Por @Alvy — 11 de Enero de 2016

Poweball Ticket

La Powerball estadounidense ha ido acumulando bote tras bote en los últimos meses, hasta el punto de que se están sorteando 1400 millones de dólares para quien tenga la suerte de acertar la combinación ganadora. (Eso son unos 1300 millones de euros.) Interesante.

Pero en este juego hacerse millonario no es fácil: hay que acertar 5 números entre 69 y además 1 entre 26, la «Powerball roja», para llevarse el bote. Un simple cálculo indica que esa probabilidad es de 1 entre 292 millones aproximadamente. A grandes rasgos es –más o menos– el doble de difícil de ganar que la loto Euromillones a la que jugamos en Europa.

Además está el asunto de los pagos: quien gane el bote puede elegir entre cobrarlo de golpe o en 30 cómodas anualidades. Si lo quiere todo junto el premio se ve reducido según las reglas un 30 por ciento –así que en vez de 1400 millones serían «solo» 980. Y a esto hay que añadirle el pellizco de hacienda, que varía según las leyes del lugar en el que se compre el ticket, pero que puede llegar hasta al 50 por ciento… ¡Adiós a la mitad del premio, habitantes de Nueva York! Combinando el peor caso («ansiaviva por cobrar ya» + restar «la mitad en impuestos») el premio se queda en bastante menos de lo anunciado: de 1400 a unos meros 490 millones de dólares.

Eso sí: si se sigue acumulando un poco más de bote se llegará a la extraña y curiosa situación en la que hipotéticamente podría merecer la pena «comprar el bote» pagando 584 millones por jugar todas las posibles apuestas distintas –algo que ya se hizo una vez en Australia – pues cada apuesta cuesta 2 dólares y hay 292 millones distintas. Los cálculos no son tan fáciles y aunque 1400 millones de dólares podrían parecer suficientes se ha calculado que a partir de 2300 millones de dólares –figura que podría alcanzarse– el asunto comienza a ser rentable.

(En España esta situación se dió en diversas ocasiones en el pasado, con el plus de que era la época en que los premios no pagaban impuestos, y que se cobran «de golpe» sin recortes. Actualmente los premios están limitados a unos 190 millones de euros: si nadie acierta se reparte entre las siguientes categorías de aciertos.)

Eso sí, esta estrategia tiene varios problemas: el primero, de índole logística, es que sería físicamente imposible comprar los tickets en las tiendas y habría que idear otra fórmula, probablemente por Internet o negociando con la organización; la segunda y más terrible es que si por casualidad aparece más de un ganador el gran premio se repartiría por igual entre todos ellos. Y la sola mención de esa improbable posibilidad produce canguelo.

{Foto: Powerball FTW (CC) Tom Sanders @ Flickr}

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Por @Alvy — 28 de Diciembre de 2015

Ya hemos comentando aquí que los seres humanos no somos muy buenos en ciertas técnicas matemáticas (calcular probabilidades, entender los grandes números o el crecimiento exponencial). Pues bien: tampoco somos muy buenos generando secuencias de números al azar. Dos minutos bastan para entender porqué.

La forma de comprobarlo es imaginar dos habitaciones cerradas: en una de ellas alguien lanza una moneda al aire y señala un 1 o un 0 según salga cara o cruz. En la otra, una persona intenta hacer lo mismo pero sin usar ninguna moneda, simplemente «con la cabeza». Ambas secuencias son intencionalmente aleatorias… ¿Se puede distinguir la «auténtica» (moneda) de la «imitada» (persona)?

La forma de comprobar la aleatoriedad de las secuencias pasaría simplemente por contar el total de ceros y unos tras disponer de cientos de resultados: más o menos habrá la mitad de ceros y la mitad de unos. ¿Y luego? Basta comprobar la estabilidad de las frecuencias en secuencias más largas: por ejemplo se podrían comparar las secuencias 00 01 10 y 11 (que deberían aparecer un 25 por ciento de las veces cada una), luego 000 001 010 011 100 101 110 111 (un 12,5% cada una), luego 0000 0001 0010, etcétera.

Estabilidad de la frecuencia

La imagen (un tanto dramatizada) no deja lugar a dudas. ¿Cuál es genuinamente aleatoria? ¿Cuál tiene algún tipo de sesgos? ¿En cuál una persona habría intentado «engañar» para que pareciera aleatoria? Claramente en el primer caso: el segundo histograma muestra que todas las secuencias tienen la misma probabilidad –más o menos– de aparecer a la larga, que es precisamente, una de las leyes del azar y la aleatoriedad.

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Por @Alvy — 24 de Diciembre de 2015

¿Te imaginas jugar a una lotería en la que tu número es el mismo que el de todos tus vecinos, pero solo resultas premiado si has apostado? Al parecer es cómo funciona la Nationale Postcode Loterij, una lotería de carácter no lucrativo organizada por una agencia que se dedica a estas cosas.

Esto tiene que ver con las disquisiciones del autor de Briboneros, que explica que jugar a un juego con esperanza matemática negativa puede ser –según su punto de vista– una decisión extremadamente racional. Es toda una respuesta a las famosas «perlas de sabiduría» acerca de las loterías tradicionales tratándolas de «impuesto voluntario sobre la esperanza» (dicen que la frase es de Greg Egan) o como un «impuesto para los que no saben matemáticas».

La justificación tiene que ver con el efecto del juego «en grupo» y la envidia que una persona puede sentir si ganaran sus amigos/vecinos/compañeros de trabajo/bar y ellos no: «como le toque a esta panda de bastardos y a mí no, me da algo.»

Al respecto menciona este curioso caso:

Holanda ha aprovechado este sesgo psicológico creando la lotería del código postal. El premio lo reciben todos los que viven en el código postal premiado… siempre que hayan comprado un boleto. La máxima expresión del «no puedo permitir que le toque a todos estos y a mí no.»

Supongo que la cosa dependerá del carácter de cada cual, pero es cierto que como escenario hipotético esa lotería resulta especialmente interesante.

(Vía @MalaPrensa.)

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Por @Alvy — 16 de Octubre de 2015

Probabilidad: un extenso análisis divulgativo de situaciones y paradojas (con simulaciones en Python)

Peter Norvig, ex-Google, explica en un extenso artículo con código en Python cómo crear simulaciones para entender algunos de los problemas y paradojas clásicas de la matemática probabilística.

En concreto emplea ejemplos con dados, fechas de nacimiento, cuestiones sobre el nacimiento de niños y niñas… Muchos provienen de problemas planteados o comentados por Martin Gardner en su columna de la revista Scientific American; otros son simplemente «problemas de libro» teóricos.

También se simulan esos problemas que desafían la intuición hasta convertirse (o parecer) auténticas paradojas: la paradoja de la Bella Durmiente, el problema de Monty Hall, una simulación de las probabilidades al jugar al Monopoly o la paradoja de San Petersburgo.

El artículo completo –muy recomendable– y el código están en esta página: Probability, Paradox, and the Reasonable Person Principle.

(Vía MeFi.)

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