Por @Alvy — 20 de Mayo de 2015

2D-Random-Walk

Dos personas están en un gran estadio lleno de gente, se separan y se pierden. Quieren encontrarse la una a la otra, pero no han acordado nada de antemano; la única forma que tienen de localizarse es deambular buscándose. Tal vez una de las persona piense que es mejor quedarse quieta y esperar a que aparezca la otra, pero lo mismo podría suceder a la inversa – por lo que quedarían ambas absurdamente paradas y no se encontrarían nunca. Pero si no dejan de caminar de un lugar a otro tampoco pueden «descartar» lugares por los que ya hayan, pues quizá la otra persona reaparezca tiempo después. ¿Cuál es pues la mejor estrategia para encontrarse?

Hay muchas aproximaciones a este entretenimiento matemático; una de ellas consiste en plantear estrategias y ejecutar simulaciones a ver qué sucede. Idealmente se puede utilizar una matriz cuadrada y suponer, por ejemplo, que las dos personas se «encuentran» si ocupan casillas adyacentes. Y se pueden usar diferentes tamaños para el escenario, «programar» los personajes con algoritmos para recorrer patrones en forma de cuadrados, espiral… Ya lo hizo Rhett Allain para Wired. Hay un sinfín de posibilidades.

Lo importante es que el mismo razonamiento debe usarse para ambas personas, pues se entiende que no tienen forma de comunicarse (cuando se inventó este problema no había Whatsapp ;-) ni han acordado nada de antemano.

Search-Strategies

Una de las simulaciones más sencillas muestra cómo varía el tiempo para encontrase dependiendo de si hay una sola persona moviéndose o si ambas se mueven. Según se ve parece una gran ventaja en que ambos se muevan a la vez pues cuando solo se mueve una a veces el tiempo pasa y pasa sin que se encuentren.

Hace tiempo en un artículo de Nautilus fueron un poco más allá: la recomendación era, literalmente, «empezar emborrachándose para generar unos recorridos realmente aleatorios tras comenzar la búsqueda» (véase: The Man Who Invented Modern Probability: Andrei Kolmogorov). Según el célebre matemático ese «paseo del borracho» o camino aleatorio es la mejor opción para el problema planteado, pues maximiza el área de exploración sin una gran probabilidad de volver al punto inicial.

(Según me parecía recordar otra opción aún mejor era conocer toda esta información de antemano y dedicar la mitad del tiempo a caminar buscando y la otra mitad a permanecer parado. Sin embargo no he encontrado referencias a esto, así que tal vez no sea correcto.)

Otro dato curioso es que este tipo de búsquedas aleatorias depende a veces de otros factores. Por ejemplo, un borracho buscando un bar en la «matriz bidimensional» de las calles de una ciudad es probable que lo encuentre. Pero en el caso equivalente en tres dimensiones, por ejemplo un pájaro buscando su nido, es más probable que no lo encuentre nunca, simplemente por el cambio que supone el paso de 2D a 3D.

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Por @Alvy — 10 de Abril de 2015

Shuffle Hablando de fascinantes historias de aleatoriedad Charles Oberon recuperó la historia aquella de cuando medio mundo se volvió loco porque sus iTunes (puede ser que incluso los iPod) reproducían canciones en modo aleatorio que parecía poco aleatorio:

Apple tuvo que desarrollar un sistema aleatorio más «inteligente» para iTunes que hiciera que el modo aleatorio fuera MENOS aleatorio pero pareciera más aleatorio a quienes estaban escuchando la música.

Y es que según diversos artículos de la época, la forma en que funcionaba el modo aleatorio efectivamente no era como la gente esperaba que fuera. Y es que hay muchas formas de conseguir esa aleatoriedad:

  • (A) Tomar la lista de canciones almacenadas y mezclarlas en un orden aleatorio, como si fuera una baraja de cartas.
  • (B) Elegir una canción al azar entre todas las existentes cada vez que termina otra.

Cada método tiene sus ventajas y desventajas; por ejemplo el método (A) hace que las canciones se repitan menos y permite un uso más lógico y que los botones Canción anterior / siguiente funcionen correctamente, aunque también hace imposible que una canción se repita hasta que acabe la lista. Usando el método (B) se puede solucionar también el tema de los botones, pero existe cierta probabilidad de que una canción se repita de nuevo tras haber acabado –algo sin duda un poco extraño– aunque buscándole algo positivo la probabilidad de que suene cada canción es más puramente aleatoria, digamos.

Lo que sucedía en el iTunes es que usaba el método A. De modo que la gente –especialmente si no tenía muchas canciones– comenzó a observar que Let it be sonaba siempre antes que American Pie, o que una canción de Génesis iba seguida siempre de otra de The Doors. ¿Qué demonios estaba ocurriendo?

La solución era universal y muy sencilla: desactivar el modo aleatorio y volverlo a activar, lo que producía una nueva remezcla. Pero no todo el mundo hacía esto a menudo. Así que Apple tuvo que modificar la forma en que todo esto funcionaba –según parece forzando una remezcla tras haberse reproducido cierto porcentaje de canciones– para que el efecto fuera más similar al método (B) pero sin perder la funcionalidad de (A) ni el uso de los botones.

