.}

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Por @Alvy — 9 de Marzo de 2018

Lotto hackers

En el Huffington Post americano han publicado un larguísimo artículo de Jason Fagone sobre cómo una pareja de jubilados reventaron una de las loterías estadounidenses utilizando puramente análisis estadísticos. Son diez mil palabras, casi un pequeño libro, y la historia merece la pena: The Lottery Hackers: Jerry and Marge go Large. Entre otras cosas te enseña cómo una lotería puede estar matemáticamente mal diseñada, y no ha sido el único caso.

Cuenta la historia de dos jubilados (Jerry y Marge Selbee) aficionados a los números. En el año 2000 se retiraron y montaron una pequeña tienda en un pueblecito de Michigan. Jerry oyó acerca de un nuevo tipo de lotería en ese estado llamada Winfall, similar a la lotería primitiva española (49 números, entre los que elegir 6, a 1 dólar por apuesta). Y al examinar las probabilidades, reglas y premios detectó una anomalía.

Al igual que en otras lotos, en la Winfall cuando nadie acertaba se acumulaba un bote que se ponía en juego semanas después, cuando la cantidad superaba los 2 millones de dólares. Pero la diferencia era que si nadie acertaba entonces el premio máximo (6 aciertos) el bote se iba repartiendo por las categorías de premios menores (5 aciertos, 4 aciertos…), a veces multiplicando su «valor promedio» hasta por diez. Haciendo números vio que cuando se ponían en juego los botes los premios menores realmente valían más que las propias apuestas, de modo que había una estrategia clara: comprar todos los tickets posibles y esperar a que nadie acertara los 6 números por puro azar, cosa que rara vez sucedía. Era como comprar por un dólar algo que valía más que un dólar.

Las primeras veces que probó su sistema lo hizo «sobre el papel», con apuestas imaginarias, comprobando que funcionaba. Luego perdió algo de «dinero real» debido a la variabilidad al jugar cantidades demasiado pequeñas (2.000 dólares) de modo que jugó mucho más (8.000 dólares) para anular ese efecto y acabar ganando 7.700 dólares limpios. El sistema parecía funcionar –aunque había que dedicarle tiempo– y pronto empezó a necesitar la ayuda de su mujer para realizar las apuestas (totalmente al azar) en las semanas clave, yendo a las tiendas, comprobando luego los resultados en casa y finalmente cobrando los premios. Acabo involucrando a amigos y conocidos.

Cuando la lotería Winfall se canceló porque los organizadores detectaron que «algo raro pasaba» –sin que fuera nada ilegal– surgió otra lotería con la misma mecánica en Massachusetts. Los Selbee ya habían montado una empresa para gestionar las apuestas, así que viajaban frecuentemente para poder seguir jugar aplicando el mismo sistema. Con más capital las cifras se situaron pronto en beneficios de cientos de miles de dólares. Al cabo de ocho años los Selbee y su grupo habían apostado unos 20 millones para ganar premios por valor de 27 millones de dólares. Nada menos que 7 millones de beneficio. Suficiente para retirarse – incluso «después de impuestos».

La reglas del juego eran conocidas y la información estaba al alcance de cualquiera; de hecho otros grupos comenzaron a imitarles. De aquella época son las noticias sobre los estudiantes del MIT que ganaron 8 millones a la lotería por el mismo sistema. El artículo cuenta que había cierta competencia por «rebañar» los premios cuando había botes; de hecho los diversos grupos incluso estudiaban cuándo hacer las grandes apuestas para hacer saltar la regla del «repartir el bote de los 2 millones», sin incurrir en nada ilegal – más allá de un par de tecnicismos menores. (Véase también A Calculated Approach to Winning the Lottery, publicado por el propio MIT.)

Con el tiempo las autoridades cancelaron ese formato de lotería con esas reglas tan peculiares y ahí terminó todo. En las loterías que se juegan en España (Lotería primitiva, Bonoloto, Euromillones) utilizar este método ya no sería posible por la forma en que se acumulan, reparten y guardan los botes – que es distinta de la que había originalmente y que ya nunca llegan a beneficiar a las categorías de premios menores (de hecho algunos premios pequeños son fijos); tan sólo a las principales que son las más difíciles de acertar al azar.

Irónicamente, aunque las loterías suelen perjudicar a las clases sociales más desfavorecidas hay quien sostiene que en el caso de los Selbee al ser todo perfectamente legal entraba más dinero del normal en el circuito jugadores-loterías-estado, especialmente dinero de inversores más pudientes y de clases sociales más altas – mientras que el porcentaje que recaudaba el estado para obras sociales seguía siendo el mismo. Así que todos ganaban: los jugadores y el estado. Pero sobre todo los Selbee y los estudiantes del MIT, que sabían cuándo había que jugar.

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