(Vía Gregory Daedalus.)

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Por @Alvy — 2 de Febrero de 2015

Persi Diaconis es un conocido e interesantísimo matemático que como otros fue en una época anterior mago profesional y que plantea en este vídeo de Numberphile una curiosa cuestión sobre monedas y aleatoriedad. Su área de especialización es el azar y entre otras cosas es quien popularizó el hecho de que «basta mezclar una baraja siete veces» para considerarla matemáticamente «perfectamente barajada» y también es un experto en el Klondike, más conocido como el Solitario de Windows, del que calculó las probabilidades de éxito.

En el vídeo [con subtítulos reguleros] este gran tipo, que hizo buenas migas con Martin Gardner y otros divulgadores de las curiosidades matemáticas, nos explica cuánto hay de aleatorio en el lanzamiento de una moneda, planteando una pregunta: ¿es más justo dejarla caer al suelo o atraparla con la mano en el aire? Piénsalo.

El hecho es que tal y como explica –y es algo que ha comprobado a lo largo de los años también en el mundo de la magia– aunque la teoría predice que las monedas caerán al 50 por ciento de cara y al 50 por ciento de cruz, la realidad es un poco distinta. Resulta que casi todas las monedas tienen un sesgo hacia uno u otro lado debido al desgaste o deformación del canto o borde. Algo que varía según el tamaño y tipo de moneda, pero que está ahí.

Una vez que la moneda está desgastada hacia uno de los lados –de forma natural o artificial– si se pone a girar sobre el suelo o sobre una mesa tenderá a caer más veces hacia uno de los lados que hacia el otro. La diferencia puede ser pequeña respecto al 50-50 ideal: quizá 55-45 o 60-40. Pero Diaconis asegura que en experimentos masivos que ha realizado ayudado de cientos de sus estudiantes es fácil observar el efecto, incluso que ha llegado a encontrar monedas con sesgos de hasta el 80-20.

Esto los magos lo saben y por eso a veces llevan una moneda –indistinguible visualmente y al tacto– que saben les proporciona cierta ventaja, aunque sea solo para gastar una broma o como juego de bar. Y es una moneda normal, perfectamente válida; no una moneda «trucada», como esas que tienen dos caras, ni con trampa como los dados perforados o cargados.

Ahora la segunda parte, que responde a la pregunta original: la mayor parte de la gente piensa que es más «justo» dejar caer las monedas al suelo cuando se juega algo a suertes; tal vez porque es fácil desconfiar de alguien que quizá pueda verla durante el vuelo, o sobre la mano, o distinguirla al tacto. Lo cierto es precisamente lo contrario: si la moneda cae en la mano y se tapa rápidamente será prácticamente imposible saber qué ha salido. En cambio si se deja caer al suelo casi siempre acaba efectuando unas cuantas rotaciones sobre sí misma, lo suficiente como para que actúen los sesgos del canto desgastado. Así que es más conveniente atraparla en el aire y no dejar que caiga, rebote y se ponga a dar vueltas, si lo que se busca es un lanzamiento «justo» lo más parecido posible al 50%-50% de probabilidades, sin que actúen «truquis» ni sesgos externos.

Otro vídeo de la misma serie se titula precisamente ¿Cuán aleatorio es lanzar una moneda al aire? Ahí el buen profesor explica las ecuaciones para hacer los cálculos y el porqué de la complejidad de todo el asunto:

Una de las técnicas que usaba Diaconis en sus experimentos era pegar hilo dental a las monedas que lanzaba al aire, de modo que en los lanzamientos podía llegar a introducir en las fórmulas el valor exacto del número de giros para ver cómo influía en los resultados. El veredicto: las monedas tienen una probabilidad del 51% de acabar igual que partieron de la mano, y un 49% de caer al revés – lo cual además es independiente de la fuerza con que se lancen.

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Por @Alvy — 28 de Enero de 2015

10-SpadesCuando de juegos de azar se trata es importante que todos los elementos que los componen (dados, bolas, naipes) sean iguales. Sin embargo el bueno de Mark Frauenfelder descubrió algunas curiosidades pesando los naipes con una balanza de alta precisión (0,01 g) – en concreto los de las barajas Bicycle, las más populares en Estados Unidos.

Resulta que cada carta tiene un peso de 1,75 g pero si se pesan todas las rojas juntas totalizan 45,51 g mientras que las negras pesan 45,57 g: 0,06 gramos de diferencia. También resulta que los cuatro dieces juntos (7,03 g) pesan más que los cuatro ases (7,00 g), seguramente porque tengan más tinta – aunque tan pequeña variación quedaría fuera de la capacidad de percepción humana, con lo que el la práctica sería imposible distinguirlas al tacto. Además las mismas cartas también presentaban variaciones de una baraja a otra: cada naipe está compuesto de varias capas de distintos papeles, pegamentos, resinas, etcétera – así que no puede decirse que la tinta sea la única razón. [Fuente: Boing Boing.]

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